Determine:
O campo gravitacional gerado por uma partícula puntual de massa
.
[OBS.: O campo gravitacional gerado em um ponto
do espaço por uma partícula de massa
em uma posição
é dado por
O campo gravitacional gerado em um ponto
por uma distribuição de massa no espaço é dado por:
O campo gravitacional gerado por uma partícula puntual de massa
[OBS.: O campo gravitacional gerado em um ponto
Passo 1
O enunciado pede para determinar o campo gravitacional gerado por uma partícula puntual de massa
.
Informações dadas no enunciado / observação: a expressão do campo gravitacional gerado por uma partícula de massa localizada em
em um ponto
é
Informações dadas no enunciado / observação: a expressão do campo gravitacional gerado por uma partícula de massa
O que precisamos fornecer é a expressão do campo quando a massa geradora é
(substituir
por
ou escrever o caso particular quando conveniente) e explicar o significado físico e as formas usuais dessa expressão.
Passo 2
Definição física e derivação básica (passo a passo): o campo gravitacional em um ponto é a força gravitacional que uma massa de teste unitária sofreria naquele ponto. Pela lei de Newton da gravitação universal, a força entre duas massas
(fixa, geradora) em
e
(de teste) em
é
Dividimos a força pela massa de teste
para obter o campo (força por unidade de massa):
Portanto a expressão coincide com a que foi dada na observação, trocando
por
. Aqui
é a constante gravitacional,
é o vetor que vai da massa geradora ao ponto onde calculamos o campo, e
é a distância entre eles.
Passo 3
Interpretação da direção e do sentido: o sinal negativo mostra que o campo aponta em direção à massa geradora (ou seja, o campo é atrativo). Mais explicitamente, o vetor
vai de
para
; multiplicando por
obtemos a direção de
para
— o campo aponta em direção à massa
.
Passo 4
Cálculo da intensidade (módulo) do campo: para obter o módulo usamos que
é positivo e a norma do vetor
é
. Assim,
Isto mostra a lei do inverso do quadrado: a intensidade decai como
distância
.
Passo 5
Forma especial quando a massa está na origem (caso prático muito usado): se escolhemos
e escrevemos
e
, a expressão fica mais explícita:
Em componentes (útil para contas):
Também é comum escrever usando o versor radial
:
que deixa claro o sentido radial e a lei do inverso do quadrado.
Passo 6
Ligação com potencial gravitacional (uma aula curta): define-se o potencial gravitacional escalar devido à massa
como
A relação entre campo e potencial é
Se derivarmos
no caso
, usamos
e obtemos de volta
confirmando consistência entre força por unidade de massa e gradiente do potencial.
Passo 7
Propriedade global (leve comentário útil para provas): o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio
centrada em
é
Isto é a forma integral da lei de Gauss para a gravitação e mostra que
fora da posição da massa e tem uma contribuição singular em
proporcional a uma delta de Dirac.