Determine:
O campo gravitacional gerado por uma partícula puntual de massa M.
[OBS.: O campo gravitacional gerado em um ponto
\mathbf{r}:(x, y, z) do espaço por uma partícula de massa m em uma posição \mathbf{r}_{0}:\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) é dado por
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-\frac{G m\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\right|^{3}}
O campo gravitacional gerado em um ponto \mathbf{r}:(x, y, z) por uma distribuição de massa no espaço é dado por:
\left.\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G \iiint_{V} \frac{\rho\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|^{3}} d V^{\prime} .\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar o campo gravitacional gerado por uma partícula puntual de massa M.
Informações dadas no enunciado / observação: a expressão do campo gravitacional gerado por uma partícula de massa m localizada em \mathbf{r}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) em um ponto \mathbf{r}=(x,y,z) é
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-\frac{G m(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}.
O que precisamos fornecer é a expressão do campo quando a massa geradora é M (substituir m por M ou escrever o caso particular quando conveniente) e explicar o significado físico e as formas usuais dessa expressão.

Passo 2

Definição física e derivação básica (passo a passo): o campo gravitacional em um ponto é a força gravitacional que uma massa de teste unitária sofreria naquele ponto. Pela lei de Newton da gravitação universal, a força entre duas massas M (fixa, geradora) em \mathbf{r}_{0} e m' (de teste) em \mathbf{r} é
\mathbf{F}(\mathbf{r})=-G\frac{M\,m'(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}.
Dividimos a força pela massa de teste m' para obter o campo (força por unidade de massa):
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=\frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m'}=-G\frac{M(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}.
Portanto a expressão coincide com a que foi dada na observação, trocando m por M. Aqui G é a constante gravitacional, \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0} é o vetor que vai da massa geradora ao ponto onde calculamos o campo, e \lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert é a distância entre eles.

Passo 3

Interpretação da direção e do sentido: o sinal negativo mostra que o campo aponta em direção à massa geradora (ou seja, o campo é atrativo). Mais explicitamente, o vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0} vai de \mathbf{r}_{0} para \mathbf{r}; multiplicando por -1 obtemos a direção de \mathbf{r} para \mathbf{r}_{0} — o campo aponta em direção à massa M.

Passo 4

Cálculo da intensidade (módulo) do campo: para obter o módulo usamos que \lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert é positivo e a norma do vetor \mathbf{r}-\mathbf{r}_{0} é \lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert. Assim,
\lvert\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})\rvert = G\frac{M\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}} = \frac{G M}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{2}}.
Isto mostra a lei do inverso do quadrado: a intensidade decai como 1/distância ^2.

Passo 5

Forma especial quando a massa está na origem (caso prático muito usado): se escolhemos \mathbf{r}_{0}=\mathbf{0} e escrevemos \mathbf{r}=(x,y,z) e r=\lvert\mathbf{r}\rvert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, a expressão fica mais explícita:
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G\frac{M\mathbf{r}}{r^{3}}.
Em componentes (útil para contas):
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=\left(-G\frac{M x}{r^{3}},\,-G\frac{M y}{r^{3}},\,-G\frac{M z}{r^{3}}\right).
Também é comum escrever usando o versor radial \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r:
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G\frac{M}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}},
que deixa claro o sentido radial e a lei do inverso do quadrado.

Passo 6

Ligação com potencial gravitacional (uma aula curta): define-se o potencial gravitacional escalar devido à massa M como
\Phi(\mathbf{r})=-\frac{G M}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert}.
A relação entre campo e potencial é
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-\nabla\Phi(\mathbf{r}).
Se derivarmos \Phi no caso \mathbf{r}_{0}=\mathbf{0}, usamos \nabla(1/r)=-\mathbf{r}/r^{3} e obtemos de volta
\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-\nabla\left(-\frac{GM}{r}\right)=-G\frac{M\mathbf{r}}{r^{3}},
confirmando consistência entre força por unidade de massa e gradiente do potencial.

Passo 7

Propriedade global (leve comentário útil para provas): o fluxo do campo através de uma superfície esférica de raio r centrada em M é
\oint \overrightarrow{\mathcal{G}}\cdot d\mathbf{S} = -\frac{GM}{r^{2}} \cdot 4\pi r^{2} = -4\pi G M.
Isto é a forma integral da lei de Gauss para a gravitação e mostra que \nabla\cdot\overrightarrow{\mathcal{G}}=0 fora da posição da massa e tem uma contribuição singular em \mathbf{r}_{0} proporcional a uma delta de Dirac.

Resposta

\overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G\frac{M(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0})}{\lvert\mathbf{r}-\mathbf{r}_{0}\rvert^{3}}.
\text{Caso } \mathbf{r}_{0}=\mathbf{0}:\quad \overrightarrow{\mathcal{G}}(\mathbf{r})=-G\frac{M\mathbf{r}}{r^{3}}=-G\frac{M}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.

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