Para um campo \vec{F}=P \vec{i}+Q_{\text {J }} de classe C^{1}, definido em \mathbb{R}^{2} e \operatorname{com} \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, temos as seguintes fórmulas para calcular uma função potencial para \vec{F} :
(1) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y}\left(Q(x, t)-\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial P(s, t)}{\partial y} d s\right) d t
(2) f(x, y)=\int_{0}^{1}[P(x t, y t) x+Q(x t, y t) y] d t
(3) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t
Verifique que o campo \vec{F} dado a seguir é irrotacional e calcule uma função potencial para \vec{F} usando as três fórmulas dadas acima.
\vec{F}(x, y)=\cos x \vec{i}+\operatorname{sen} y \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
\vec F(x,y) = P(x,y)\,\vec i + Q(x,y)\,\vec j
com
P(x,y)=\cos x, \quad Q(x,y)=\sin y,
de classe C^1 em \mathbb R^2 e pede para verificar que \operatorname{rot}\vec F=0 e, em seguida, encontrar uma potencial f(x,y) usando cada uma das fórmulas (1), (2) e (3). O conteúdo é campo conservativo e funções potenciais.

Passo 2

Calculamos o rotacional:
\operatorname{rot}\vec F = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (\sin y)}{\partial x} - \frac{\partial (\cos x)}{\partial y} = 0 - 0 = 0.
Logo, \vec F é irrotacional.

Passo 3

Fórmula (1), com ponto-base (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt +\int_{0}^{y}\Bigl(Q(x,t)-\int_{0}^{x}\frac{\partial P}{\partial y}(s,t)\,ds\Bigr)\,dt.
Como P(t,y)=\cos t e \partial P/\partial y=0, temos
\int_{0}^{x}\cos t\,dt = \sin x,
\int_{0}^{y}\bigl(\sin t - 0\bigr)\,dt = \int_{0}^{y}\sin t\,dt =1-\cos y.
Portanto
f(x,y)=\sin x + (1-\cos y) =\sin x -\cos y +1,
que difere por constante de qualquer outra forma da potencial.

Passo 4

Fórmula (2):
f(x,y) =\int_{0}^{1}\bigl[P(xt,yt)\,x+Q(xt,yt)\,y\bigr]\,dt =\int_{0}^{1}\bigl[\cos(xt)\,x + \sin(yt)\,y\bigr]\,dt.
Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{1}\cos(xt)\,x\,dt =\sin x, \quad \int_{0}^{1}\sin(yt)\,y\,dt =1-\cos y.
Logo
f(x,y)=\sin x + (1-\cos y).

Passo 5

Fórmula (3), também com (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt +\int_{0}^{y}Q(0,t)\,dt =\int_{0}^{x}\cos t\,dt +\int_{0}^{y}\sin t\,dt =\sin x + (1-\cos y).

Resposta

Uma função potencial comum a todas as três fórmulas é
f(x,y)=\sin x - \cos y
até adição de constante.

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