Para um campo \vec{F}=P \vec{i}+Q_{\text {J }} de classe C^{1}, definido em \mathbb{R}^{2} e \operatorname{com} \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, temos as seguintes fórmulas para calcular uma função potencial para \vec{F} :
(1) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y}\left(Q(x, t)-\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial P(s, t)}{\partial y} d s\right) d t
(2) f(x, y)=\int_{0}^{1}[P(x t, y t) x+Q(x t, y t) y] d t
(3) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t
Verifique que o campo \vec{F} dado a seguir é irrotacional e calcule uma função potencial para \vec{F} usando as três fórmulas dadas acima.
\vec{F}(x, y)=x \vec{i}+2 y \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo \displaystyle \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j
com P(x,y)=x e Q(x,y)=2y. O conteúdo é campos conservativos (irrotacionais) e funções potenciais. Vamos verificar que \operatorname{rot}\vec F=0 e depois obter uma função potencial f(x,y) usando as fórmulas (1), (2) e (3).

Passo 2

Para um campo em \mathbb{R}^2, \displaystyle \operatorname{rot}\vec F=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Aqui
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y)=0, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x)=0,
logo \displaystyle \operatorname{rot}\vec F=0-0=0.
Como o domínio é todo \mathbb{R}^2 (simplesmente conexo), existe função potencial f com \nabla f=\vec F.

Passo 3

Usando a fórmula (1) com (x_0,y_0)=(0,0) e notando que \partial P/\partial y=0, temos
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt +\int_{0}^{y}\Bigl(Q(x,t)-\int_{0}^{x}0\,ds\Bigr)\,dt =\int_{0}^{x}t\,dt+\int_{0}^{y}2t\,dt =\tfrac{x^2}{2}+y^2.

Passo 4

Usando a fórmula (2),
f(x,y) =\int_{0}^{1}\bigl[P(xt,yt)\,x+Q(xt,yt)\,y\bigr]\,dt =\int_{0}^{1}\bigl(x\cdot xt+ y\cdot2yt\bigr)\,dt =\int_{0}^{1}(x^2\,t+2y^2\,t)\,dt =\tfrac{x^2}{2}+y^2.

Passo 5

Usando a fórmula (3) com (x_0,y_0)=(0,0),
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt+\int_{0}^{y}Q(0,t)\,dt =\int_{0}^{x}t\,dt+\int_{0}^{y}2t\,dt =\tfrac{x^2}{2}+y^2.

Resposta

Em todos os três casos a função potencial é
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+y^2\,+C,
podendo tomar C=0 se escolhermos referência em (0,0).

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