Para um campo \vec{F}=P \vec{i}+Q_{\text {J }} de classe C^{1}, definido em \mathbb{R}^{2} e \operatorname{com} \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, temos as seguintes fórmulas para calcular uma função potencial para \vec{F} :
(1) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y}\left(Q(x, t)-\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial P(s, t)}{\partial y} d s\right) d t
(2) f(x, y)=\int_{0}^{1}[P(x t, y t) x+Q(x t, y t) y] d t
(3) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t
Verifique que o campo \vec{F} dado a seguir é irrotacional e calcule uma função potencial para \vec{F} usando as três fórmulas dadas acima.
\vec{F}(x, y)=(y+2 x) \vec{i}+(x+2 y) \vec{j}

Passo 1

O enunciado nos dá o campo \vec F(x,y) = (P,Q) = (y+2x,\;x+2y), de classe C^1 em \mathbb R^2, e diz que \operatorname{rot}(\vec F)=\vec 0. Precisamos (a) verificar que ele é irrotacional e (b) calcular uma função potencial f(x,y) usando cada uma das três fórmulas dadas, tomando como ponto de referência (x_0,y_0)=(0,0).

Passo 2

Para ver que \vec F é irrotacional, calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x+2y) = 1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y+2x) = 1.
Como \tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}=1-1=0, segue \operatorname{rot}(\vec F)=0.

Passo 3

Aplicando a fórmula (1) com (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt +\int_{0}^{y}\!\Bigl(Q(x,t)-\!\int_{0}^{x}\frac{\partial P(s,t)}{\partial y}\,ds\Bigr)dt.
Calculamos \int_{0}^{x}P(t,y)\,dt=\int_{0}^{x}(y+2t)\,dt=xy+x^2, \tfrac{\partial P}{\partial y}=1\Rightarrow\int_{0}^{x}1\,ds=x,
logo o integrando interno é Q(x,t)-x=(x+2t)-x=2t. Então
\int_{0}^{y}2t\,dt=y^2.
Somando dá
f(x,y)=xy+x^2+y^2.

Passo 4

Pela fórmula (2):
f(x,y) =\int_{0}^{1}\bigl[P(xt,yt)\,x + Q(xt,yt)\,y\bigr]dt.
Aqui P(xt,yt)=yt+2xt e Q(xt,yt)=xt+2yt,
então o integrando é
x(yt+2xt)+y(xt+2yt) =2xyt+2x^2t+2y^2t =2t\,(x^2+xy+y^2).
Como \int_{0}^{1}2t\,dt=1, obtemos de novo
f(x,y)=x^2+xy+y^2.

Passo 5

Usando a fórmula (3) com (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt+\int_{0}^{y}Q(0,t)\,dt =\int_{0}^{x}(y+2t)\,dt+\int_{0}^{y}(0+2t)\,dt.
Calculamos \int_{0}^{x}(y+2t)\,dt=xy+x^2 e \int_{0}^{y}2t\,dt=y^2,
logo
f(x,y)=xy+x^2+y^2.

Resposta

Uma função potencial comum a todos os três métodos é
f(x,y)=x^2 + x\,y + y^2 + C,
onde C é constante arbitrária.

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