Para um campo
de classe
, definido em
e
, temos as seguintes fórmulas para calcular uma função potencial para
:
(1)
(2)
(3)
Verifique que o campo
dado a seguir é irrotacional e calcule uma função potencial para
usando as três fórmulas dadas acima.
(1)
(2)
(3)
Passo 1
O enunciado nos dá o campo
, de classe
em
, e diz que
. Precisamos (a) verificar que ele é irrotacional e (b) calcular uma função potencial
usando cada uma das três fórmulas dadas, tomando como ponto de referência
.
Passo 2
Para ver que
é irrotacional, calculamos
Como
, segue
.
Passo 3
Aplicando a fórmula (1) com
:
Calculamos
,
,
logo o integrando interno é . Então
logo o integrando interno é
Somando dá
Passo 4
Pela fórmula (2):
Aqui
e
,
então o integrando é
então o integrando é
Como
, obtemos de novo
Passo 5
Usando a fórmula (3) com
:
Calculamos
e
,
logo
logo
Resposta
Uma função potencial comum a todos os três métodos é
onde
é constante arbitrária.