Um campo de velocidade bidimensional é dado por \overrightarrow{\boldsymbol{V}}=[x(1+t)] \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+y \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}, onde x e y estão em metros, \mathbf{t} em segundos e a velocidade em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Considere uma particula que passa pelo ponto \left(x_{0} ; y_{0}\right)=(1,1) no instante t=0. Para esta partícula, pede-se determinar:
2.1. ( 0,8 pontos) A equação da família de linhas de correntes que passam por ( x_{0} ; y_{0} );
2.2(0,7 pontos) Sua localização, (x ; y), no instante t=1 \mathrm{~s}.
2.3(0,8 pontos) Sua aceleração no instante t=1 \mathrm{~s}. O resultado deve ser dado na forma vetorial.
2.4 ( \mathbf{0 , 7} pontos)Se um campo de temperatura \boldsymbol{T}=\mathbf{4} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}, com x e y em m e \boldsymbol{T} em { }^{\circ} \mathrm{C}, está associado ao campo de velocidade acima, calcule a taxa de variação total da temperatura da partícula no instante t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede várias quantidades para a partícula que passa por (x_0;y_0)=(1,1) no instante t=0. Dados importantes:
  • Campo de velocidade:
\overrightarrow{V} = [x(1+t)]\,\overrightarrow{\boldsymbol{\imath}} + y\,\overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}.
  • Unidade: x,y em metros, t em segundos, velocidade em \mathrm{m/s}.
  • Condição inicial da partícula: \left(x(0),y(0)\right)=(1,1).
O que pede o enunciado:
  • 2.1 Determinar a equação da família de linhas de corrente que passam por (1,1).
  • 2.2 Determinar a posição (x,y) da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s}.
  • 2.3 Determinar a aceleração da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s} (vetorial).
  • 2.4 Para o campo de temperatura T=4x-y (em ^\circ\mathrm{C}), calcular a taxa de variação total da temperatura da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Definição e cálculo das linhas de corrente (streamlines).
Definição prática: numa foto instantânea do campo de velocidade para um tempo fixo t, uma linha de corrente é uma curva y(x) cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Matematicamente, para tempo fixo t,
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}.
Aqui v_x=x(1+t) e v_y=y. Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x(1+t)}.
Esta é uma equação diferencial separável. Reescrevendo:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x(1+t)}\,dx.
Integramos ambos os lados (lembrando que, para linhas de corrente, t é tratado como parâmetro constante):
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x(1+t)}\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln y=\frac{1}{1+t}\ln x + C,
onde C é constante de integração (que pode depender do tempo fixo t). Exponenciando:
y = C\, x^{\frac{1}{1+t}}.
Agora impõe-se que a linha de corrente passe por (x,y)=(1,1). Substituindo x=1,y=1 obtém-se 1=C\cdot 1^{1/(1+t)}, logo C=1. Portanto a família de linhas de corrente que passam por (1,1) (uma para cada instante t considerado) é
\boxed{\,y = x^{\frac{1}{1+t}}\,.}
Observação prática: cada valor fixo de t dá uma curva diferente; por exemplo, em t=0 a linha de corrente que passa por (1,1) é y=x.

Passo 3

Cálculo da trajetória (posição) da partícula — descrição Lagrangiana.
A partícula segue as equações diferenciais ordinárias:
\frac{dx}{dt}=x(1+t),\qquad \frac{dy}{dt}=y,
com condição inicial x(0)=1,\;y(0)=1.
Resolvendo primeiro a equação para y:
\frac{dy}{dt}=y \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y}dy=dt
Integrando:
\ln y = t + C_1.
Com y(0)=1 obtemos C_1=0. Logo
\boxed{\,y(t)=e^{t}\,.}
Agora resolvendo para x:
\frac{dx}{dt}=x(1+t) \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{x}dx=(1+t)\,dt.
Integrando:
\ln x = t + \frac{t^{2}}{2} + C_2.
Com x(0)=1 temos C_2=0. Portanto
\boxed{\,x(t)=\exp\!\left(t+\frac{t^{2}}{2}\right)\,.}
Avalia-se em t=1:
x(1)=\exp\!\left(1+\frac{1^{2}}{2}\right)=\exp\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=e^{3/2},\qquad y(1)=e^{1}=e.
Portanto a posição no instante t=1 é
\boxed{\,\bigl(x(1),y(1)\bigr)=\bigl(e^{3/2},\,e\bigr)\,.}

Passo 4

Cálculo da aceleração da partícula no instante t=1.
Do ponto de vista da partícula, a aceleração é a derivada segunda da posição:
\overrightarrow{a}=\frac{d^{2}\overrightarrow{r}}{dt^{2}} =\left(\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\right)\overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)\overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}.
Podemos calcular diferenciando as velocidades já conhecidas v_x=x(1+t) e v_y=y ao longo da trajetória. Uma forma didática é mostrar a identidade do campo:
\frac{d}{dt}(v_x)=\frac{\partial v_x}{\partial t}+( \overrightarrow{V}\cdot\nabla)v_x,
mas aqui é mais direto usar a forma temporal das componentes:
Para y(t)=e^{t}:
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}(y)=y(t)=e^{t}.
Para x(t)=\exp\!\left(t+\tfrac{t^{2}}{2}\right) já sabemos que \dfrac{dx}{dt}=x(1+t). Diferenciando novamente:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=\frac{d}{dt}\bigl[x(1+t)\bigr]=\frac{dx}{dt}(1+t)+x\cdot 1 = x(1+t)^{2}+x = x\bigl[(1+t)^{2}+1\bigr].
Agora avaliamos em t=1, usando x(1)=e^{3/2} e y(1)=e:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}\Big|_{t=1}=e^{3/2}\bigl[(1+1)^{2}+1\bigr]=e^{3/2}(4+1)=5e^{3/2},
\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\Big|_{t=1}=e.
Portanto a aceleração vetorial no instante t=1 é
\boxed{\,\overrightarrow{a}(1)=5e^{3/2}\,\overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+e\,\overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}\,\\ (\mathrm{m/s^{2}})\,.}
(Se quiser confirmar a mesma expressão a partir da fórmula convectiva: \overrightarrow{a}=\partial\overrightarrow{V}/\partial t+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}, aplicando-a e avaliando ao longo da trajetória, chega-se ao mesmo resultado.)

Passo 5

Taxa de variação total da temperatura na partícula em t=1.
Definição: a taxa total (material derivative) de uma grandeza escalar T(x,y,t) que é observada por uma partícula é
\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\overrightarrow{V}\cdot\nabla T.
Aqui T(x,y)=4x-y não depende do tempo explicitamente, logo \partial T/\partial t=0. O gradiente é
\nabla T=\left(\frac{\partial T}{\partial x},\frac{\partial T}{\partial y}\right)=(4,-1).
Portanto
\frac{dT}{dt}= \overrightarrow{V}\cdot\nabla T = 4\,v_x - 1\cdot v_y.
Avalia-se ao longo da partícula em t=1. Temos, como usado antes, v_x=x(1+t) e v_y=y. Em t=1 e na posição da partícula x(1)=e^{3/2},\,y(1)=e,
v_x(1)=x(1)(1+1)=2e^{3/2},\qquad v_y(1)=e.
Logo
\frac{dT}{dt}\Big|_{t=1}=4\cdot\bigl(2e^{3/2}\bigr)-e=8e^{3/2}-e.
Em unidades:
\boxed{\,\frac{dT}{dt}\Big|_{t=1}=8e^{3/2}-e\quad({}^\circ\mathrm{C}/\mathrm{s})\,.}

Resposta

2.1 y = x^{\displaystyle\frac{1}{1+t}}
2.2 \bigl(x(1),y(1)\bigr)=\bigl(e^{3/2},\,e\bigr)
2.3 \overrightarrow{a}(1)=5e^{3/2}\,\overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+e\,\overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}
2.4 \dfrac{dT}{dt}\Big|_{t=1}=8e^{3/2}-e

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