Um campo de velocidade bidimensional é dado por \overrightarrow{\boldsymbol{V}}=[x(1+t)] \overrightarrow{\boldsymbol{\imath}}+y \overrightarrow{\boldsymbol{\jmath}}, onde x e y estão em metros, \mathbf{t} em segundos e a velocidade em \mathrm{m} / \mathrm{s}. Considere uma particula que passa pelo ponto \left(x_{0} ; y_{0}\right)=(1,1) no instante t=0. Para esta partícula, pede-se determinar:
2.1. ( 0,8 pontos) A equação da família de linhas de correntes que passam por ( x_{0} ; y_{0} );
2.2(0,7 pontos) Sua localização, (x ; y), no instante t=1 \mathrm{~s}.
2.3(0,8 pontos) Sua aceleração no instante t=1 \mathrm{~s}. O resultado deve ser dado na forma vetorial.
2.4 ( \mathbf{0 , 7} pontos)Se um campo de temperatura \boldsymbol{T}=\mathbf{4} \boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}, com x e y em m e \boldsymbol{T} em { }^{\circ} \mathrm{C}, está associado ao campo de velocidade acima, calcule a taxa de variação total da temperatura da partícula no instante t=1 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado dá um campo de velocidade bidimensional e pede várias quantidades para a partícula que passa por (x_0;y_0)=(1,1) no instante t=0. Dados importantes:
Unidade: x,y em metros, t em segundos, velocidade em \mathrm{m/s}.
Condição inicial da partícula: \left(x(0),y(0)\right)=(1,1).
O que pede o enunciado:
2.1 Determinar a equação da família de linhas de corrente que passam por (1,1).
2.2 Determinar a posição (x,y) da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s}.
2.3 Determinar a aceleração da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s} (vetorial).
2.4 Para o campo de temperatura T=4x-y (em ^\circ\mathrm{C}), calcular a taxa de variação total da temperatura da partícula no instante t=1\\ \mathrm{s}.
Passo 2
Definição e cálculo das linhas de corrente (streamlines).
Definição prática: numa foto instantânea do campo de velocidade para um tempo fixo t, uma linha de corrente é uma curva y(x) cuja tangente em cada ponto é paralela ao vetor velocidade naquele instante. Matematicamente, para tempo fixo t,
\frac{dy}{dx}=\frac{v_y}{v_x}.
Aqui v_x=x(1+t) e v_y=y. Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x(1+t)}.
Esta é uma equação diferencial separável. Reescrevendo:
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x(1+t)}\,dx.
Integramos ambos os lados (lembrando que, para linhas de corrente, t é tratado como parâmetro constante):
\int\frac{1}{y}\,dy=\int\frac{1}{x(1+t)}\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln y=\frac{1}{1+t}\ln x + C,
onde C é constante de integração (que pode depender do tempo fixo t). Exponenciando:
y = C\, x^{\frac{1}{1+t}}.
Agora impõe-se que a linha de corrente passe por (x,y)=(1,1). Substituindo x=1,y=1 obtém-se 1=C\cdot 1^{1/(1+t)}, logo C=1. Portanto a família de linhas de corrente que passam por (1,1) (uma para cada instante t considerado) é
\boxed{\,y = x^{\frac{1}{1+t}}\,.}
Observação prática: cada valor fixo de t dá uma curva diferente; por exemplo, em t=0 a linha de corrente que passa por (1,1) é y=x.
Passo 3
Cálculo da trajetória (posição) da partícula — descrição Lagrangiana.
A partícula segue as equações diferenciais ordinárias:
Podemos calcular diferenciando as velocidades já conhecidas v_x=x(1+t) e v_y=y ao longo da trajetória. Uma forma didática é mostrar a identidade do campo:
(Se quiser confirmar a mesma expressão a partir da fórmula convectiva: \overrightarrow{a}=\partial\overrightarrow{V}/\partial t+(\overrightarrow{V}\cdot\nabla)\overrightarrow{V}, aplicando-a e avaliando ao longo da trajetória, chega-se ao mesmo resultado.)
Passo 5
Taxa de variação total da temperatura na partícula em t=1.
Definição: a taxa total (material derivative) de uma grandeza escalar T(x,y,t) que é observada por uma partícula é
\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\overrightarrow{V}\cdot\nabla T.
Aqui T(x,y)=4x-y não depende do tempo explicitamente, logo \partial T/\partial t=0. O gradiente é