Considere três possibilidades de interação viscosa utilizando óleo entre um cilindro e um mancal (camisa concêntrica ao cilindro). O cilindro sólido possui diâmetro de 0 , 030 m e comprimento L de 0 , 20 m. A espessura da folga entre o cilindro e a camisa (mancal) é sempre de 0 , 000 1 m. Entre o cilindro e o mancal existe sempre um óleo lubrificante semelhante ao SAE 10 a 5^{\circ} \mathrm{C}, com viscosidade \boldsymbol{\mu}=\mathbf{0 , 3 0 0 ~ k g} /(\mathbf{m ~ s}). Considere três situações:
a) Cilindro girando como um eixo no mancal, com rotação de \mathbf{1 . 8 0 0 ~ R P M}. O lubrificante envolve toda a superfície lateral do cilindro em contato com o mancal;
b) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na direção horizontal e o cilindro é empurrado com movimento de translação na direção deste eixo, para o interior do mancal, com velocidade constante de \mathbf{0 , 5 ~ m} / \mathbf{s}. Lubrificante presente em toda superfície lateral do cilindro durante a trajetória;
c) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na posição vertical. O cilindro desloca-se verticalmente, em queda por ação da gravidade no interior do mancal com a presença do óleo entre ambos. Considere que o lubrificante está presente em toda a trajetória e que o cilindro é feito de alumínio com \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Em cada situação enuncie as hipóteses gerais e faça um croquis simples.
a) Cilindro girando como um eixo no mancal, com rotação de \mathbf{1 . 8 0 0 ~ R P M}. O lubrificante envolve toda a superfície lateral do cilindro em contato com o mancal;
b) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na direção horizontal e o cilindro é empurrado com movimento de translação na direção deste eixo, para o interior do mancal, com velocidade constante de \mathbf{0 , 5 ~ m} / \mathbf{s}. Lubrificante presente em toda superfície lateral do cilindro durante a trajetória;
c) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na posição vertical. O cilindro desloca-se verticalmente, em queda por ação da gravidade no interior do mancal com a presença do óleo entre ambos. Considere que o lubrificante está presente em toda a trajetória e que o cilindro é feito de alumínio com \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
-
Dados do problema:
- Diâmetro do cilindro:
. Portanto o raio é . - Comprimento do cilindro:
. - Espessura da folga (gap) entre cilindro e mancal:
. - Viscosidade do óleo (Newtoniano):
. - Caso (a): rotação
. - Caso (b): translação axial com velocidade
. - Caso (c): cilindro de alumínio com
, desloca-se verticalmente sob gravidade com óleo presente (não foi dada a densidade do óleo ).
- Diâmetro do cilindro:
-
O pedido do enunciado:
- Para cada situação (a), (b), (c) enunciar as hipóteses gerais (assunções físicas que serão consideradas) e fazer um croqui simples (descrição do desenho do arranjo).
Observação: não há figura fornecida pelo usuário, por isso os croquis serão descritos textualmente. Também a densidade do óleo não foi dada; onde necessário eu deixarei a expressão geral em função de
e mostro um exemplo numérico assumindo um valor típico, deixando claro que é hipótese adicional.
Passo 2
Hipóteses gerais que vou adotar para todas as três situações (essas são as hipóteses “padrão” de lubrificação simples e são importantes para a prova — anota aí que costuma ser o que se pede em exames):
- O óleo é um fluido newtoniano e isotérmico com viscosidade constante
. - Isso significa que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
.
- Isso significa que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade:
- Folga fina:
. Com e tem-se , suficientemente pequeno para usar a aproximação de película delgada (lubrificação de espessura reduzida). - Em palavras: o escoamento na folga pode ser aproximado localmente por escoamento entre superfícies paralelas (aproximação de Couette/Poiseuille, dependendo do caso).
- Condição de não-deslizamento (no-slip): velocidade do fluido junto às superfícies coincide com a velocidade da superfície (superfície do cilindro e da camisa).
- Escoamento laminar e estacionário (ou quasi-estacionário): o número de Reynolds baseado na folga será pequeno; para os números que vamos ver esta hipótese é válida.
- Efeitos de extremidade (borda) são desprezíveis: comprimento
é grande comparado a , então arrastar nas extremidades é pequeno e podemos considerar apenas a superfície lateral. - Filme totalmente preenchido (fully flooded): não há cavitação nem zonas secas; conforme enunciado o lubrificante está presente em toda a superfície.
Vou agora explicar a ferramenta matemática que uso com frequência: para um escoamento de velocidade relativa
ao longo de uma direção paralela à superfície e com variação do perfil em uma direção normal de espessura
, a tensão de cisalhamento média na parede é aproximadamente
A força viscosa sobre a superfície lateral do cilindro é então
E o torque devido à tensão tangencial (no caso de rotação) é
Essas fórmulas vêm do conceito de tensão de cisalhamento (força por unidade de área) multiplicada pela área e, para torque, multiplicada pelo braço
. Vou usar isso nos casos (a) e (b) para ilustrar com números.
Passo 3
- Transcrever dados relevantes:
-
. - Velocidade de superfície do cilindro:
. - Com
: Em valor numérico:
-
- Aplicar a aproximação de filme fino (escoamento de Couette primário): queda de velocidade
em espessura , então Substituindo números: (Interpretação: essa é a tensão de cisalhamento que o óleo transmite entre o cilindro em rotação e o mancal.) - Torque viscous sobre o eixo:
Substituindo: Calculando: - Verificação da hipótese laminar (ordem de grandeza do Reynolds na folga): o número de Reynolds característico na película pode ser estimado por
. Sem explícita não dá para número exato, mas usando (valor típico de óleo leve) teríamos muito pequeno — portanto escoamento laminar e hipótese de lubrificação válida. - Croqui (descrição): desenhar um corte transversal concentricamente:
- Um círculo interno (cilindro) raio
, círculo externo (mancal) raio . - Indicar seta tangencial na superfície do cilindro (sentido da rotação) com velocidade
. - Indicar fita sombreada entre cilindro e mancal e anotar
. - Indicar torque
sobre o eixo.
- Um círculo interno (cilindro) raio
Hipóteses específicas para (a) (resumidas):
- Escoamento puramente tangencial (principalmente Couette), sem pressão axial significativo.
- Filme completo e contínuo, não cavitação.
- Estado estacionário de rotação.
Passo 4
- Natureza do escoamento: cilindro deslocando-se ao longo de seu eixo dentro da camisa; o movimento relativo do fluido é na direção axial, com gradiente radial na folga — isto é novamente um problema tipo Couette (duas superfícies paralelas aproximadas).
- Tensão de cisalhamento aproximada:
Substituindo: - Força viscosa total (arrasto axial) sobre o cilindro:
Calculando: - Verificação de regime: Reynolds na película com
: ainda bem pequeno — regime laminar, aproximação válida. - Croqui (descrição): desenhar vista lateral:
- Cilindro longo dentro da camisa; indicar eixo horizontal.
- Seta para a direita ao longo do eixo indicando
. - Indicar a película de óleo entre cilindro e mancal com espessura
. - Anotar
apontando contrária ao movimento (arrasto).
Hipóteses específicas para (b):
- Escoamento axial uniforme (Couette axial), sem pressão axial significativa.
- Filme completo, sem cavitação nem zonas secas.
- Estado estacionário de translação a velocidade constante.
Passo 5
- Identificar as forças relevantes (e montar o balanço):
- Peso do cilindro:
, com massa e . - Empuxo (força de arco do fluido) para volume deslocado:
(aqui é necessário do óleo; não fornecida). - Força viscosa de arrasto axial, igual à do caso (b) com velocidade terminal
(a tensão é e a força ).
- Peso do cilindro:
- Equação de equilíbrio na velocidade terminal
: Cancelando e resolvendo para : Esta é uma expressão muito simples e útil: velocidade terminal proporcional à diferença de densidades e ao gap , inversamente proporcional à viscosidade. - Observação sobre a densidade do óleo:
- O enunciado não fornece
. Para obter valor numérico é preciso escolher . Um valor típico para óleo leve é . Vou mostrar dois exemplos numéricos (apenas para dar ideia), explicitando que são hipóteses adicionais: - Se
: - Se desprezarmos empuxo (hipótese menos realista,
):
- Se
- Ambas as velocidades são baixas, o que confirma a validade da aproximação laminar; por exemplo com
o Reynolds na película é
- O enunciado não fornece
- Croqui (descrição): desenhar vista lateral com eixo vertical:
- Cilindro dentro da camisa, setas apontando para baixo indicando velocidade
. - Indicar peso
para baixo e empuxo para cima e arrasto viscoso para cima. - Anotar o filme de óleo
entre cilindro e mancal.
- Cilindro dentro da camisa, setas apontando para baixo indicando velocidade
- Hipóteses específicas para (c):
- Balance de forças entre peso, empuxo e arrasto viscoso; escoamento na folga tratado como Couette axial.
- Filme completamente preenchido, regime estacionário alcançado (velocidade terminal).
- Necessidade de
para valor numérico do ; sem esse dado, fica só a expressão analítica.
Passo 6
Resumo didático — regras práticas que valem para a prova (o que o examinador costuma esperar que você diga):
- Sempre cite as hipóteses de filme fino (
), fluido newtoniano, não-deslizamento, escoamento laminar e negligência de efeitos de extremidade. - Para movimentos relativos tangenciais ou axiais em folga fina aplique a aproximação
, e então calcule força e torque por e . - Se pedirem velocidade terminal em queda, monte equilíbrio peso menos empuxo igual arrasto e resolva analiticamente para
. Mostre que . - Se um dado físico estiver ausente (aqui
), apresente a expressão em função do parâmetro ausente e, se quiser, mostre um exemplo numérico assumindo um valor típico, sempre declarando que é hipótese adicional.
Resposta
(a) Hipóteses gerais:
- Óleo newtoniano e isoterma com
. - Folga fina
e (lubrificação de película delgada). - Não-deslizamento nas superfícies, filme completamente preenchido, escoamento estacionário e laminar, efeitos de extremidade desprezíveis.
Croqui (descrição): corte transversal mostrando cilindro raioconcentricamente dentro do mancal (raio externo ), filme de óleo de espessura , seta tangencial na superfície do cilindro indicando ( ), anotação do torque viscoso .
(b) Hipóteses gerais:
- Mesmas hipóteses do caso (a): óleo newtoniano, película fina, não-deslizamento, escoamento laminar estacionário, filme totalmente preenchido, efeitos de extremidade desprezíveis.
- Movimento relativo axial uniforme (Couette axial), sem gradiente de pressão axial dominante.
Croqui (descrição): vista lateral com cilindro dentro da camisa, eixo horizontal, seta ao longo do eixo indicando, filme de óleo de espessura , anotação da força viscosa contrária ao movimento.
(c) Hipóteses gerais:
- Mesmas hipóteses de filme fino, fluido newtoniano, não-deslizamento, escoamento laminar e efeitos de extremidade desprezíveis.
- Filme continuamente preenchido durante a queda; equilíbrio de forças ao atingir velocidade terminal.
- A densidade do óleo
não foi fornecida — a velocidade terminal fica em função de .
Expressão para velocidade terminal:
com
. Croqui (descrição): vista lateral com eixo vertical, setas indicando
para baixo,
para cima e arrasto viscoso
para cima; filme de óleo anotado com
.