Considere três possibilidades de interação viscosa utilizando óleo entre um cilindro e um mancal (camisa concêntrica ao cilindro). O cilindro sólido possui diâmetro de 0 , 030 m e comprimento L de 0 , 20 m. A espessura da folga entre o cilindro e a camisa (mancal) é sempre de 0 , 000 1 m. Entre o cilindro e o mancal existe sempre um óleo lubrificante semelhante ao SAE 10 a 5^{\circ} \mathrm{C}, com viscosidade \boldsymbol{\mu}=\mathbf{0 , 3 0 0 ~ k g} /(\mathbf{m ~ s}). Considere três situações:
a) Cilindro girando como um eixo no mancal, com rotação de \mathbf{1 . 8 0 0 ~ R P M}. O lubrificante envolve toda a superfície lateral do cilindro em contato com o mancal;
b) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na direção horizontal e o cilindro é empurrado com movimento de translação na direção deste eixo, para o interior do mancal, com velocidade constante de \mathbf{0 , 5 ~ m} / \mathbf{s}. Lubrificante presente em toda superfície lateral do cilindro durante a trajetória;
c) Cilindro e mancal com eixo longitudinal na posição vertical. O cilindro desloca-se verticalmente, em queda por ação da gravidade no interior do mancal com a presença do óleo entre ambos. Considere que o lubrificante está presente em toda a trajetória e que o cilindro é feito de alumínio com \rho=2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
Em cada situação enuncie as hipóteses gerais e faça um croquis simples.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Dados do problema:
    • Diâmetro do cilindro: 0,030\\ \mathrm{m}. Portanto o raio é R=\tfrac{0,030}{2}=0,015\\ \mathrm{m}.
    • Comprimento do cilindro: L=0,20\\ \mathrm{m}.
    • Espessura da folga (gap) entre cilindro e mancal: h=0,0001\\ \mathrm{m}.
    • Viscosidade do óleo (Newtoniano): \mu=0,300\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m\\ s}).
    • Caso (a): rotação \,1\,800\\ \mathrm{RPM}.
    • Caso (b): translação axial com velocidade V=0,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Caso (c): cilindro de alumínio com \rho_{\text{al}}=2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}, desloca-se verticalmente sob gravidade com óleo presente (não foi dada a densidade do óleo \rho_{\text{oil}}).
  • O pedido do enunciado:
    • Para cada situação (a), (b), (c) enunciar as hipóteses gerais (assunções físicas que serão consideradas) e fazer um croqui simples (descrição do desenho do arranjo).
Observação: não há figura fornecida pelo usuário, por isso os croquis serão descritos textualmente. Também a densidade do óleo não foi dada; onde necessário eu deixarei a expressão geral em função de \rho_{\text{oil}} e mostro um exemplo numérico assumindo um valor típico, deixando claro que é hipótese adicional.

Passo 2

Hipóteses gerais que vou adotar para todas as três situações (essas são as hipóteses “padrão” de lubrificação simples e são importantes para a prova — anota aí que costuma ser o que se pede em exames):
  • O óleo é um fluido newtoniano e isotérmico com viscosidade constante \mu.
    • Isso significa que a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade: \tau=\mu\,\dfrac{\Delta V}{\Delta y}.
  • Folga fina: h\ll R. Com h=0,0001\\ \mathrm{m} e R=0,015\\ \mathrm{m} tem-se h/R\approx6{,}7\times10^{-3}, suficientemente pequeno para usar a aproximação de película delgada (lubrificação de espessura reduzida).
    • Em palavras: o escoamento na folga pode ser aproximado localmente por escoamento entre superfícies paralelas (aproximação de Couette/Poiseuille, dependendo do caso).
  • Condição de não-deslizamento (no-slip): velocidade do fluido junto às superfícies coincide com a velocidade da superfície (superfície do cilindro e da camisa).
  • Escoamento laminar e estacionário (ou quasi-estacionário): o número de Reynolds baseado na folga será pequeno; para os números que vamos ver esta hipótese é válida.
  • Efeitos de extremidade (borda) são desprezíveis: comprimento L é grande comparado a h, então arrastar nas extremidades é pequeno e podemos considerar apenas a superfície lateral.
  • Filme totalmente preenchido (fully flooded): não há cavitação nem zonas secas; conforme enunciado o lubrificante está presente em toda a superfície.
Vou agora explicar a ferramenta matemática que uso com frequência: para um escoamento de velocidade relativa \Delta V ao longo de uma direção paralela à superfície e com variação do perfil em uma direção normal de espessura h, a tensão de cisalhamento média na parede é aproximadamente
\tau \approx \mu\;\frac{\Delta V}{h}.
A força viscosa sobre a superfície lateral do cilindro é então
F=\tau\cdot A_{\text{lateral}}=\tau\cdot(2\pi R L).
E o torque devido à tensão tangencial (no caso de rotação) é
T=\tau\cdot(2\pi R L)\cdot R=2\pi R^{2}L\,\tau.
Essas fórmulas vêm do conceito de tensão de cisalhamento (força por unidade de área) multiplicada pela área e, para torque, multiplicada pelo braço R. Vou usar isso nos casos (a) e (b) para ilustrar com números.

Passo 3

  1. Transcrever dados relevantes:
    • \displaystyle \omega = 2\pi\cdot\frac{1\,800}{60}=2\pi\cdot 30=60\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
    • Velocidade de superfície do cilindro: \displaystyle U=\omega R.
    • Com R=0,015\\ \mathrm{m}: U=\left(60\pi\right)\cdot 0,015\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.Em valor numérico: U\approx 188{,}496\cdot 0,015\approx 2{,}8274\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
  2. Aplicar a aproximação de filme fino (escoamento de Couette primário): queda de velocidade \Delta V\approx U-0=U em espessura h, então \tau\approx\mu\frac{U}{h}.Substituindo números: \tau\approx 0,300\cdot\frac{2{,}8274}{0,0001}\\ \mathrm{Pa}\approx 8\,482{,}2\\ \mathrm{Pa}.(Interpretação: essa é a tensão de cisalhamento que o óleo transmite entre o cilindro em rotação e o mancal.)
  3. Torque viscous sobre o eixo: T=2\pi R^{2}L\,\tau.Substituindo: T\approx 2\pi\cdot(0,015)^{2}\cdot 0,20\cdot 8\,482{,}2\\ \mathrm{N\,m}.Calculando: T\approx 2{,}40\\ \mathrm{N\cdot m}\quad(\text{aprox. }2{,}40\\ \mathrm{N\cdot m}).
  4. Verificação da hipótese laminar (ordem de grandeza do Reynolds na folga): o número de Reynolds característico na película pode ser estimado por \operatorname{Re}\sim \dfrac{\rho_{\text{oil}} U h}{\mu}. Sem \rho_{\text{oil}} explícita não dá para número exato, mas usando \rho_{\text{oil}}\sim 900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (valor típico de óleo leve) teríamos \operatorname{Re}\sim\frac{900\cdot 2{,}8274\cdot 10^{-4}}{0,300}\sim 0{,}0085,muito pequeno — portanto escoamento laminar e hipótese de lubrificação válida.
  5. Croqui (descrição): desenhar um corte transversal concentricamente:
    • Um círculo interno (cilindro) raio R, círculo externo (mancal) raio R+h.
    • Indicar seta tangencial na superfície do cilindro (sentido da rotação) com velocidade \,U=\omega R.
    • Indicar fita sombreada entre cilindro e mancal e anotar h=0,0001\\ \mathrm{m}.
    • Indicar torque T sobre o eixo.
Hipóteses específicas para (a) (resumidas):
  • Escoamento puramente tangencial (principalmente Couette), sem pressão axial significativo.
  • Filme completo e contínuo, não cavitação.
  • Estado estacionário de rotação.

Passo 4

  1. Natureza do escoamento: cilindro deslocando-se ao longo de seu eixo dentro da camisa; o movimento relativo do fluido é na direção axial, com gradiente radial na folga — isto é novamente um problema tipo Couette (duas superfícies paralelas aproximadas).
  2. Tensão de cisalhamento aproximada: \tau\approx \mu\frac{V}{h}.Substituindo: \tau\approx 0,300\cdot\frac{0{,}5}{0{,}0001}=0{,}300\cdot 5\,000=1\,500\\ \mathrm{Pa}.
  3. Força viscosa total (arrasto axial) sobre o cilindro: F=\tau\cdot(2\pi R L)=1\,500\cdot 2\pi\cdot 0,015\cdot 0,20.Calculando: F\approx 28{,}27\\ \mathrm{N}.
  4. Verificação de regime: Reynolds na película com \rho_{\text{oil}}\sim900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: \operatorname{Re}\sim\frac{900\cdot 0{,}5\cdot 10^{-4}}{0{,}300}\sim 0{,}15,ainda bem pequeno — regime laminar, aproximação válida.
  5. Croqui (descrição): desenhar vista lateral:
    • Cilindro longo dentro da camisa; indicar eixo horizontal.
    • Seta para a direita ao longo do eixo indicando V=0,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Indicar a película de óleo entre cilindro e mancal com espessura h.
    • Anotar F apontando contrária ao movimento (arrasto).
Hipóteses específicas para (b):
  • Escoamento axial uniforme (Couette axial), sem pressão axial significativa.
  • Filme completo, sem cavitação nem zonas secas.
  • Estado estacionário de translação a velocidade constante.

Passo 5

  1. Identificar as forças relevantes (e montar o balanço):
    • Peso do cilindro: W=m g, com massa m=\rho_{\text{al}}\cdot V_{\text{cil}} e V_{\text{cil}}=\pi R^{2}L. W=\rho_{\text{al}}\pi R^{2}L\,g.
    • Empuxo (força de arco do fluido) para volume deslocado: B=\rho_{\text{oil}}\pi R^{2}L\,g (aqui é necessário \rho_{\text{oil}} do óleo; não fornecida).
    • Força viscosa de arrasto axial, igual à do caso (b) com velocidade terminal V (a tensão é \tau\approx\mu V/h e a força F=\tau\cdot 2\pi R L).
  2. Equação de equilíbrio na velocidade terminal V_{t}: W-B = F \quad\Longrightarrow\quad (\rho_{\text{al}}-\rho_{\text{oil}})\pi R^{2}L\,g = \mu\frac{V_{t}}{h}\cdot 2\pi R L.Cancelando \pi L e resolvendo para V_{t}: V_{t}=\frac{(\rho_{\text{al}}-\rho_{\text{oil}})\,R\,g\,h}{2\,\mu}.Esta é uma expressão muito simples e útil: velocidade terminal proporcional à diferença de densidades e ao gap h, inversamente proporcional à viscosidade.
  3. Observação sobre a densidade do óleo:
    • O enunciado não fornece \rho_{\text{oil}}. Para obter valor numérico é preciso escolher \rho_{\text{oil}}. Um valor típico para óleo leve é \rho_{\text{oil}}\approx 900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}. Vou mostrar dois exemplos numéricos (apenas para dar ideia), explicitando que são hipóteses adicionais:
      • Se \rho_{\text{oil}}=900\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}: V_{t}\approx\frac{(2700-900)\cdot 0{,}015\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0001}{2\cdot 0{,}300}\approx 0{,}044\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
      • Se desprezarmos empuxo (hipótese menos realista, \rho_{\text{oil}}=0): V_{t}\approx\frac{2700\cdot 0{,}015\cdot 9{,}81\cdot 0{,}0001}{2\cdot 0{,}300}\approx 0{,}066\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Ambas as velocidades são baixas, o que confirma a validade da aproximação laminar; por exemplo com \rho_{\text{oil}}=900 o Reynolds na película é \operatorname{Re}\sim\frac{\rho_{\text{oil}} V_{t} h}{\mu}\approx\frac{900\cdot 0{,}044\cdot 10^{-4}}{0{,}300}\approx 0{,}013\ll 1.
  4. Croqui (descrição): desenhar vista lateral com eixo vertical:
    • Cilindro dentro da camisa, setas apontando para baixo indicando velocidade V_{t}.
    • Indicar peso W para baixo e empuxo B para cima e arrasto viscoso F para cima.
    • Anotar o filme de óleo h entre cilindro e mancal.
  5. Hipóteses específicas para (c):
    • Balance de forças entre peso, empuxo e arrasto viscoso; escoamento na folga tratado como Couette axial.
    • Filme completamente preenchido, regime estacionário alcançado (velocidade terminal).
    • Necessidade de \rho_{\text{oil}} para valor numérico do V_{t}; sem esse dado, fica só a expressão analítica.

Passo 6

Resumo didático — regras práticas que valem para a prova (o que o examinador costuma esperar que você diga):
  • Sempre cite as hipóteses de filme fino ( h\ll R), fluido newtoniano, não-deslizamento, escoamento laminar e negligência de efeitos de extremidade.
  • Para movimentos relativos tangenciais ou axiais em folga fina aplique a aproximação \tau\approx\mu\,\Delta V/h, e então calcule força e torque por F=\tau\cdot 2\pi R L e T=\tau\cdot 2\pi R^{2}L.
  • Se pedirem velocidade terminal em queda, monte equilíbrio peso menos empuxo igual arrasto e resolva analiticamente para V_{t}. Mostre que V_{t}=\dfrac{(\rho_{\text{al}}-\rho_{\text{oil}})R g h}{2\mu}.
  • Se um dado físico estiver ausente (aqui \rho_{\text{oil}}), apresente a expressão em função do parâmetro ausente e, se quiser, mostre um exemplo numérico assumindo um valor típico, sempre declarando que é hipótese adicional.

Resposta

(a) Hipóteses gerais:
  • Óleo newtoniano e isoterma com \mu=0,300\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m\\ s}).
  • Folga fina h=0,0001\\ \mathrm{m} e h\ll R (lubrificação de película delgada).
  • Não-deslizamento nas superfícies, filme completamente preenchido, escoamento estacionário e laminar, efeitos de extremidade desprezíveis.
    Croqui (descrição): corte transversal mostrando cilindro raio R=0,015\\ \mathrm{m} concentricamente dentro do mancal (raio externo R+h), filme de óleo de espessura h, seta tangencial na superfície do cilindro indicando U=\omega R ( \omega=60\pi\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}), anotação do torque viscoso T.
(b) Hipóteses gerais:
  • Mesmas hipóteses do caso (a): óleo newtoniano, película fina, não-deslizamento, escoamento laminar estacionário, filme totalmente preenchido, efeitos de extremidade desprezíveis.
  • Movimento relativo axial uniforme (Couette axial), sem gradiente de pressão axial dominante.
    Croqui (descrição): vista lateral com cilindro dentro da camisa, eixo horizontal, seta ao longo do eixo indicando V=0,5\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}, filme de óleo de espessura h, anotação da força viscosa F contrária ao movimento.
(c) Hipóteses gerais:
  • Mesmas hipóteses de filme fino, fluido newtoniano, não-deslizamento, escoamento laminar e efeitos de extremidade desprezíveis.
  • Filme continuamente preenchido durante a queda; equilíbrio de forças ao atingir velocidade terminal.
  • A densidade do óleo \rho_{\text{oil}} não foi fornecida — a velocidade terminal fica em função de \rho_{\text{oil}}.
    Expressão para velocidade terminal:
V_{t}=\frac{(\rho_{\text{al}}-\rho_{\text{oil}})\,R\,g\,h}{2\,\mu},
com \rho_{\text{al}}=2700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}. Croqui (descrição): vista lateral com eixo vertical, setas indicando W para baixo, B para cima e arrasto viscoso F para cima; filme de óleo anotado com h.

Exercícios relacionados