Num processo de nebulização, o diâmetro médio das gotículas ( \mathbf{d}_{m} ) é função da massa especifica (\boldsymbol{\rho}), da tensão superficial (\boldsymbol{\sigma}), da viscosidade dinâmica (\boldsymbol{\mu}), do liquido, do diâmetro (\mathbf{D}), do ângulo de abertura ( \boldsymbol{\theta} ) do nebulizador, e da velocidade média do escoamento (V). Em um experimento laboratorial, observou-se que água com \rho=981 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=0,001 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} e \sigma=0,073 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é nebulizada num dispositivo com \mathrm{D}=1 \mathrm{~mm}, \theta=30^{\circ} e \mathrm{V}=100,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, resultando num diâmetro médio de 50 micrometros. Pretende-se realizar um novo experimento com etanol, utilizando-se o mesmo dispositivo, porém com novo diâmetro. O etanol possui massa especifica igual a \mathbf{7 7 4 , 4 ~} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, tensão superficial de 0,022 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, viscosidade dinâmica de 0,25 \times 10^{-3} \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2}. Nessas condições:
3.1 ( 0,5 pontos) Apresente uma expressão com a relação do diâmetro médio em função das outras grandezas do fenômeno.
3.2 (1,5 pontos) Utilize o Teorema \pi de Buckingham para encontrar a forma funcional adimensional representativa do fenômeno. Utilize o sistema MLT e não use a velocidade, nem a viscosidade dinâmica como variáveis repetidas (repetitivas), ou seja, as grandezas velocidade e viscosidade dinâmica não devem ser utilizadas para compor a nova base (ou base reduzida) da matriz dimensional.
3.3 (1,0 ponto) Se for realizado um experimento em condição de semelhança, qual o diâmetro do nebulizador, a velocidade do etanol e o diâmetro médio de partículas obtido?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda):
  • Grandezas envolvidas (pegar do enunciado):
    • diâmetro médio das gotículas: d_{m} (incógnita em 3.1 e 3.2; em 3.3 queremos o valor para etanol).
    • massa específica: \rho.
    • tensão superficial: \sigma.
    • viscosidade dinâmica: \mu.
    • diâmetro do nebulizador: D.
    • ângulo de abertura: \theta (adimensional).
    • velocidade média do escoamento: V.
  • Dados do experimento com água (caso de referência):
    • \rho_{w}=981\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • \mu_{w}=0,001\\ \mathrm{Ns/m^{2}}
    • \sigma_{w}=0,073\\ \mathrm{N/m}
    • D_{w}=1\\ \mathrm{mm}=0,001\\ \mathrm{m}
    • \theta=30^\circ (mesmo para o novo experimento)
    • V_{w}=100{,}0\\ \mathrm{m/s}
    • diâmetro médio observado: d_{m,w}=50\\ \mu\mathrm{m}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
  • Dados do etanol (novo fluido):
    • \rho_{e}=774{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • \mu_{e}=0,25\times10^{-3}\\ \mathrm{Ns/m^{2}}=0,00025\\ \mathrm{Ns/m^{2}}
    • \sigma_{e}=0,022\\ \mathrm{N/m}
O enunciado pede:
  • 3.1: apresentar uma expressão relacionando d_{m} com as demais grandezas.
  • 3.2: usar o Teorema \pi de Buckingham (sistema MLT), escolhendo como variáveis repetidas algo que NÃO inclua V nem \mu.
  • 3.3: assumindo condição de semelhança (ou seja, igualdade dos números adimensionais relevantes entre caso água e caso etanol, com \theta mantido), determinar o novo D do nebulizador, a velocidade do etanol V_{e} e o diâmetro médio de partículas obtido d_{m,e}.

Passo 2

Breve lembrete didático do Teorema \pi de Buckingham (sem jargões):
  • Se há n grandezas físicas envolvidas e k dimensões fundamentais (aqui k=3 em MLT), então é possível construir p=n-k combinações adimensionais \pi_{i}. A relação física pode ser escrita como uma função entre essas \pi: \Phi(\pi_{1},\dots,\pi_{p})=0 ou isolando a dependente \pi_{1}=\Psi(\pi_{2},\dots,\pi_{p}).
  • Escolhe-se um conjunto de k grandezas repetidas, cujas dimensões sejam independentemente capazes de construir as demais. O problema exige que NÃO usemos V nem \mu como repetidas; por isso vamos escolher outras três.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas (segundo a restrição do enunciado):
  • Vou escolher como variáveis repetidas: \rho (massa específica), D (comprimento), \sigma (tensão superficial).
  • Justificativa: suas dimensões em MLT são
    • \rho:\\ [M L^{-3}],
    • D:\\ [L],
    • \sigma:\\ [M T^{-2}].
      Essas três colunas são linearmente independentes em relação às dimensões M,L,T, então podem servir como base repetida. Cumpre a restrição de não usar \mu nem V.

Passo 4

Construção de \pi_{1} (associada a d_{m}):
  • Supõe-se \pi_{1}=d_{m}\,\rho^{a}\,D^{b}\,\sigma^{c}. Queremos exponente a,b,c tais que \pi_{1} seja adimensional.
  • Dimensões: d_{m}:[L], \rho:[M L^{-3}], D:[L], \sigma:[M T^{-2}].
  • Equacionando expoentes das dimensões:
    • M: a+c=0.
    • L: 1-3a+b=0.
    • T: -2c=0.
  • Da última equação c=0. Então a=0. Da segunda: b=-1.
  • Assim \pi_{1}=\dfrac{d_{m}}{D}.
Interpretação prática: a razão d_{m}/D é uma das quantidades adimensionais naturais do problema.

Passo 5

Construção de \pi_{2} (associada a \mu):
  • Supõe-se \pi_{2}=\mu\,\rho^{a}\,D^{b}\,\sigma^{c}.
  • Dimensões: \mu:[M L^{-1} T^{-1}].
  • Equações dos expoentes:
    • M: 1+a+c=0.
    • L: -1-3a+b=0.
    • T: -1-2c=0.
  • Da última c=-\tfrac{1}{2}. Então da primeira a=-1-c=-1+1/2=-\tfrac{1}{2}.
  • Da segunda b=1+3a=1+3(-\tfrac{1}{2})=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.
  • Logo \pi_{2}=\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}}.
  • Observação: \pi_{2} é o número de Ohnesorge adimensional (Oh): \mathrm{Oh}=\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}}.

Passo 6

Construção de \pi_{3} (associada a V):
  • Supõe-se \pi_{3}=V\,\rho^{a}\,D^{b}\,\sigma^{c}.
  • Dimensões: V:[L T^{-1}].
  • Equações:
    • M:\\ a+c=0.
    • L:\\\ 1-3a+b=0.
    • T:\\\ -1-2c=0.
  • Da última c=-\tfrac{1}{2}. Então a=+\tfrac{1}{2}. Da segunda b=-1+3a=-1+3/2=+\tfrac{1}{2}.
  • Assim \pi_{3}=V\sqrt{\frac{\rho D}{\sigma}}.
  • Nota: \pi_{3}^{2}=\dfrac{\rho V^{2} D}{\sigma} é o número de Weber \mathrm{We}. Então \pi_{3}=\sqrt{\mathrm{We}}.

Passo 7

Construção de \pi_{4} (associada a \theta):
  • O ângulo \theta é adimensional, logo \pi_{4}=\theta.

Passo 8

Forma funcional adimensional final (resposta de 3.2):
  • Pelo Teorema \pi com as \pi encontradas, a relação pode ser escrita como \frac{d_{m}}{D}=\Phi\!\left(\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}},\;V\sqrt{\frac{\rho D}{\sigma}},\;\theta\right).
  • Ou, em termos dos números clássicos, \frac{d_{m}}{D}=\Psi\!\big(\mathrm{Oh},\;\mathrm{We},\;\theta\big).
Isto responde 3.1 e 3.2 de forma útil: a expressão desejada mostra que o diâmetro médio escala com D multiplicado por uma função adimensional dos parâmetros Oh, We e \theta.

Passo 9

Princípio de semelhança para o item 3.3 (estratégia):
  • Condição de semelhança: para que o comportamento (i.e., a função adimensional \Phi) seja o mesmo entre o caso água (subscrito w) e o caso etanol (subscrito e), é necessário igualar os \pi correspondentes: \mathrm{Oh}_{e}=\mathrm{Oh}_{w},\qquad \mathrm{We}_{e}=\mathrm{We}_{w},\qquad \theta_{e}=\theta_{w}.
  • Mantendo \theta igual (dado), temos duas equações (Oh e We) para determinar as duas incógnitas escolhidas libremente aqui: D_{e} (novo diâmetro do nebulizador) e V_{e} (velocidade a usar com etanol).
  • Uma vez satisfeitas essas igualdades, a razão \dfrac{d_{m,e}}{D_{e}} será igual a \dfrac{d_{m,w}}{D_{w}} (ou seja, o mesmo valor adimensional observado no caso água). Então d_{m,e}=D_{e}\,\dfrac{d_{m,w}}{D_{w}}.

Passo 10

Equacionando \mathrm{Oh}_{e}=\mathrm{Oh}_{w} e isolando D_{e}:
  • Igualdade: \frac{\mu_{e}}{\sqrt{\rho_{e}\,\sigma_{e}\,D_{e}}}=\frac{\mu_{w}}{\sqrt{\rho_{w}\,\sigma_{w}\,D_{w}}}.
  • Elevando ao quadrado e isolando D_{e}: \mu_{e}^{2}\,\rho_{w}\,\sigma_{w}\,D_{w}=\mu_{w}^{2}\,\rho_{e}\,\sigma_{e}\,D_{e}
\Rightarrow D_{e}=D_{w}\left(\frac{\mu_{e}}{\mu_{w}}\right)^{2}\frac{\rho_{w}\,\sigma_{w}}{\rho_{e}\,\sigma_{e}}.

Passo 11

Cálculo numérico de D_{e} (substituindo os valores dados):
  • Substituir (tudo em SI):
    • D_{w}=0,001\\ \mathrm{m}
    • \mu_{e}=0,00025\\ \mathrm{Ns/m^{2}}
    • \mu_{w}=0,001\\ \mathrm{Ns/m^{2}}
    • \rho_{w}=981\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • \sigma_{w}=0,073\\ \mathrm{N/m}
    • \rho_{e}=774{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}
    • \sigma_{e}=0,022\\ \mathrm{N/m}
  • Calculemos passo a passo:
    \left(\frac{\mu_{e}}{\mu_{w}}\right)^{2}=\left(\frac{0,00025}{0,001}\right)^{2}=(0{,}25)^{2}=0{,}0625.
\frac{\rho_{w}\,\sigma_{w}}{\rho_{e}\,\sigma_{e}}=\frac{981\cdot0{,}073}{774{,}4\cdot0{,}022} =\frac{71{,}613}{17{,}0368}\approx4{,}204.
D_{e}=0{,}001\cdot0{,}0625\cdot4{,}204\approx0{,}00026276\\ \mathrm{m}.
  • Convertendo para unidades práticas: D_{e}\approx0{,}0002628\\ \mathrm{m}=0{,}2628\\ \mathrm{mm}.

Passo 12

Equacionando \mathrm{We}_{e}=\mathrm{We}_{w} e isolando V_{e}:
  • Igualdade: \frac{\rho_{e}\,V_{e}^{2}\,D_{e}}{\sigma_{e}}=\frac{\rho_{w}\,V_{w}^{2}\,D_{w}}{\sigma_{w}}.
  • Isolando V_{e}: V_{e}^{2}=V_{w}^{2}\,\frac{\rho_{w}\,D_{w}\,\sigma_{e}}{\rho_{e}\,D_{e}\,\sigma_{w}} \quad\Rightarrow\quad V_{e}=V_{w}\sqrt{\frac{\rho_{w}\,D_{w}\,\sigma_{e}}{\rho_{e}\,D_{e}\,\sigma_{w}}}.

Passo 13

Cálculo numérico de V_{e} (substituindo valores e usando D_{e} já calculado):
  • Substituições:
    • V_{w}=100{,}0\\ \mathrm{m/s}
    • Valores já conhecidos e D_{e}\approx0{,}00026276\\ \mathrm{m}.
  • Cálculo: \frac{\rho_{w}\,D_{w}\,\sigma_{e}}{\rho_{e}\,D_{e}\,\sigma_{w}} =\frac{981\cdot0{,}001\cdot0{,}022}{774{,}4\cdot0{,}00026276\cdot0{,}073} \approx1{,}4526.
V_{e}=100{,}0\sqrt{1{,}4526}\approx100{,}0\cdot1{,}2052\approx120{,}52\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com sentido prático: V_{e}\approx120{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Passo 14

Cálculo do diâmetro médio de partículas para etanol d_{m,e}:
  • Como \dfrac{d_{m,e}}{D_{e}}=\dfrac{d_{m,w}}{D_{w}} (mesma função adimensional \Phi sob semelhança), \frac{d_{m,e}}{D_{e}}=\frac{50\times10^{-6}}{0{,}001}=0{,}05.
d_{m,e}=0{,}05\;D_{e}=0{,}05\cdot0{,}00026276\\ \mathrm{m}\approx0{,}000013138\\ \mathrm{m}.
  • Em micrômetros: d_{m,e}\approx13{,}14\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 15

Observações finais (didáticas e de verificação):
  • Resultado consistente com a ideia física: etanol tem viscosidade menor e tensão superficial muito menor que a água; para manter os mesmos números adimensionais foi necessário reduzir o diâmetro do orifício ( D_{e}<D_{w}) e aumentar um pouco a velocidade.
  • Resumo aproximado dos valores (arredondados de forma prática):
    • D_{e}\approx0{,}263\\ \mathrm{mm},
    • V_{e}\approx120{,}5\\ \mathrm{m/s},
    • d_{m,e}\approx13{,}14\\ \mu\mathrm{m}.
  • Esses valores foram obtidos assumindo que a única condição de semelhança necessária é a igualdade dos números adimensionais Oh e We (além de \theta). Na prática experimental outras imperfeições podem alterar resultados, mas esta é a previsão por semelhança dimensional.

Resposta

3.1 d_{m}=D\;\Phi\!\left(\dfrac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}},\;V\sqrt{\dfrac{\rho D}{\sigma}},\;\theta\right)
3.2 \displaystyle \frac{d_{m}}{D}=\Phi\!\left(\underbrace{\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}}}_{\mathrm{Oh}},\;\underbrace{V\sqrt{\frac{\rho D}{\sigma}}}_{\sqrt{\mathrm{We}}},\;\theta\right) com \pi_{1}=d_{m}/D,\\ \pi_{2}=\mu/\sqrt{\rho\sigma D},\\ \pi_{3}=V\sqrt{\rho D/\sigma},\\ \pi_{4}=\theta.
3.3 D_{e}\approx0{,}2628\\ \mathrm{mm}
V_{e}\approx120{,}5\\ \mathrm{m/s}
d_{m,e}\approx13{,}14\\ \mu\mathrm{m}

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