Num processo de nebulização, o diâmetro médio das gotículas ( \mathbf{d}_{m} ) é função da massa especifica (\boldsymbol{\rho}), da tensão superficial (\boldsymbol{\sigma}), da viscosidade dinâmica (\boldsymbol{\mu}), do liquido, do diâmetro (\mathbf{D}), do ângulo de abertura ( \boldsymbol{\theta} ) do nebulizador, e da velocidade média do escoamento (V). Em um experimento laboratorial, observou-se que água com \rho=981 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=0,001 \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2} e \sigma=0,073 \mathrm{~N} / \mathrm{m} é nebulizada num dispositivo com \mathrm{D}=1 \mathrm{~mm}, \theta=30^{\circ} e \mathrm{V}=100,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, resultando num diâmetro médio de 50 micrometros. Pretende-se realizar um novo experimento com etanol, utilizando-se o mesmo dispositivo, porém com novo diâmetro. O etanol possui massa especifica igual a \mathbf{7 7 4 , 4 ~} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}, tensão superficial de 0,022 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, viscosidade dinâmica de 0,25 \times 10^{-3} \mathrm{Ns} / \mathrm{m}^{2}. Nessas condições:
3.1 ( 0,5 pontos) Apresente uma expressão com a relação do diâmetro médio em função das outras grandezas do fenômeno.
3.2 (1,5 pontos) Utilize o Teorema \pi de Buckingham para encontrar a forma funcional adimensional representativa do fenômeno. Utilize o sistema MLT e não use a velocidade, nem a viscosidade dinâmica como variáveis repetidas (repetitivas), ou seja, as grandezas velocidade e viscosidade dinâmica não devem ser utilizadas para compor a nova base (ou base reduzida) da matriz dimensional.
3.3 (1,0 ponto) Se for realizado um experimento em condição de semelhança, qual o diâmetro do nebulizador, a velocidade do etanol e o diâmetro médio de partículas obtido?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda):
Grandezas envolvidas (pegar do enunciado):
diâmetro médio das gotículas: d_{m} (incógnita em 3.1 e 3.2; em 3.3 queremos o valor para etanol).
massa específica: \rho.
tensão superficial: \sigma.
viscosidade dinâmica: \mu.
diâmetro do nebulizador: D.
ângulo de abertura: \theta (adimensional).
velocidade média do escoamento: V.
Dados do experimento com água (caso de referência):
3.1: apresentar uma expressão relacionando d_{m} com as demais grandezas.
3.2: usar o Teorema \pi de Buckingham (sistema MLT), escolhendo como variáveis repetidas algo que NÃO inclua V nem \mu.
3.3: assumindo condição de semelhança (ou seja, igualdade dos números adimensionais relevantes entre caso água e caso etanol, com \theta mantido), determinar o novo D do nebulizador, a velocidade do etanol V_{e} e o diâmetro médio de partículas obtido d_{m,e}.
Passo 2
Breve lembrete didático do Teorema \pi de Buckingham (sem jargões):
Se há n grandezas físicas envolvidas e k dimensões fundamentais (aqui k=3 em MLT), então é possível construir p=n-k combinações adimensionais \pi_{i}. A relação física pode ser escrita como uma função entre essas \pi: \Phi(\pi_{1},\dots,\pi_{p})=0 ou isolando a dependente \pi_{1}=\Psi(\pi_{2},\dots,\pi_{p}).
Escolhe-se um conjunto de k grandezas repetidas, cujas dimensões sejam independentemente capazes de construir as demais. O problema exige que NÃO usemos V nem \mu como repetidas; por isso vamos escolher outras três.
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas (segundo a restrição do enunciado):
Vou escolher como variáveis repetidas: \rho (massa específica), D (comprimento), \sigma (tensão superficial).
Justificativa: suas dimensões em MLT são
\rho:\\ [M L^{-3}],
D:\\ [L],
\sigma:\\ [M T^{-2}].
Essas três colunas são linearmente independentes em relação às dimensões M,L,T, então podem servir como base repetida. Cumpre a restrição de não usar \mu nem V.
Passo 4
Construção de \pi_{1} (associada a d_{m}):
Supõe-se \pi_{1}=d_{m}\,\rho^{a}\,D^{b}\,\sigma^{c}. Queremos exponente a,b,c tais que \pi_{1} seja adimensional.
Da última c=-\tfrac{1}{2}. Então da primeira a=-1-c=-1+1/2=-\tfrac{1}{2}.
Da segunda b=1+3a=1+3(-\tfrac{1}{2})=1-\tfrac{3}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Logo\pi_{2}=\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}}.
Observação: \pi_{2} é o número de Ohnesorge adimensional (Oh):\mathrm{Oh}=\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}}.
Passo 6
Construção de \pi_{3} (associada a V):
Supõe-se \pi_{3}=V\,\rho^{a}\,D^{b}\,\sigma^{c}.
Dimensões: V:[L T^{-1}].
Equações:
M:\\ a+c=0.
L:\\\ 1-3a+b=0.
T:\\\ -1-2c=0.
Da última c=-\tfrac{1}{2}. Então a=+\tfrac{1}{2}. Da segunda b=-1+3a=-1+3/2=+\tfrac{1}{2}.
Assim\pi_{3}=V\sqrt{\frac{\rho D}{\sigma}}.
Nota: \pi_{3}^{2}=\dfrac{\rho V^{2} D}{\sigma} é o número de Weber \mathrm{We}. Então \pi_{3}=\sqrt{\mathrm{We}}.
Passo 7
Construção de \pi_{4} (associada a \theta):
O ângulo \theta é adimensional, logo\pi_{4}=\theta.
Passo 8
Forma funcional adimensional final (resposta de 3.2):
Pelo Teorema \pi com as \pi encontradas, a relação pode ser escrita como\frac{d_{m}}{D}=\Phi\!\left(\frac{\mu}{\sqrt{\rho\,\sigma\,D}},\;V\sqrt{\frac{\rho D}{\sigma}},\;\theta\right).
Ou, em termos dos números clássicos,\frac{d_{m}}{D}=\Psi\!\big(\mathrm{Oh},\;\mathrm{We},\;\theta\big).
Isto responde 3.1 e 3.2 de forma útil: a expressão desejada mostra que o diâmetro médio escala com D multiplicado por uma função adimensional dos parâmetros Oh, We e \theta.
Passo 9
Princípio de semelhança para o item 3.3 (estratégia):
Condição de semelhança: para que o comportamento (i.e., a função adimensional \Phi) seja o mesmo entre o caso água (subscrito w) e o caso etanol (subscrito e), é necessário igualar os \pi correspondentes:\mathrm{Oh}_{e}=\mathrm{Oh}_{w},\qquad \mathrm{We}_{e}=\mathrm{We}_{w},\qquad \theta_{e}=\theta_{w}.
Mantendo \theta igual (dado), temos duas equações (Oh e We) para determinar as duas incógnitas escolhidas libremente aqui: D_{e} (novo diâmetro do nebulizador) e V_{e} (velocidade a usar com etanol).
Uma vez satisfeitas essas igualdades, a razão \dfrac{d_{m,e}}{D_{e}} será igual a \dfrac{d_{m,w}}{D_{w}} (ou seja, o mesmo valor adimensional observado no caso água). Então d_{m,e}=D_{e}\,\dfrac{d_{m,w}}{D_{w}}.
Passo 10
Equacionando \mathrm{Oh}_{e}=\mathrm{Oh}_{w} e isolando D_{e}:
Arredondando com sentido prático:V_{e}\approx120{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Passo 14
Cálculo do diâmetro médio de partículas para etanol d_{m,e}:
Como \dfrac{d_{m,e}}{D_{e}}=\dfrac{d_{m,w}}{D_{w}} (mesma função adimensional \Phi sob semelhança),\frac{d_{m,e}}{D_{e}}=\frac{50\times10^{-6}}{0{,}001}=0{,}05.
Em micrômetros:d_{m,e}\approx13{,}14\\ \mu\mathrm{m}.
Passo 15
Observações finais (didáticas e de verificação):
Resultado consistente com a ideia física: etanol tem viscosidade menor e tensão superficial muito menor que a água; para manter os mesmos números adimensionais foi necessário reduzir o diâmetro do orifício (D_{e}<D_{w}) e aumentar um pouco a velocidade.
Resumo aproximado dos valores (arredondados de forma prática):
D_{e}\approx0{,}263\\ \mathrm{mm},
V_{e}\approx120{,}5\\ \mathrm{m/s},
d_{m,e}\approx13{,}14\\ \mu\mathrm{m}.
Esses valores foram obtidos assumindo que a única condição de semelhança necessária é a igualdade dos números adimensionais Oh e We (além de \theta). Na prática experimental outras imperfeições podem alterar resultados, mas esta é a previsão por semelhança dimensional.