Para o campo de velocidade do problema anterior, V=(A / x) i+(A / x^2) j, em que A=2 m^2 / s e as coordenadas são medidas em metros. Calcule o vetor vorticidade.

Passo 1

Beleza, vou resumir o que o exercício pede: a gente tem um campo de velocidade em 2D dado por
vec V(x,y) = Ax,hatimath ;+;Ax^2,hatjmath com A=2;m^2/s
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de vorticidade, que é simplesmente o rotacional (curl) do vetor velocidade. Para resolver, precisamos saber a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e como calcular derivadas parciais de funções como e .

Passo 2

O que é vorticidade? Em fluidos, a vorticidade vecomega = nabla times vec V é
(omegax,omegay,omegaz) = l(partialy Vz - partialz Vy,; partialz Vx - partialx Vz,; partialx Vy - partialy Vxr)
Em 3D isso dá um vetor com componentes
[
(\omega_x,\omega_y,\omega_z)

\Bigl(\partial_y V_z - \partial_z V_y,;
\partial_z V_x - \partial_x V_z,;
\partial_x V_y - \partial_y V_x\Bigr).
]
Como nosso campo omegaz = partialx Vy - partialy Vx, omegax = omegay = 0 só tem componentes em e (e nada em ), e não depende de nem de , sobra só a componente :

Passo 3

Agora vamos calcular as derivadas parciais explícitas:
  1. partialx Vy = ddx!l(tfracAx^2r) = Acdot(-2)x^-3 = -2Ax^3 . Então
partialy Vx = 0
  1. . Como não há dependência de ,

Passo 4

Juntando em omegaz = partialx Vy - partialy Vx = l(-tfrac2Ax^3r) - 0 = -2Ax^3 :
vecomega = 0,hatimath + 0,hatjmath +l(-tfrac2Ax^3r)hat k
E . Portanto

Resposta

boxedvecomega(x) = -2Ax^3,hat k e, como A=2;(m^2/s), vecomega(x) = -4x^3,hat k

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