Para o campo de velocidade do problema anterior,
, em que
e as coordenadas são medidas em metros. Calcule o vetor vorticidade.
Passo 1
Beleza, vou resumir o que o exercício pede: a gente tem um campo de velocidade em 2D dado por
O conteúdo aqui é cálculo vetorial: vamos usar a definição de vorticidade, que é simplesmente o rotacional (curl) do vetor velocidade. Para resolver, precisamos saber a fórmula do rotacional em coordenadas cartesianas e como calcular derivadas parciais de funções como
e
.
Passo 2
O que é vorticidade? Em fluidos, a vorticidade
é
Em 3D isso dá um vetor com componentes
[
(\omega_x,\omega_y,\omega_z)
\Bigl(\partial_y V_z - \partial_z V_y,;
\partial_z V_x - \partial_x V_z,;
\partial_x V_y - \partial_y V_x\Bigr).
]
\partial_z V_x - \partial_x V_z,;
\partial_x V_y - \partial_y V_x\Bigr).
]
Como nosso campo
só tem componentes em
e
(e nada em
), e não depende de
nem de
, sobra só a componente
:
Passo 3
Agora vamos calcular as derivadas parciais explícitas:
-
. Então
-
. Como não há dependência de ,
Passo 4
Juntando em
:
E
. Portanto