A velocidade para um escoamento permanente incompressível no plano x y é dado por V=(A / x) i+(A / x^2) j, em que A=2 m^2 / s e as coordenadas são medidas em metros. a) calcule o campo de aceleração para esse escoamento, b) calcule a aceleração no ponto (1 m ; 1 m).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a velocidade de um escoamento permanente e incompressível no plano xy é
, com .
Precisamos achar a aceleração do fluido (campo de aceleração) e depois calcular esse vetor no ponto .
Conteúdo: mecânica dos fluidos – aceleração material (ou convectiva). Vamos usar a fórmula
e derivadas parciais.

Passo 2

Como o escoamento é permanente ( ), a aceleração total vem só da parte convectiva:
.
Isso significa que a gente pega o produto escalar de com o operador e aplica em cada componente de .

Passo 3

Escrevendo as componentes do campo de velocidade:
e .
O operador em 2D é .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem:
partial upartial x = partialpartial xl(A,x^-1r) = -A,x^-2, partial upartial y=0,
partial vpartial x = partialpartial xl(A,x^-2r) = -2A,x^-3, partial vpartial y=0

Passo 5

Agora montamos cada componente da aceleração:
ax = u,partial upartial x + v,partial upartial y = Ax,l(-A,x^-2r) + Ax^2cdot 0 = -A^2x^3,
ay = u,partial vpartial x + v,partial vpartial y = Ax,l(-2A,x^-3r) + Ax^2cdot 0 = -2A^2x^4

Passo 6

Substituindo vec a(x,y) = -4x^3,hat i ;-;8x^4,hat j (m/s^2) , temos vec a(1,1) = -41^3,hat i ;-;81^4,hat j = -4,hat i ;-;8,hat j (m/s^2) .
Então o campo de aceleração geral é
No ponto , basta pôr :

Resposta

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