Para o campo de velocidade do problema anterior, V=(A / x) i+(A / x^2) j, em que A=2 m^2 / s e as coordenadas são medidas em metros. Calcule a taxa de deformação por cisalhamento.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente pegar um campo de velocidade que já foi dado antes:
V = Ax,hatimath ;+;Ax^2,hatjmath,
com . A ideia é calcular a taxa de deformação por cisalhamento (ou taxa de deformação de cisalhamento) desse fluido.
Conteúdo: tensores de taxa de deformação em escoamentos (mecânica dos fluidos).
O que precisamos:
  1. Identificar as componentes e do campo.
  2. Saber a fórmula da taxa de cisalhamento .
  3. Calcular as derivadas parciais e montar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos as componentes do vetor velocidade:
u(x,y) = Ax, v(x,y) = Ax^2
Aqui é a componente na direção (eixo ) e na direção (eixo ).

Passo 3

Agora lembramos a definição de taxa de deformação por cisalhamento em coordenadas cartesianas (componente Dxy ;=; 12l(partial upartial y ;+;partial vpartial xr) do tensor de deformação):
Isso vem do fato de que a deformação por cisalhamento mede o quanto o fluido “alarga” em ângulo, e envolve somar as variações cruzadas de e .

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial upartial y = 0 .
    Como partialpartial xl(x^-2r) = -2,x^-3 só depende de partial vpartial x = A,partialpartial x(x^-2) = A,(-2)x^-3 = -2Ax^3 , essa derivada é zero:
  2. .
    A gente trata como constante e usa a regra do poder: Então

Passo 5

Agora montamos Dxy = 12l(0 + l(-tfrac2Ax^3r)r) = -2A2,x^3 = -Ax^3 :
Dxy = -2x^3l[s^-1r]
Só falta substituir :
O sinal negativo indica a orientação do cisalhamento, mas muitas vezes só interessa o módulo.

Resposta

boxedDxy = -2x^3;s^-1

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