Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
(a) se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo.
(b) se o escoamento é permanente ou não, e o motivo.
(As quantidades a e b são constantes escalares).
\mathbf{V}=a x \mathbf{i}+b x^{2} e^{-d} \mathbf{j}

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado nos deu e uma observação importante. O campo de velocidade fornecido é
\mathbf{V}=a x\,\mathbf{i}+b x^{2} e^{-d}\,\mathbf{j},
onde foi dito que a e b são constantes escalares. Informação faltante/ambiguidade: o enunciado não diz o que é d (se é uma constante, se depende do tempo t, ou se depende de coordenadas espaciais). Não vou te perguntar nada a mais — vou assumir o caso mais simples e mais óbvio para a maioria dos exercícios: vou assumir que d é uma constante (ou seja, um número fixo). Em seguida eu mostro rapidamente como as conclusões mudariam se d fosse função do tempo t.
O que o exercício pede:
(a) dizer se o escoamento é uni-, bi- ou tridimensional e justificar;
(b) dizer se o escoamento é permanente (steady) ou não e justificar.

Passo 2

Conceitos rápidos e intuitivos (aula curtinha e sem drama).
  • Definição prática de “uni/bi/tridimensional” aqui: conta-se quantas componentes de velocidade são, em geral, não nulas.
    • Escoamento unidimensional: só uma componente não nula (por exemplo \mathbf{V}=u(x,y,z,t)\,\mathbf{i} e v=w=0).
    • Escoamento bidimensional: duas componentes potencialmente não nulas (por exemplo u(x,y)\,\mathbf{i}+v(x,y)\,\mathbf{j} e w=0).
    • Escoamento tridimensional: as três componentes podem ser não nulas.
      Observação: isto é a maneira usual e prática de classificar no contexto básico de mecânica dos fluidos; também se fala que um escoamento é 2D quando as componentes e a variação espacial não dependem da terceira coordenada (por exemplo independente de z).
  • Definição prática de escoamento permanente (steady): um escoamento é permanente se as componentes da velocidade não dependem do tempo, ou equivalentemente
\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}=\mathbf{0}.
Se alguma componente depende explicitamente de t, então é não-permanente (unsteady).

Passo 3

Análise das componentes do campo dado (assumindo d constante).
Escrevendo as componentes:
V_x = a x,\qquad V_y = b x^{2} e^{-d},\qquad V_z = 0.
  • Aqui V_x e V_y são, em geral, não nulos (a menos que a=0 ou b=0, casos especiais que o enunciado não impõe). A componente V_z é exatamente zero. Portanto há duas componentes de velocidade não nulas: direções \mathbf{i} e \mathbf{j}.
Interpretação: mesmo que ambas as componentes dependam apenas de x (ou seja, a variação espacial é só na direção x), existe movimento tanto na direção x quanto na direção y. Isso caracteriza um escoamento bidimensional (2D): duas componentes não nulas, movimento confinado ao plano xy.

Passo 4

Resposta detalhada para (a) com justificativa didática.
  • Conclusão: o escoamento é bidimensional.
  • Por que: porque \mathbf{V} tem duas componentes não nulas ( V_x e V_y) e a terceira componente V_z é zero. Em linguagem simples: as partículas do fluido podem mover-se em x e em y, mas não em z; portanto o movimento ocorre num plano — é 2D.
Exemplo extra para fixar: se eu tivesse \mathbf{V}=u(x)\,\mathbf{i} com v=w=0, isso seria unidimensional (um único sentido de velocidade). Se tivesse \mathbf{V}=u(x,y)\,\mathbf{i}+v(x,y)\,\mathbf{j}+w(x,y,z)\,\mathbf{k} com w\neq0 em geral, seria tridimensional.

Passo 5

Análise da permanência (assumindo d constante).
  • Calcula-se a derivada temporal das componentes; como não há t explícito nas expressões (com d constante), temos
\frac{\partial V_x}{\partial t}=0,\qquad \frac{\partial V_y}{\partial t}=0,\qquad \frac{\partial V_z}{\partial t}=0.
Logo \dfrac{\partial\mathbf{V}}{\partial t}=\mathbf{0} e o escoamento é permanente (steady).

Passo 6

Observação sobre a ambiguidade em d — o que mudaria se d dependesse do tempo?
  • Se d=d(t) (isto é, se d for função do tempo), então e^{-d} depende de t e
\frac{\partial V_y}{\partial t}=b x^{2}\frac{d}{dt}\bigl(e^{-d(t)}\bigr)= -b x^{2}\dot d(t)\,e^{-d(t)},
onde \dot d(t)=\dfrac{d d}{dt}. Nesse caso \partial\mathbf{V}/\partial t\neq\mathbf{0} (salvo casos especiais como \dot d(t)=0), e o escoamento seria não permanente. A classificação bidimensional (2D) continuaria válida se d(t) for função do tempo apenas (a menos que d introduza dependência em z ou torne alguma componente nula), porque as componentes espaciais continuam sendo apenas x e y.

Passo 7

Resumo final (rápido, motivador)
  • Assumindo d constante: o escoamento é bidimensional e permanente.
  • Se d depender do tempo: o escoamento seria bidimensional mas não permanente (em geral).
Você está quase lá — essas classificações são bem diretas: conta componentes para a dimensão, e olha a dependência em t para permanência. Se quiser eu faço rapidamente os casos especiais (por exemplo a=0 ou b=0) pra você decorar também.

Resposta

(a) Bidimensional (2D).
(b) Permanente (steady), supondo d constante.

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