Para os campos de velocidade dados abaixo, determine:
(a) se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo.
(b) se o escoamento é permanente ou não, e o motivo.
(As quantidades a e b são constantes escalares).
(a) se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e o motivo.
(b) se o escoamento é permanente ou não, e o motivo.
(As quantidades a e b são constantes escalares).
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado nos deu e uma observação importante. O campo de velocidade fornecido é
onde foi dito que
e
são constantes escalares. Informação faltante/ambiguidade: o enunciado não diz o que é
(se é uma constante, se depende do tempo
, ou se depende de coordenadas espaciais). Não vou te perguntar nada a mais — vou assumir o caso mais simples e mais óbvio para a maioria dos exercícios: vou assumir que
é uma constante (ou seja, um número fixo). Em seguida eu mostro rapidamente como as conclusões mudariam se
fosse função do tempo
.
O que o exercício pede:
(a) dizer se o escoamento é uni-, bi- ou tridimensional e justificar;
(b) dizer se o escoamento é permanente (steady) ou não e justificar.
(a) dizer se o escoamento é uni-, bi- ou tridimensional e justificar;
(b) dizer se o escoamento é permanente (steady) ou não e justificar.
Passo 2
Conceitos rápidos e intuitivos (aula curtinha e sem drama).
-
Definição prática de “uni/bi/tridimensional” aqui: conta-se quantas componentes de velocidade são, em geral, não nulas.
- Escoamento unidimensional: só uma componente não nula (por exemplo
e ). - Escoamento bidimensional: duas componentes potencialmente não nulas (por exemplo
e ). - Escoamento tridimensional: as três componentes podem ser não nulas.
Observação: isto é a maneira usual e prática de classificar no contexto básico de mecânica dos fluidos; também se fala que um escoamento é 2D quando as componentes e a variação espacial não dependem da terceira coordenada (por exemplo independente de).
- Escoamento unidimensional: só uma componente não nula (por exemplo
-
Definição prática de escoamento permanente (steady): um escoamento é permanente se as componentes da velocidade não dependem do tempo, ou equivalentemente
Se alguma componente depende explicitamente de
, então é não-permanente (unsteady).
Passo 3
Análise das componentes do campo dado (assumindo
constante).
Escrevendo as componentes:
Escrevendo as componentes:
- Aqui
e são, em geral, não nulos (a menos que ou , casos especiais que o enunciado não impõe). A componente é exatamente zero. Portanto há duas componentes de velocidade não nulas: direções e .
Interpretação: mesmo que ambas as componentes dependam apenas de
(ou seja, a variação espacial é só na direção
), existe movimento tanto na direção
quanto na direção
. Isso caracteriza um escoamento bidimensional (2D): duas componentes não nulas, movimento confinado ao plano
.
Passo 4
Resposta detalhada para (a) com justificativa didática.
- Conclusão: o escoamento é bidimensional.
- Por que: porque
tem duas componentes não nulas ( e ) e a terceira componente é zero. Em linguagem simples: as partículas do fluido podem mover-se em e em , mas não em ; portanto o movimento ocorre num plano — é 2D.
Exemplo extra para fixar: se eu tivesse
com
, isso seria unidimensional (um único sentido de velocidade). Se tivesse
com
em geral, seria tridimensional.
Passo 5
Análise da permanência (assumindo
constante).
- Calcula-se a derivada temporal das componentes; como não há
explícito nas expressões (com constante), temos
Logo
e o escoamento é permanente (steady).
Passo 6
Observação sobre a ambiguidade em
— o que mudaria se
dependesse do tempo?
- Se
(isto é, se for função do tempo), então depende de e
onde
. Nesse caso
(salvo casos especiais como
), e o escoamento seria não permanente. A classificação bidimensional (2D) continuaria válida se
for função do tempo apenas (a menos que
introduza dependência em
ou torne alguma componente nula), porque as componentes espaciais continuam sendo apenas
e
.
Passo 7
Resumo final (rápido, motivador)
- Assumindo
constante: o escoamento é bidimensional e permanente. - Se
depender do tempo: o escoamento seria bidimensional mas não permanente (em geral).
Você está quase lá — essas classificações são bem diretas: conta componentes para a dimensão, e olha a dependência em
para permanência. Se quiser eu faço rapidamente os casos especiais (por exemplo
ou
) pra você decorar também.
Resposta
(a) Bidimensional (2D).
(b) Permanente (steady), supondo constante.
(b) Permanente (steady), supondo