Os exercícios a seguir são referentes aos tópicos do capítulo um do livro do Singiresu S . Rao - Vibrações Mecânicas.
Determine a rigidez equivalente dos sistemas abaixo.
Dada a viga simplesmente apoiada e do cabo
apresentados com mesmo módulo de elasticidade, encontre a rigidez equivalente do sistema em questão.
Determine a rigidez equivalente dos sistemas abaixo.
Dada a viga simplesmente apoiada e do cabo
Passo 1
O enunciado pede: determinar a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura. As informações relevantes (peguei estas informações da imagem) são:
- Há uma massa
apoiada em uma peça rígida que é sustentada por duas molas verticais rotuladas e (uma à esquerda e outra à direita). - Essas duas molas descem até um nó rígido horizontal (barra), que por sua vez está ligado ao solo por uma mola vertical
. - Não há outros dados numéricos: as constantes das molas são
, e .
O objetivo é obter a rigidez equivalente vista pela massa: ou seja, a constante tal que a força total sobre seja para um deslocamento vertical da massa.
Passo 2
Vamos modelar o sistema usando deslocamentos e a lei de Hooke. Definimos:
-
= deslocamento vertical para baixo da massa (positivo para baixo). -
= deslocamento vertical para baixo do nó intermediário (a barra entre e ).
Lei de Hooke (explicação breve): uma mola linear resiste a um deslocamento relativo com uma força proporcional:, onde é a rigidez da mola e é a deformação (diferença de deslocamentos entre suas extremidades). Aqui: - Força na mola
é . - Força na mola
é . - Força na mola
é .
Observação física: as molase ligam a massa ao nó; a mola liga esse nó ao solo. Portanto e estão enparaleladas entre massa e nó, e o grupo está em série com .
Passo 3
Equilíbrio estático do nó intermediário (somatório de forças = 0): as forças de
e
que puxam o nó para cima devem ser equilibradas pela força de
para baixo. Tomando sinais consistentes (positivos para baixo):
Explicando a equação:
e
são as forças que as molas superiores exercem para baixo sobre o nó quando a massa desce;
é a força para baixo que a mola inferior aplica ao nó (ou, visto do nó, é a resistência ao deslocamento
) — a equação impõe que a soma das forças sobre o nó seja nula.
Passo 4
Vamos organizar e resolver a equação do nó para obter
em função de
.
Agrupando:
Expandindo à esquerda:
Isolando os termos com
:
Portanto
Passo 5
Agora calculamos a força total que age sobre a massa
. Essa força é a soma das forças nas duas molas superiores:
Substituímos
encontrado no passo anterior:
Logo a força total é
Pelo definição de rigidez equivalente
tal que
, obtemos
Passo 6
Interpretação prática e casos-limite (úteis na prova para checar resposta):
- Primeiro reconheça o raciocínio estrutural:
e atuam em paralelo, portanto seu equivalente paralelo é . Esse conjunto está em série com . A fórmula final é exatamente a fórmula de duas molas em série: . - Caso-limite 1: se
(o nó está preso rigidamente ao solo), então — faz sentido: apenas as duas molas superiores sustentam a massa. - Caso-limite 2: se
(mola inferior ausente), então — a massa cai sem resistência, como esperado. - Caso-limite 3: se
(uma das molas superiores ausente), obtém-se o resultado óbvio substituindo na expressão.
Força extra de incentivo: respira fundo — esse tipo de raciocínio (identificar paralelo/serie, escolher deslocamentos e escrever equilíbrio) resolve rápido questões de rigidez equivalente na prova.