Os exercícios a seguir são referentes aos tópicos do capítulo um do livro do Singiresu S . Rao - Vibrações Mecânicas.
Determine a rigidez equivalente dos sistemas abaixo.
Dada a viga simplesmente apoiada e do cabo \mathrm{L}_{\mathrm{c}} apresentados com mesmo módulo de elasticidade, encontre a rigidez equivalente do sistema em questão.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a rigidez equivalente do sistema mostrado na figura. As informações relevantes (peguei estas informações da imagem) são:
  • Há uma massa M apoiada em uma peça rígida que é sustentada por duas molas verticais rotuladas \,K_1 e \,K_2 (uma à esquerda e outra à direita).
  • Essas duas molas descem até um nó rígido horizontal (barra), que por sua vez está ligado ao solo por uma mola vertical \,K_3.
  • Não há outros dados numéricos: as constantes das molas são \,K_1, \,K_2 e \,K_3.
    O objetivo é obter a rigidez equivalente vista pela massa M: ou seja, a constante K_{\text{eq}} tal que a força total sobre M seja F=K_{\text{eq}}\,x para um deslocamento vertical \,x da massa.

Passo 2

Vamos modelar o sistema usando deslocamentos e a lei de Hooke. Definimos:
  • \,x = deslocamento vertical para baixo da massa M (positivo para baixo).
  • \,u = deslocamento vertical para baixo do nó intermediário (a barra entre \,K_1,K_2 e \,K_3).
    Lei de Hooke (explicação breve): uma mola linear resiste a um deslocamento relativo com uma força proporcional: \,F=k\,\delta, onde \,k é a rigidez da mola e \,\delta é a deformação (diferença de deslocamentos entre suas extremidades). Aqui:
  • Força na mola \,K_1 é \,F_1=K_1\,(x-u).
  • Força na mola \,K_2 é \,F_2=K_2\,(x-u).
  • Força na mola \,K_3 é \,F_3=K_3\,u.
    Observação física: as molas \,K_1 e \,K_2 ligam a massa ao nó; a mola \,K_3 liga esse nó ao solo. Portanto \,K_1 e \,K_2 estão enparaleladas entre massa e nó, e o grupo está em série com \,K_3.

Passo 3

Equilíbrio estático do nó intermediário (somatório de forças = 0): as forças de \,K_1 e \,K_2 que puxam o nó para cima devem ser equilibradas pela força de \,K_3 para baixo. Tomando sinais consistentes (positivos para baixo):
K_1\,(x-u)+K_2\,(x-u)-K_3\,u=0.
Explicando a equação: \,K_1(x-u) e \,K_2(x-u) são as forças que as molas superiores exercem para baixo sobre o nó quando a massa desce; \,K_3 u é a força para baixo que a mola inferior aplica ao nó (ou, visto do nó, é a resistência ao deslocamento u) — a equação impõe que a soma das forças sobre o nó seja nula.

Passo 4

Vamos organizar e resolver a equação do nó para obter \,u em função de \,x.
K_1(x-u)+K_2(x-u)=K_3\,u.
Agrupando:
(K_1+K_2)(x-u)=K_3\,u.
Expandindo à esquerda:
(K_1+K_2)x-(K_1+K_2)u=K_3\,u.
Isolando os termos com u:
(K_1+K_2)x = (K_1+K_2 + K_3)\,u.
Portanto
u = \frac{K_1+K_2}{K_1+K_2+K_3}\;x.

Passo 5

Agora calculamos a força total que age sobre a massa M. Essa força é a soma das forças nas duas molas superiores:
F = F_1+F_2 = K_1(x-u)+K_2(x-u)=(K_1+K_2)(x-u).
Substituímos \,u encontrado no passo anterior:
x-u = x - \frac{K_1+K_2}{K_1+K_2+K_3}\,x = x\left(1-\frac{K_1+K_2}{K_1+K_2+K_3}\right) = x\left(\frac{K_3}{K_1+K_2+K_3}\right).
Logo a força total é
F = (K_1+K_2)\,x\left(\frac{K_3}{K_1+K_2+K_3}\right) = \frac{K_3\,(K_1+K_2)}{K_1+K_2+K_3}\;x.
Pelo definição de rigidez equivalente \,K_{\text{eq}} tal que F=K_{\text{eq}}\,x, obtemos
K_{\text{eq}} = \frac{K_3\,(K_1+K_2)}{K_1+K_2+K_3}.

Passo 6

Interpretação prática e casos-limite (úteis na prova para checar resposta):
  • Primeiro reconheça o raciocínio estrutural: \,K_1 e \,K_2 atuam em paralelo, portanto seu equivalente paralelo é \,K_{12}=K_1+K_2. Esse conjunto está em série com \,K_3. A fórmula final é exatamente a fórmula de duas molas em série: \,K_{\text{eq}}=(K_{12}\,K_3)/(K_{12}+K_3).
  • Caso-limite 1: se \,K_3\to\infty (o nó está preso rigidamente ao solo), então \,K_{\text{eq}} \to K_1+K_2 — faz sentido: apenas as duas molas superiores sustentam a massa.
  • Caso-limite 2: se \,K_3\to0 (mola inferior ausente), então \,K_{\text{eq}} \to 0 — a massa cai sem resistência, como esperado.
  • Caso-limite 3: se \,K_1=0 (uma das molas superiores ausente), obtém-se o resultado óbvio substituindo na expressão.
Força extra de incentivo: respira fundo — esse tipo de raciocínio (identificar paralelo/serie, escolher deslocamentos e escrever equilíbrio) resolve rápido questões de rigidez equivalente na prova.

Resposta

K_{\text{eq}}=\frac{K_{3}\,(K_{1}+K_{2})}{K_{1}+K_{2}+K_{3}}

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