Deseja-se fabricar 1000 m de fio com diâmetro de 0,2 \mathrm{~mm}. Dispõe-se de uma trefiladora com 10 porta-fieiras e polias tratoras acionadas por motores com controle de velocidade.
O material de partida é um fio de aço SAE 1015 de diâmetro de 0,32 \mathrm{~mm}, com as seguintes propriedades:
Equação de Hollomon
\sigma=\mathrm{k}
\epsilon
n
\mathrm{k}=1217(\mathrm{MPa}) e \mathrm{n}=0,13
Limite de escoamento =669 \mathrm{MPa}
Limite de Resistência =983 \mathrm{MPa}
A redução de área máxima permitida por fieira é \mathrm{RA}=14 \%
O atrito nas fieiras é \mu=0,14
CALCULE:
Energia total consumida (KJ)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei todos estes valores do enunciado):
  • Pedido: calcular a energia total consumida (em kJ) para fabricar 1000\\ \mathrm{m} de fio com diâmetro final \,0,2\\ \mathrm{mm} a partir de fio inicial de diâmetro \,0,32\\ \mathrm{mm}.
  • Dados:
    • número de fieiras: 10 (há disponibilidade de 10 passes);
    • redução de área máxima permitida por fieira: \mathrm{RA}_{\max}=14\%;
    • coeficiente de atrito nas fieiras: \mu=0,14;
    • equação de Hollomon (tensão-verdadeira de escoamento): \displaystyle \sigma = k\,\epsilon^{n}, com k=1217\\ \mathrm{MPa} e n=0,13;
    • limite de escoamento: 669\\ \mathrm{MPa};
    • limite de resistência (tração): 983\\ \mathrm{MPa}.
  • medidas geométricas:
    • diâmetro inicial: d_0=0,32\\ \mathrm{mm};
    • diâmetro final: d_f=0,20\\ \mathrm{mm};
    • comprimento final: L=1000\\ \mathrm{m}.
Observação importante (já identificada aqui): para calcular corretamente a energia dissipada por atrito ao longo das fieiras é necessário conhecer geometria das fieiras (meia-ângulo da coneção, comprimento do assento/porta-fieira, etc.). Essas grandezas não foram fornecidas no enunciado. Assim, dá para calcular de forma exata a parte de deformação plástica (mínimo de energia necessária), mas a contribuição do atrito exige parâmetros geométricos das fieiras. Vou calcular a energia mínima (sem atrito) de forma detalhada e, em seguida, dar uma estimativa típica para incluir atrito usando hipóteses explícitas (se preferir um cálculo exato do atrito, precisa informar ângulo e comprimento do assento de cada fieira).

Passo 2

Princípios físicos e fórmula que vamos usar (aulas mastigadas):
  • Energia de deformação (trabalho plástico) por unidade de volume: quando o material sofre deformação plástica gradual, a energia interna (trabalho por volume) é
    W_v \;=\; \int_{0}^{\epsilon_{\text{tot}}} \sigma(\epsilon)\,d\epsilon,
    onde \epsilon é a deformação verdadeira (true strain) e \sigma(\epsilon) é a tensão verdadeira de escoamento como função de \epsilon.
  • Com a lei de Hollomon \displaystyle \sigma(\epsilon)=k\,\epsilon^{n}, substituindo na integral obtemos uma expressão fechada:
    W_v \;=\; \int_{0}^{\epsilon_{\text{tot}}} k\,\epsilon^{n}\,d\epsilon \;=\; \frac{k}{n+1}\,\epsilon_{\text{tot}}^{\,n+1}.
    Explicando as variáveis:
    • k é a constante de Hollomon (unidade: \mathrm{MPa} que é \mathrm{N/mm^2});
    • n é o expoente de encruamento;
    • \epsilon_{\text{tot}} é a deformação verdadeira total do fio entre o inicial e o final.
  • Relação entre áreas/diâmetros e deformação verdadeira total: a deformação verdadeira total (para redução de área, mantendo volume) é
    \epsilon_{\text{tot}} \;=\; \ln\!\left(\frac{A_0}{A_f}\right)
    onde A é a área da secção transversal. Como A\propto d^2,
    \epsilon_{\text{tot}} \;=\; \ln\!\left(\frac{d_0^2}{d_f^2}\right) \;=\; 2\ln\!\left(\frac{d_0}{d_f}\right).
  • Uma vez obtido W_v (energia por unidade de volume, unidades: \mathrm{N/mm^2} que equivalem a \mathrm{N\cdot mm/mm^3}=\mathrm{N/mm^2}), a energia total é
    E \;=\; W_v \times V,
    onde V é o volume de material processado (do fio final); para converter \mathrm{N\cdot mm} em joules, usa-se 1\\ \mathrm{N\cdot mm}=10^{-3}\\ \mathrm{J}.
Explicando em linguagem de prova: calcular \epsilon_{\text{tot}} (deformação verdadeira), calcular W_v=\dfrac{k}{n+1}\epsilon_{\text{tot}^{\,n+1}}, multiplicar pelo volume do fio final e converter para joules/kJ. Isso dá a energia de deformação mínima (sem considerar atrito e perdas mecânicas).

Passo 3

Cálculos numéricos da deformação (etapas com contas claras):
  • Calcular \epsilon_{\text{tot}}:
    \epsilon_{\text{tot}} \;=\; 2\ln\!\left(\frac{d_0}{d_f}\right) \;=\; 2\ln\!\left(\frac{0,32}{0,20}\right).
    Primeiro \dfrac{0,32}{0,20}=1,6. Logo
    \epsilon_{\text{tot}} \;=\; 2\ln(1,6)\approx 2\cdot 0,4700036 \approx 0,9400072.
  • Calcular W_v=\dfrac{k}{n+1}\,\epsilon_{\text{tot}}^{\,n+1}:
    \frac{k}{n+1} \;=\; \frac{1217}{1,13}\\ \mathrm{MPa}\;\approx\;1077{,}8761\\ \mathrm{MPa}.
    Exponente n+1=1,13. Então
    \epsilon_{\text{tot}}^{\,n+1} \;=\; (0,9400072)^{1,13} \;\approx\; 0,9333\quad(\text{cálculo exponencial}).á
    Portanto
    W_v \;=\; 1077{,}8761\times 0,9333\\ \mathrm{MPa} \;\approx\; 1005{,}3\\ \mathrm{MPa}.
    Lembrete de unidades: 1\\ \mathrm{MPa}=1\\ \mathrm{N/mm^2}. Assim W_v\approx 1005{,}3\\ \mathrm{N/mm^2} é a energia por unidade de volume (N·mm por mm^3).

Passo 4

Volume do fio final e energia total mínima (sem atrito):
  • Área da secção final (d_f=0,20\\ \mathrm{mm}):
    A_f \;=\; \frac{\pi d_f^2}{4} \;=\; \frac{\pi(0,20)^2}{4}\\ \mathrm{mm^2} \;=\; \pi\cdot 0,01\\ \mathrm{mm^2} \;\approx\; 0,0314159\\ \mathrm{mm^2}.
  • Comprimento L=1000\\ \mathrm{m}=1{,}000{,}000\\ \mathrm{mm}. Volume final:
    V \;=\; A_f \times L \;\approx\; 0,0314159\times 1{,}000{,}000\\ \mathrm{mm^3} \;=\; 31\,415{,}9265\\ \mathrm{mm^3}.
  • Energia total de deformação (sem atrito):
    E_{\text{deform}} \;=\; W_v \times V \;=\; 1005{,}3\\ \mathrm{N/mm^2}\times 31\,415{,}9265\\ \mathrm{mm^3}.
    O produto dá em \mathrm{N\cdot mm}. Convertendo para joules ( 1\\ \mathrm{N\cdot mm}=10^{-3}\\ \mathrm{J}):
    E_{\text{deform}} \;\approx\; 1005{,}3\times 31{,}415{,}9265\\ \mathrm{N\cdot mm} \;\approx\; 31\,582{,}4\\ \mathrm{J} \;\approx\; 31{,}58\\ \mathrm{kJ}.
Portanto, a energia mínima (apenas trabalho plástico, sem atrito nem perdas) para produzir 1000\\ \mathrm{m} do fio é aproximadamente \,31{,}6\\ \mathrm{kJ}.

Passo 5

Verificação de viabilidade com o limite de resistência (checo de consistência):
  • A tensão de escoamento verdadeira no final (usando Hollomon) seria aproximadamente \sigma(\epsilon_{\text{tot}})=k\,\epsilon_{\text{tot}}^{n} \;=\;1217\times (0,9400072)^{0,13}.Calculando (0,9400072)^{0,13}\approx 0,99198, logo \sigma(\epsilon_{\text{tot}})\approx 1217\times 0,99198 \approx 1207{,}6\\ \mathrm{MPa}.
  • Esse valor é maior que o limite de resistência fornecido ( 983\\ \mathrm{MPa}). Interpretação prática: a lei de Hollomon prevê um esforço de escoamento verdadeiro final superior à resistência à tração (valor de ensaio). Na prática isso indica que, para efetuar toda a redução num só conjunto de passes contínuos (mesmo que cada passe respeite RA \le 14\%), o material provavelmente iria fraturar antes de completar o último passo — na indústria isso é resolvido por recozimento intermediário (annealing) para reduzir o encruamento acumulado. Conclusão: o cálculo de energia acima (31,6 kJ) é a energia térmica/mecânica absorvida na deformação segundo a lei de Hollomon; porém, dado que \sigma previsto excede a resistência, o processo real provavelmente requer recozimentos, o que altera energia total real (consome energia térmica/tempo e muda as condições). Em suma: cuidado — o resultado numérico é a energia de deformação, mas o processo, tal como descrito, pode não ser realizável sem tratamento térmico.

Passo 6

Sobre o atrito — por que não foi possível calcular exatamente e estimativa prática:
  • Por que não posso calcular com exatidão a energia devida ao atrito?
    Porque o cálculo exato do trabalho de atrito nas fieiras precisa de dados geométricos das fieiras: meia-ângulo do cone (ângulo de aproximação), comprimento do assento/porta-fieira (bearing length), e a distribuição de pressão normal entre fio e fieira. Esses parâmetros não foram fornecidos no enunciado. Sem eles não existe fórmula numérica única para a energia de atrito — qualquer número seria um chute.
  • Estimativa típica (opcional, com hipóteses explícitas):
    Para dar uma noção de ordem de grandeza, muitas aplicações de trefilação com lubrificação razoável têm contribuição por atrito que varia algo como 10\% a 30\% da energia de deformação (dependendo do \mu, do comprimento do assento e do ângulo). Com \mu=0,14 (valor moderado), uma estimativa razoável de trabalho extra por atrito é cerca de 20\% da energia de deformação. Assim, um valor aproximado para a energia total seria
    E_{\text{total, estimado}} \approx 1{,}20\times E_{\text{deform}} \approx 1{,}20\times 31{,}58\\ \mathrm{kJ} \approx 37{,}9\\ \mathrm{kJ}.
    Reforço: este número é uma estimativa indicativa; o valor exato pode ser bem diferente (se o comprimento do assento for grande ou se as fieiras forem mal lubrificadas, o atrito pode aumentar significativamente). Para um cálculo exato do atrito é preciso informar a geometria das fieiras (meia-ângulo e comprimento do assento), ou então fornecer a força de tração medida por passe.

Passo 7

Resumo rápido e incentivo final:
  • Energia mínima (apenas trabalho plástico segundo Hollomon, sem atrito): \approx 31{,}6\\ \mathrm{kJ}.
  • Estimativa prática incluindo atrito (hipótese típica de +20%): \approx 37{,}9\\ \mathrm{kJ}.
  • Observação crítica: a tensão prevista pela lei de Hollomon no fim do processo excede o limite último fornecido ( 983\\ \mathrm{MPa}), indicando que o processo provavelmente exigirá recozimentos intermediários na prática — isso altera a rota térmica e pode mudar a energia total efetivamente consumida.
Força aí — a conta principal (31,6 kJ) está pronta e detalhada; se você quiser eu faço o cálculo do atrito com hipóteses de meia-ângulo e comprimento do assento (por exemplo \alpha=8^\circ e L_b=1{,}0\\ \mathrm{mm}), ou então refaço considerando passes com redução máxima de 14\% por passe (em vez de reduções iguais) — é só dizer que hipótese prefere e eu executo, sem julgamento. Vai dar certo!

Resposta

Energia mínima (somente deformação, sem atrito): 31{,}6\\ \mathrm{kJ}
Estimativa com atrito (hipótese típica +20%): 37{,}9\\ \mathrm{kJ}

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