Um canal aberto e retangular tem 1,8 \mathrm{~m} de largura e 0,9 \mathrm{~m} de profundidade e está com um declive de 2^{\circ}. O fator de atrito é 0,022 . Estime a vazão para escoamento uniforme em metros cúbicos por segundo

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • largura do canal: b=1{,}8\\ \mathrm{m}.
    • profundidade da lâmina d’água (calado): y=0{,}9\\ \mathrm{m}.
    • declive do eixo do canal: \theta=2^\circ.
    • fator de atrito (Manning): n=0{,}022 (o enunciado diz “fator de atrito”; vou assumir que é o coeficiente de Manning, valor compatível com 0{,}022).
  • O que o problema pede:
    • estimar a vazão em escoamento uniforme, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 2

Escolha do método e fórmula que vamos usar (aulas rápidas sobre o que é e por que usar).
Para escoamento uniforme em canais abertos é muito comum usar a fórmula de Manning, que relaciona vazão Q, área molhada A, raio hidráulico R, declive do leito S e o coeficiente de Manning n. A fórmula é:
Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Explicando cada termo:
  • Q é a vazão que queremos (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (sem dimensão); valores maiores indicam mais resistência.
  • A é a área de seção molhada (em \mathrm{m}^2).
  • R é o raio hidráulico (em \mathrm{m}), definido por R = A/P, onde P é o perímetro molhado (em \mathrm{m}).
  • S é a declividade do leito, medida como perda de carga por unidade de comprimento horizontal; para um ângulo pequeno \theta pode-se usar S=\tan(\theta). S é adimensional e aparece na fórmula como sua raiz quadrada S^{1/2}.
Vamos calcular cada termo necessário para aplicar a fórmula.

Passo 3

Calcular a área molhada A, o perímetro molhado P e o raio hidráulico R para seção retangular com largura b e profundidade y.
  • Área molhada:
A = b\,y = 1{,}8 \times 0{,}9 = 1{,}62\\ \mathrm{m}^2.
  • Perímetro molhado (fundo + duas laterais):
P = b + 2y = 1{,}8 + 2\times 0{,}9 = 3{,}6\\ \mathrm{m}.
  • Raio hidráulico:
R = \dfrac{A}{P} = \dfrac{1{,}62}{3{,}6} = 0{,}45\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular a declividade S a partir do ângulo \theta=2^\circ.
Para o declive do canal usamos S=\tan(\theta). Assim:
S = \tan(2^\circ).
Agora um valor numérico aproximado (lembrando que 2^\circ em radianos é 2\cdot\pi/180\approx0{,}0349066 rad, e \tan é aproximadamente igual ao próprio ângulo em radianos para ângulos muito pequenos, mas aqui calculamos com mais precisão):
S \approx 0{,}0349208.

Passo 5

Calcular R^{2/3} e S^{1/2} (essas potências aparecem na fórmula de Manning).
  • Primeiro R^{2/3}. Tomando R=0{,}45\\ \mathrm{m}:
R^{2/3} = 0{,}45^{2/3}\approx 0{,}5874.
(Explicando: 0{,}45^{2/3}=(0{,}45^{1/3})^2. A raiz cúbica de 0{,}45 é cerca de 0{,}7664; ao quadrado dá aproximadamente 0{,}5874.)
  • Depois S^{1/2}. Tomando S\approx0{,}0349208:
S^{1/2} \approx \sqrt{0{,}0349208} \approx 0{,}1869.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Manning e calcular Q passo a passo.
A fórmula:
Q = \dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}.
Substituindo os valores numéricos que calculamos:
\dfrac{1}{n} = \dfrac{1}{0{,}022} \approx 45{,}4545,
A = 1{,}62\\ \mathrm{m}^2,
R^{2/3}\approx 0{,}5874,
S^{1/2}\approx 0{,}1869.
Multiplicando na ordem conveniente:
A\,R^{2/3} = 1{,}62 \times 0{,}5874 \approx 0{,}9516.
A\,R^{2/3}\,S^{1/2} \approx 0{,}9516 \times 0{,}1869 \approx 0{,}1779.
Q \approx 45{,}4545 \times 0{,}1779 \approx 8{,}09\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida.
  • Unidade: como A está em \mathrm{m}^2, R em \mathrm{m}, S adimensional e n adimensional, o resultado Q fica em \mathrm{m}^3/\mathrm{s} — está coerente.
  • Sensibilidade: o resultado depende bastante de n (rugosidade) e do ângulo; se n fosse maior a vazão diminuiria e vice-versa. Aqui usamos n=0{,}022 conforme o enunciado.

Resposta

Q \approx 8{,}09\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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