Descobriram que o canal retangular mais eficiente escoa com uma profundidade igual a metade da largura do fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 . Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de 2,7 \mathrm{~m}^{\wedge} 3 / \mathrm{s}. Considere o fator de rugosidade \mathrm{n}=0,015.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Achar a melhor largura do fundo do canal retangular, ou seja b em metros, para que o canal escoe a vazão dada nas condições fornecidas.
Informações fornecidas (pegar exatamente do enunciado):
  • Vazão Q=2,7\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}.
  • Declividade (inclinação) do leito S=0,006.
  • Fator de rugosidade de Manning n=0,015.
  • Condição de eficiência informada: a profundidade de escoamento é igual à metade da largura do fundo, isto é y=\dfrac{b}{2}.

Passo 2

Entender as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
  • Fórmula de Manning (para canal a céu aberto, escoamento uniforme):
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • Q é a vazão ( \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
  • n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional).
  • A é a área da seção molhada ( \mathrm{m}^2).
  • R é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R=\dfrac{A}{P}.
  • P é o perímetro molhado ( \mathrm{m}).
  • S é a declividade do leito (adimensional).
Vou explicar cada termo para você conseguir aplicar na prova:
  • A área A para um canal retangular com largura b e profundidade y é A=b\cdot y.
  • O perímetro molhado P é a soma das partes úmidas do contorno: para retângulo P=b+2y.
  • O raio hidráulico R mede a “eficiência” geométrica do canal: R=A/P. Quanto maior R, geralmente menor a perda por unidade de área (mais eficiente).
  • A raiz quadrada de S, S^{1/2}, dá a influência da energia disponível pela inclinação.

Passo 3

Aplicar a condição ótima y=\dfrac{b}{2} para escrever A, P e R em função unicamente de b:
  • Área:
A=b\cdot y=b\cdot\frac{b}{2}=\frac{b^{2}}{2}.
  • Perímetro molhado:
P=b+2y=b+2\cdot\frac{b}{2}=b+b=2b.
  • Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{\dfrac{b^{2}}{2}}{2b}=\frac{b^{2}}{2}\cdot\frac{1}{2b}=\frac{b}{4}.

Passo 4

Substituir A e R na fórmula de Manning para obter uma equação em b.
Começando de
Q=\dfrac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
substituímos A=\dfrac{b^{2}}{2} e R=\dfrac{b}{4}:
Q=\dfrac{1}{n}\cdot\frac{b^{2}}{2}\cdot\left(\frac{b}{4}\right)^{2/3}\cdot S^{1/2}.

Passo 5

Simplificar a expressão algébrica para isolar b.
  • Primeiro combinar potências de b:
b^{2}\cdot\left(b^{1}\right)^{2/3}=b^{2}\cdot b^{2/3}=b^{8/3}.
  • Separar os constantes:
Q=\dfrac{1}{n}\cdot\frac{1}{2}\cdot 4^{-2/3}\cdot S^{1/2}\cdot b^{8/3}.
Agora isolamos b^{8/3}:
b^{8/3}=Q\cdot n\cdot 2\cdot 4^{2/3}\cdot S^{-1/2}.
Para ficar claro: multipliquei ambos os lados por n\cdot 2\cdot 4^{2/3} e dividi por S^{1/2}.

Passo 6

Resolver para b aplicando a potência inversa. Tomando potência de 3/8 em ambos os lados:
b=\left(Q\cdot n\cdot 2\cdot 4^{2/3}\cdot S^{-1/2}\right)^{3/8}.
Essa é a fórmula que vamos calcular numericamente com os dados fornecidos.

Passo 7

Calcular numericamente os termos constantes (vou mostrar as contas passo a passo para você poder reproduzir na prova):
  • Primeiro 4^{2/3}. Observação: 4^{2/3}=(2^{2})^{2/3}=2^{4/3}. Numericamente
4^{2/3}\approx 2,519842\ldots
  • Raiz quadrada de S:
S^{1/2}=\sqrt{0,006}\approx 0,0774597.
  • Agora calcular o produto Q\cdot n\cdot 2\cdot 4^{2/3}:
2,7\cdot 0,015\cdot 2\cdot 2,519842\approx 0,204107.
  • Dividir por S^{1/2}:
\frac{0,204107}{0,0774597}\approx 2,6363.

Passo 8

Aplicar a potência 3/8 ao resultado numérico:
b=\left(2,6363\right)^{3/8}.
  • Calcule 3/8=0,375. Então
b\approx 2,6363^{0,375}\approx 1,44\\ \mathrm{m}.
Vou checar rapidamente substituindo b de volta para garantir que dá Q próximo a 2,7\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}:
  • Se b\approx 1,44\\ \mathrm{m} então y=b/2\approx 0,72\\ \mathrm{m}.
  • A\approx \dfrac{1,44^{2}}{2}\approx 1,037\\ \mathrm{m}^{2}.
  • R\approx \dfrac{1,44}{4}\approx 0,36\\ \mathrm{m}.
  • R^{2/3}\approx 0,506. Então
Q\approx \frac{1}{0,015}\cdot 1,037\cdot 0,506\cdot 0,07746\approx 2,70\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{s},
compatível com o valor pedido (pequenas diferenças arredondamento).

Resposta

b\approx 1,44\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados