Descobriram que o canal retangular mais eficiente escoa com uma profundidade igual a metade da largura do fundo. Considere um canal retangular de alvenaria com uma declividade de 0,006 . Qual é a melhor largura de fundo para uma vazão de
. Considere o fator de rugosidade
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Achar a melhor largura do fundo do canal retangular, ou seja
em metros, para que o canal escoe a vazão dada nas condições fornecidas.
Informações fornecidas (pegar exatamente do enunciado):
- Vazão
. - Declividade (inclinação) do leito
. - Fator de rugosidade de Manning
. - Condição de eficiência informada: a profundidade de escoamento é igual à metade da largura do fundo, isto é
.
Passo 2
Entender as fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática).
- Fórmula de Manning (para canal a céu aberto, escoamento uniforme):
onde:
-
é a vazão ( ). -
é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional). -
é a área da seção molhada ( ). -
é o raio hidráulico ( ), definido por . -
é o perímetro molhado ( ). -
é a declividade do leito (adimensional).
Vou explicar cada termo para você conseguir aplicar na prova:
- A área
para um canal retangular com largura e profundidade é . - O perímetro molhado
é a soma das partes úmidas do contorno: para retângulo . - O raio hidráulico
mede a “eficiência” geométrica do canal: . Quanto maior , geralmente menor a perda por unidade de área (mais eficiente). - A raiz quadrada de
, , dá a influência da energia disponível pela inclinação.
Passo 3
Aplicar a condição ótima
para escrever
,
e
em função unicamente de
:
- Área:
- Perímetro molhado:
- Raio hidráulico:
Passo 4
Substituir
e
na fórmula de Manning para obter uma equação em
.
Começando de
Começando de
substituímos
e
:
Passo 5
Simplificar a expressão algébrica para isolar
.
- Primeiro combinar potências de
:
- Separar os constantes:
Agora isolamos
:
Para ficar claro: multipliquei ambos os lados por
e dividi por
.
Passo 6
Resolver para
aplicando a potência inversa. Tomando potência de
em ambos os lados:
Essa é a fórmula que vamos calcular numericamente com os dados fornecidos.
Passo 7
Calcular numericamente os termos constantes (vou mostrar as contas passo a passo para você poder reproduzir na prova):
- Primeiro
. Observação: . Numericamente
- Raiz quadrada de
:
- Agora calcular o produto
:
- Dividir por
:
Passo 8
Aplicar a potência
ao resultado numérico:
- Calcule
. Então
Vou checar rapidamente substituindo
de volta para garantir que dá
próximo a
:
- Se
então . -
. -
. -
. Então
compatível com o valor pedido (pequenas diferenças arredondamento).