Em um canal aberto de seção reta triangular, com inclinação dos lados igual a 45^{\circ}, escoa uma certa vazão em regime permanente e uniforme. A altura d’água é \mathrm{y}_{\mathrm{o}} e a declividade de fundo é \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Determine:
a) O raio hidráulico, em cm ; (valor: 0,5 )
b) A velocidade de atrito média na seção, em cm/s; (valor: 0,5 )
Considere os seguintes dados:
i. Altura d’água, em \mathrm{m}:=1
ii. Dados: \mathrm{I}_{\mathrm{o}}=0,0020 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;
iii. Sugestão: relembre o conceito de raio hidráulico;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) o raio hidráulico da seção, em cm;
  • (b) a velocidade de atrito média na seção, em cm/s.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
\text{altura d'água } y_{0}=1\\ \mathrm{m},á
I_{0}=0,0020\\ \mathrm{m/m},
\rho_{\text{água}}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},á
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Informação geométrica importante do enunciado (tirada do próprio enunciado): a seção transversal do canal é triangular com os lados inclinados a 45^\circ. Vou usar essas informações para calcular a área da seção molhada A, o perímetro molhado P e daí o raio hidráulico R=A/P; depois usarei a relação entre tensão de cisalhamento e raio hidráulico para obter a velocidade de atrito média.

Passo 2

Entendendo a geometria e calculando a área da seção molhada.
Para uma seção triangular isósceles com lados a 45^\circ e altura d’água \,y_{0}: cada lado tem slope horizontal igual à vertical (porque 45^\circ implica razão horizontal/vertical igual a 1). Assim, a largura superior (boca) da água é:
b = 2\cdot y_{0}.
Com y_{0}=1\\ \mathrm{m} temos:
b = 2\\ \mathrm{m}.
A área da seção triangular é (base vezes altura dividido por 2):
A=\frac{b\cdot y_{0}}{2}.
Substituindo b=2y_{0}:
A=\frac{2y_{0}\cdot y_{0}}{2}=y_{0}^{2}.
Como y_{0}=1\\ \mathrm{m}, então
A=1^{2}=1\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 3

Calculando o perímetro molhado P.
O perímetro molhado é a soma dos comprimentos dos dois lados inclinados que estão em contacto com a água (a base superior é a linha livre, não conta no perímetro molhado). Cada lado (inclinado a 45^\circ) tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo com catetos y_{0} (vertical) e y_{0} (horizontal), ou seja:
\ell = \sqrt{y_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=y_{0}\sqrt{2}.
Existem duas dessas bordas molhadas, então
P = 2\ell = 2y_{0}\sqrt{2}.
Com y_{0}=1\\ \mathrm{m}:
P = 2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 2{,}828427\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calculando o raio hidráulico R e convertendo para cm.
Definição (aula rápida): o raio hidráulico é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado:
R=\frac{A}{P}.
Substituindo os valores que encontramos:
R=\frac{1\\ \mathrm{m^{2}}}{2\sqrt{2}\\ \mathrm{m}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\\ \mathrm{m}.
Numericamente:
R\approx 0{,}35355339\\ \mathrm{m}.
Convertendo para centímetros (multiplica-se por 100):
R\approx 35{,}355339\\ \mathrm{cm}.
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
R\approx 35{,}36\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Explicando e aplicando a fórmula da velocidade de atrito média (velocidade de cisalhamento).
Conceito e fórmula: em escoamento permanente e uniforme em canal aberto, a tensão de cisalhamento média na base (tensão de fundo) \tau_{0} é dada por
\tau_{0}=\rho\,g\,R\,S_{0},
onde
  • \tau_{0} é a tensão de cisalhamento (N/m^{2}),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m^{3}),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s^{2}),
  • R é o raio hidráulico (m),
  • S_{0} é a declividade de fundo (adimensional, m/m).
A velocidade de atrito (ou velocidade de fricção) \,u_{*} é definida por
u_{*}=\sqrt{\frac{\tau_{0}}{\rho}}.
Substituindo \tau_{0} obtemos a forma prática:
u_{*}=\sqrt{g\,R\,S_{0}}.
Observação rápida: note que a densidade \rho cancela na expressão final, por isso não precisamos usá-la numericamente aqui além de entender a definição.

Passo 6

Cálculo numérico de u_{*} e conversão para cm/s.
Usando
u_{*}=\sqrt{g\,R\,S_{0}},
com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}, R=0{,}35355339\\ \mathrm{m} (valor em metros do Passo 4) e S_{0}=0{,}0020, temos:
u_{*}=\sqrt{9{,}81\times 0{,}35355339\times 0{,}0020}.
Calculando o produto dentro da raiz:
9{,}81\times 0{,}35355339\times 0{,}0020 \approx 0{,}0069367.
Logo
u_{*}\approx \sqrt{0{,}0069367}\\ \mathrm{m/s}\approx 0{,}08330\\ \mathrm{m/s}.
Convertendo para centímetros por segundo (multiplicar por 100):
u_{*}\approx 8{,}330\\ \mathrm{cm/s}.
Arredondando para duas casas decimais:
u_{*}\approx 8{,}33\\ \mathrm{cm/s}.

Passo 7

Resumo numérico final (já com unidades e arredondamentos razoáveis):
  • Raio hidráulico: R\approx 35{,}36\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade de atrito média: u_{*}\approx 8{,}33\\ \mathrm{cm/s}.

Resposta

a) 35{,}36\\ \mathrm{cm}
b) 8{,}33\\ \mathrm{cm/s}

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