Em um canal aberto de seção reta triangular, com inclinação dos lados igual a
, escoa uma certa vazão em regime permanente e uniforme. A altura d’água é
e a declividade de fundo é
. Determine:
a) O raio hidráulico, em cm ; (valor: 0,5 )
b) A velocidade de atrito média na seção, em cm/s; (valor: 0,5 )
Considere os seguintes dados:
i. Altura d’água, em
ii. Dados:
;
iii. Sugestão: relembre o conceito de raio hidráulico;
a) O raio hidráulico, em cm ; (valor: 0,5 )
b) A velocidade de atrito média na seção, em cm/s; (valor: 0,5 )
i. Altura d’água, em
ii. Dados:
iii. Sugestão: relembre o conceito de raio hidráulico;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) o raio hidráulico da seção, em cm;
- (b) a velocidade de atrito média na seção, em cm/s.
Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
Informação geométrica importante do enunciado (tirada do próprio enunciado): a seção transversal do canal é triangular com os lados inclinados a
. Vou usar essas informações para calcular a área da seção molhada
, o perímetro molhado
e daí o raio hidráulico
; depois usarei a relação entre tensão de cisalhamento e raio hidráulico para obter a velocidade de atrito média.
Passo 2
Entendendo a geometria e calculando a área da seção molhada.
Para uma seção triangular isósceles com lados a
e altura d’água
: cada lado tem slope horizontal igual à vertical (porque
implica razão horizontal/vertical igual a
). Assim, a largura superior (boca) da água é:
Com
temos:
A área da seção triangular é (base vezes altura dividido por 2):
Substituindo
:
Como
, então
Passo 3
Calculando o perímetro molhado
.
O perímetro molhado é a soma dos comprimentos dos dois lados inclinados que estão em contacto com a água (a base superior é a linha livre, não conta no perímetro molhado). Cada lado (inclinado a
) tem comprimento igual à hipotenusa de um triângulo com catetos
(vertical) e
(horizontal), ou seja:
Existem duas dessas bordas molhadas, então
Com
:
Passo 4
Calculando o raio hidráulico
e convertendo para cm.
Definição (aula rápida): o raio hidráulico é a razão entre a área molhada e o perímetro molhado:
Substituindo os valores que encontramos:
Numericamente:
Convertendo para centímetros (multiplica-se por
):
Arredondando de forma razoável para duas casas decimais:
Passo 5
Explicando e aplicando a fórmula da velocidade de atrito média (velocidade de cisalhamento).
Conceito e fórmula: em escoamento permanente e uniforme em canal aberto, a tensão de cisalhamento média na base (tensão de fundo)
é dada por
onde
-
é a tensão de cisalhamento (N/m^{2}), -
é a densidade do fluido (kg/m^{3}), -
é a aceleração da gravidade (m/s^{2}), -
é o raio hidráulico (m), -
é a declividade de fundo (adimensional, m/m).
A velocidade de atrito (ou velocidade de fricção)
é definida por
Substituindo
obtemos a forma prática:
Observação rápida: note que a densidade
cancela na expressão final, por isso não precisamos usá-la numericamente aqui além de entender a definição.
Passo 6
Cálculo numérico de
e conversão para cm/s.
Usando
com
,
(valor em metros do Passo 4) e
, temos:
Calculando o produto dentro da raiz:
Logo
Convertendo para centímetros por segundo (multiplicar por
):
Arredondando para duas casas decimais:
Passo 7
Resumo numérico final (já com unidades e arredondamentos razoáveis):
- Raio hidráulico:
. - Velocidade de atrito média:
.
Resposta
a)
b)
b)