O diâmetro de uma tubulação que transporta água em regime permanente, varia gradualmente de 150 mm , no ponto A, 6 m acima de um referencial, para 75 mm , no ponto B, 3 m acima do referencial. A pressão no ponto A é p_{\mathrm{A}} e a velocidade média é V_{\mathrm{A}}. Determine:
a) A velocidade média no ponto B, em m/s; (valor: 0,5 )
b) A pressão no ponto B , em kPa ; (valor: 0,5 )
Considere os seguintes dados:
i. Dados: \mathrm{P}_{\mathrm{A}}=150,0 \mathrm{kPa}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;
ii. Velocidade média no ponto A , em \mathrm{m} / \mathrm{s}=2,8
iii. Despreze as perdas de carga;

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) A velocidade média no ponto B, em m/s.
b) A pressão no ponto B, em kPa.
Informações dadas (vou listar todas elas exatamente como vieram):
D_A = 150\\ \text{mm},\quad D_B = 75\\ \text{mm},
z_A = 6\\ \text{m},\quad z_B = 3\\ \text{m},
p_A = 150{,}0\\ \text{kPa},\quad \rho = 10^{3}\\ \text{kg/m}^3,\quad g = 9{,}81\\ \text{m/s}^2,
V_A = 2{,}8\\ \text{m/s},
e foi pedido para desprezar perdas de carga.

Passo 2

Conservação de massa (equação da continuidade) para escoamento incompressível: a vazão volumétrica é a mesma em A e B, ou seja
A_A V_A = A_B V_B,
onde A é a área da seção transversal e V a velocidade média. A área de um círculo em função do diâmetro D é
A = \frac{\pi D^2}{4}.
Logo a razão das áreas é \dfrac{A_A}{A_B} = \left(\dfrac{D_A}{D_B}\right)^2. Portanto
V_B = V_A\left(\dfrac{D_A}{D_B}\right)^2.
Antes de calcular, converto os diâmetros para metros (pois precisamos de unidades SI):
D_A = 150\\ \text{mm} = 0{,}150\\ \text{m},\qquad D_B = 75\\ \text{mm} = 0{,}075\\ \text{m}.
Calculo a razão:
\frac{D_A}{D_B}=\frac{0{,}150}{0{,}075}=2,
portanto \left(\dfrac{D_A}{D_B}\right)^2 = 4. Agora aplico na fórmula:
V_B = V_A \cdot 4 = 2{,}8\cdot 4.
Faço a multiplicação:
V_B = 11{,}2\\ \text{m/s}.

Passo 3

Para relacionar pressões e velocidades em dois pontos de um sistema em escoamento permanente, sem perdas, usamos a equação de Bernoulli entre os pontos A e B:
\frac{p_A}{\rho g} + \frac{V_A^2}{2g} + z_A = \frac{p_B}{\rho g} + \frac{V_B^2}{2g} + z_B.
Aqui cada termo significa:
  • \dfrac{p}{\rho g}: cabeça de pressão (m);
  • \dfrac{V^2}{2g}: cabeça cinética (m);
  • z: cota (m).
Rearranjando para obter p_B:
\frac{p_B}{\rho g} = \frac{p_A}{\rho g} + \frac{V_A^2 - V_B^2}{2g} + (z_A - z_B).
Multiplicando ambos os lados por \rho g,
p_B = p_A + \rho\left(\frac{V_A^2 - V_B^2}{2} + g(z_A - z_B)\right).

Passo 4

Agora substituo os valores numéricos. Já tenho V_A = 2{,}8\\ \text{m/s} e V_B = 11{,}2\\ \text{m/s} do Passo 2. Calculo os termos intermediários:
Velocidades ao quadrado:
V_A^2 = (2{,}8)^2 = 7{,}84\\ \text{m}^2/\text{s}^2,
V_B^2 = (11{,}2)^2 = 125{,}44\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Termo cinético combinado:
\frac{V_A^2 - V_B^2}{2} = \frac{7{,}84 - 125{,}44}{2} = \frac{-117{,}60}{2} = -58{,}80\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Termo de gravidade (diferença de cotas):
g(z_A - z_B) = 9{,}81\cdot(6 - 3) = 9{,}81\cdot 3 = 29{,}43\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Somando os termos dentro do parêntese:
\frac{V_A^2 - V_B^2}{2} + g(z_A - z_B) = -58{,}80 + 29{,}43 = -29{,}37\\ \text{m}^2/\text{s}^2.
Multiplico por \rho = 10^{3}\\ \text{kg/m}^3:
\rho\Big(\frac{V_A^2 - V_B^2}{2} + g(z_A - z_B)\Big) = 1000\cdot(-29{,}37) = -29\,370\\ \text{Pa}.
Agora converto p_A = 150{,}0\\ \text{kPa} para pascals:
p_A = 150{,}0\\ \text{kPa} = 150\,000\\ \text{Pa}.
Finalmente:
p_B = 150\,000 - 29\,370 = 120\,630\\ \text{Pa}.
Converto para kPa (dividindo por 1000):
p_B = 120{,}63\\ \text{kPa}.

Passo 5

Resumo rápido do raciocínio para você lembrar na prova: primeiro usa continuidade para achar a nova velocidade quando muda o diâmetro (área ∝ D^2). Depois aplica Bernoulli entre os pontos (sem perdas) para relacionar pressão, velocidade e cota. Sempre cuide das unidades (mm → m, kPa → Pa) para que os termos se somem corretamente.

Resposta

V_B = 11{,}2\\ \text{m/s}
p_B = 120{,}63\\ \text{kPa}

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