Determine a tensão tangencial média (em Pa) sobre o fundo de uma galeria de águas pluviais de diâmetro D, escoando uma certa vazão em regime permanente uniforme, a meia seção, isto é, com altura d’água igual a metade do diâmetro, com declividade de fundo igual \mathrm{I}_{\mathrm{o}}. Observe que, pela definição de raio hidráulico, a linha d’água em contato com a atmosfera não faz parte do perímetro molhado e que, se o escoamento é permanente e uniforme a perda de carga unitária \mathrm{J}(\mathrm{m} / \mathrm{m}) é igual à declividade de fundo \mathrm{I}_{\mathrm{o}}(\mathrm{m} / \mathrm{m}). (valor: 1,0 )
Considere os seguintes dados:
i. Diâmetro, em mm: =780
ii. Dados: \mathrm{I}_{\mathrm{o}}=0,0010 \mathrm{~m} / \mathrm{m}, \rho_{\text {água }}=10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{g}=9,81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}á;

Passo 1

O enunciado pede a tensão tangencial média sobre o fundo (tensão de cisalhamento junto à parede inferior) de uma galeria circular parcialmente cheia com altura de água igual à metade do diâmetro, em escoamento permanente e uniforme. Dados fornecidos:
D=780\\ \text{mm}=0,78\\ \text{m},
I_{o}=0,0010,
\rho_{\text{água}}=10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}},á
g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
O enunciado também diz que, por definição, a linha d’água em contato com a atmosfera não faz parte do perímetro molhado e que a perda de carga unitária J é igual à declividade de fundo I_{o}. A questão vale 1,0.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos: em escoamento permanente e uniforme em canais abertos, a tensão média de cisalhamento na parede (tensão de fundo média) está relacionada ao raio hidráulico e à declividade por
\tau_0=\rho\,g\,R_h\,S,
onde:
  • \tau_0 é a tensão de cisalhamento média na parede (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^3}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • R_h é o raio hidráulico ( \mathrm{m}), definido por R_h=\dfrac{A}{P},
  • S é a declividade de energia, que em escoamento uniforme vale S=J=I_{o} (adimensional).
    Explicação rápida: a componente da força peso do fluido ao longo do plano inclinado é equilibrada pela força de atrito nas paredes; dividindo por área molhada chega-se à fórmula acima.

Passo 3

Calcular área molhada A e perímetro molhado P para a seção circular preenchida até metade (meia-seção). Para uma circunferência de raio r=\dfrac{D}{2}:
  • quando a profundidade de água h=r (meia-seção), a área molhada é metade da área do círculo:
A=\tfrac{1}{2}\pi r^{2}.
  • o perímetro molhado é a metade da circunferência (a superfície livre não conta):
P=\pi r.
Observação: usei que a linha d’água é o diâmetro e não faz parte do perímetro molhado, portanto o perímetro molhado é apenas a semicircunferência.

Passo 4

Calcular o raio hidráulico R_h:
R_h=\frac{A}{P}=\frac{\tfrac{1}{2}\pi r^{2}}{\pi r}=\frac{1}{2}r.
Substituindo r=\dfrac{D}{2}:
R_h=\frac{1}{2}\cdot\frac{D}{2}=\frac{D}{4}.
Portanto, para meia-seção de um conduto circular temos a relação simples R_h=\dfrac{D}{4}.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da tensão:
\tau_0=\rho\,g\,R_h\,I_{o}=\rho\,g\,\frac{D}{4}\,I_{o}.
Substituindo os valores numéricos (lembre que D=0,78\\ \mathrm{m}):
R_h=\frac{0,78}{4}=0,195\\ \mathrm{m}.
\tau_0=1000\cdot 9,81\cdot 0,195\cdot 0,0010.

Passo 6

Fazendo as contas passo a passo:
9,81\times 0,195=1,91295,
1000\times 1,91295\times 0,0010=1,91295\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando convenientemente (três algarismos significativos) obtemos \tau_0\approx 1,913\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

1,913\\ \mathrm{Pa}

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