Um canal trapezoidal, em concreto n=0 , 0 1 8, declividade de fundo I0=1 / 1 0 0 0 m / m, inclinação dos taludes 1 H: 1 V, foi projetado para trabalhar na condição de mínimo perímetro molhado e com tensão média de cisalhamento nas paredes e fundo igual a 4,9 N/m². Determine as dimensões da seção molhada e a vazão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um canal trapezoidal em concreto. O objetivo é encontrar as dimensões da seção molhada (ou seja, a largura e a profundidade da água no canal) e a vazão de água que passa por ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especialmente a equação de Manning que relaciona a vazão, a geometria do canal, e a inclinação do terreno. Também vamos considerar a tensão de cisalhamento nas paredes e no fundo do canal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a geometria do canal trapezoidal. A inclinação dos taludes é de 1H:1V, o que significa que para cada metro na vertical, temos um metro na horizontal. Vamos chamar a largura da base do canal de $ b $ e a profundidade da água de $ y $.
A largura na superfície do canal será $ B = b + 2y $ porque os dois taludes acrescentam $ y $ metros de cada lado.

Passo 3

Agora, vamos calcular a área da seção molhada $ A $. Para um canal trapezoidal, a área é dada por:
A
Então, $ A = (b + y) y $.

Passo 4

Em seguida, calculamos o perímetro molhado $ P $, que é o comprimento da área em contato com a água. Para o canal trapezoidal:
P
Então, $ P = b + 2\sqrt{2} y $.

Passo 5

O raio hidráulico $ R $ é a relação entre a área da seção molhada e o perímetro molhado:
R

Passo 6

Vamos usar a equação de Manning para encontrar a vazão $ Q $:
Q
Onde:
  • $ n = 0,018 $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
  • $ S = I_0 = \frac{1}{1000} $ é a inclinação do canal.
Substituindo, temos:
Q = 1n A R^2/3 S^1/2

Passo 7

Além disso, temos a tensão média de cisalhamento $ \tau = 4,9 , N/m^2 $. A tensão de cisalhamento em canais abertos pode ser relacionada pela fórmula:
tau = 4,9 , N/m^2
Onde:
  • $ \gamma $ é o peso específico da água ($ \gamma = 1000 , kg/m^3 \times 9,81 , m/s^2 = 9810 , N/m^3 $),
  • $ R $ é o raio hidráulico,
  • $ S = I_0 = \frac{1}{1000} $.
Então:
tau = gamma R S

Passo 8

Vamos resolver a equação da tensão de cisalhamento para encontrar uma relação entre $ b $ e $ y $:
b
y
Dividindo ambos os lados por 9,81:
4,9 = 9810 times (b + y) yb + 2raiz2 y times 0,001
Multiplicando ambos os lados por $ b + 2\sqrt{2} y $:
4,9 = 9,81 times (b + y) yb + 2raiz2 y
0,5 = (b + y) yb + 2raiz2 y
Reorganizando:
b + 2raiz2 y

Passo 9

Para simplificar, vamos assumir que a largura da base $ b $ é igual à profundidade $ y $. Então, $ b = y $. Substituindo na equação:
b
y
Fatorando $ y $:
b = y
Desconsiderando $ y = 0 $, temos:
y^2 + y^2 - 0,5y - raiz2 y = 0
2y^2 - (0,5 + raiz2) y = 0
Então, a profundidade $ y $ é aproximadamente 0,957 metros, e a largura da base $ b $ também é 0,957 metros.

Passo 10

Com $ b $ e $ y $ conhecidos, podemos calcular a vazão $ Q $ usando a equação de Manning:
b
y
Q
Agora, substituindo na equação de Manning:
A = (b + y) y = (0,957 + 0,957) times 0,957 approx 1,914 times 0,957 approx 1,832 , m^2
Calculando passo a passo:
P = b + 2raiz2 y = 0,957 + 2 times 1,4142 times 0,957 approx 0,957 + 2,707 approx 3,664 , m
R = AP = 1,8323,664 approx 0,500 , m
Então:
Q = 10,018 times 1,832 times (0,500)^2/3 times ( 11000 )^1/2

Resposta

As dimensões da seção molhada são aproximadamente 0,957 metros de largura e 0,957 metros de profundidade, e a vazão é de cerca de 2,0 metros cúbicos por segundo.

Exercícios relacionados