Um canal trapezoidal, em concreto
, declividade de fundo
, inclinação dos taludes
, foi projetado para trabalhar na condição de mínimo perímetro molhado e com tensão média de cisalhamento nas paredes e fundo igual a 4,9 N/m². Determine as dimensões da seção molhada e a vazão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um canal trapezoidal em concreto. O objetivo é encontrar as dimensões da seção molhada (ou seja, a largura e a profundidade da água no canal) e a vazão de água que passa por ele. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidráulica de canais abertos, especialmente a equação de Manning que relaciona a vazão, a geometria do canal, e a inclinação do terreno. Também vamos considerar a tensão de cisalhamento nas paredes e no fundo do canal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a geometria do canal trapezoidal. A inclinação dos taludes é de 1H:1V, o que significa que para cada metro na vertical, temos um metro na horizontal. Vamos chamar a largura da base do canal de $ b $ e a profundidade da água de $ y $.
A largura na superfície do canal será $ B = b + 2y $ porque os dois taludes acrescentam $ y $ metros de cada lado.
Passo 3
Agora, vamos calcular a área da seção molhada $ A $. Para um canal trapezoidal, a área é dada por:
Então, $ A = (b + y) y $.
Passo 4
Em seguida, calculamos o perímetro molhado $ P $, que é o comprimento da área em contato com a água. Para o canal trapezoidal:
Então, $ P = b + 2\sqrt{2} y $.
Passo 5
O raio hidráulico $ R $ é a relação entre a área da seção molhada e o perímetro molhado:
Passo 6
Vamos usar a equação de Manning para encontrar a vazão $ Q $:
Onde:
- $ n = 0,018 $ é o coeficiente de rugosidade de Manning,
- $ S = I_0 = \frac{1}{1000} $ é a inclinação do canal.
Substituindo, temos:
Passo 7
Além disso, temos a tensão média de cisalhamento $ \tau = 4,9 , N/m^2 $. A tensão de cisalhamento em canais abertos pode ser relacionada pela fórmula:
Onde:
- $ \gamma $ é o peso específico da água ($ \gamma = 1000 , kg/m^3 \times 9,81 , m/s^2 = 9810 , N/m^3 $),
- $ R $ é o raio hidráulico,
- $ S = I_0 = \frac{1}{1000} $.
Então:
Passo 8
Vamos resolver a equação da tensão de cisalhamento para encontrar uma relação entre $ b $ e $ y $:
Dividindo ambos os lados por 9,81:
Multiplicando ambos os lados por $ b + 2\sqrt{2} y $:
Reorganizando:
Passo 9
Para simplificar, vamos assumir que a largura da base $ b $ é igual à profundidade $ y $. Então, $ b = y $. Substituindo na equação:
Fatorando $ y $:
Desconsiderando $ y = 0 $, temos:
Então, a profundidade $ y $ é aproximadamente 0,957 metros, e a largura da base $ b $ também é 0,957 metros.
Passo 10
Com $ b $ e $ y $ conhecidos, podemos calcular a vazão $ Q $ usando a equação de Manning:
Agora, substituindo na equação de Manning:
Calculando passo a passo:
Então:
Resposta
As dimensões da seção molhada são aproximadamente 0,957 metros de largura e 0,957 metros de profundidade, e a vazão é de cerca de 2,0 metros cúbicos por segundo.