Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a
e altura dágua de
. Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão, com a mesma altura dágua, rugosidade e declividade de fundo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma galeria de águas pluviais com uma seção retangular que está escoando uma certa quantidade de água. As medidas são:
- Largura do fundo:
- Altura d’água:
Agora, precisamos mudar essa seção para uma forma circular, mas sem alterar a vazão, a altura d’água, a rugosidade e a declividade do fundo. Nosso objetivo aqui é descobrir o diâmetro dessa nova seção circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a ferramenta que vamos usar para resolver isso. A equação de Manning é perfeita para esse tipo de problema. Ela relaciona a vazão (
) com a geometria do canal, a rugosidade da superfície e a declividade.
A fórmula da equação de Manning é:
Onde:
-
é a vazão (o que queremos manter igual) -
é o coeficiente de rugosidade (também mantido igual) -
é a área da seção transversal do canal -
é o raio hidráulico ( , sendo o perímetro molhado) -
é a declividade do fundo (mantida igual)
Como queremos manter
,
, e
iguais, precisamos que
seja o mesmo tanto para as duas seções.
Passo 3
Vamos calcular
para a seção retangular e depois igualar isso à expressão para a seção circular.
Seção Retangular:
- Área (
) = largura altura = - Perímetro molhado (
) = 2 altura + largura = - Raio hidráulico (
) =
Agora, calculamos
para a seção retangular:
Passo 4
Agora, para a seção circular, queremos que:
Primeiro, expressamos a área e o raio hidráulico da seção circular em termos do diâmetro (
):
- Área (
) = - Perímetro molhado (
) = - Raio hidráulico (
) =
Substituindo na equação:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Simplificando mais:
Sabemos que
Então, a equação fica:
Multiplicando os termos:
Calculando os coeficientes:
Passo 6
Agora, resolvemos para
:
Para encontrar
, elevamos ambos os lados à potência de
:
Calculando:
Resposta
O diâmetro da seção circular necessário para transportar a mesma vazão, mantendo a altura d’água, rugosidade e declividade de fundo, é aproximadamente 0,896 metros.