Uma galeria de águas pluviais de seção retangular escoa uma certa vazão, em escoamento uniforme, com uma largura de fundo igual a 0 , 9 0 m e altura dágua de 0 , 7 0 m. Em uma determinada seção, deverá haver uma mudança na geometria, passando para uma seção circular. Determine o diâmetro da seção circular para transportar a mesma vazão, com a mesma altura dágua, rugosidade e declividade de fundo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma galeria de águas pluviais com uma seção retangular que está escoando uma certa quantidade de água. As medidas são:
  • Largura do fundo: 0,90 , m
  • Altura d’água: 0,70 , m
Agora, precisamos mudar essa seção para uma forma circular, mas sem alterar a vazão, a altura d’água, a rugosidade e a declividade do fundo. Nosso objetivo aqui é descobrir o diâmetro dessa nova seção circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a ferramenta que vamos usar para resolver isso. A equação de Manning é perfeita para esse tipo de problema. Ela relaciona a vazão ( Q) com a geometria do canal, a rugosidade da superfície e a declividade.
A fórmula da equação de Manning é:
Q = 1n , A , R^2/3 , S^1/2
Onde:
  • Q é a vazão (o que queremos manter igual)
  • n é o coeficiente de rugosidade (também mantido igual)
  • A é a área da seção transversal do canal
  • R é o raio hidráulico ( R = AP, sendo P o perímetro molhado)
  • S é a declividade do fundo (mantida igual)
Como queremos manter Q, n, e S iguais, precisamos que A , R^2/3 seja o mesmo tanto para as duas seções.

Passo 3

Vamos calcular A , R^2/3 para a seção retangular e depois igualar isso à expressão para a seção circular.
Seção Retangular:
  • Área ( Aret) = largura times altura = 0,90 , m times 0,70 , m = 0,63 , m^2
  • Perímetro molhado ( Pret) = 2 times altura + largura = 2 times 0,70 + 0,90 = 2,30 , m
  • Raio hidráulico ( Rret) = AretPret = 0,632,30 approx 0,2739 , m
Agora, calculamos A , R^2/3 para a seção retangular:
Aret times Rret^2/3 = 0,63 times (0,2739)^2/3 approx 0,63 times 0,3796 approx 0,239 , m^7/3

Passo 4

Agora, para a seção circular, queremos que:
Acirc times Rcirc^2/3 = 0,239 , m^7/3
Primeiro, expressamos a área e o raio hidráulico da seção circular em termos do diâmetro ( d):
  • Área ( Acirc) = pi d^24
  • Perímetro molhado ( Pcirc) = pi d
  • Raio hidráulico ( Rcirc) = AcircPcirc = pi d^24pi d = d4
Substituindo na equação:
pi d^24 times (d4)^2/3 = 0,239

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
pi d^24 times (d^24^2)^1/3 = 0,239
Simplificando mais:
pi d^24 times (d^216)^1/3 = 0,239
Sabemos que (d^216)^1/3 = d^2/316^1/3 = d^2/32.5198
Então, a equação fica:
pi d^24 times d^2/32.5198 = 0,239
Multiplicando os termos:
pi4 times 2.5198 times d^2 + 2/3 = 0,239
Calculando os coeficientes:
3.141610.0792 times d^8/3 approx 0,3118 times d^8/3 = 0,239

Passo 6

Agora, resolvemos para d^8/3:
d^8/3 = 0,2390,3118 approx 0,766
Para encontrar d, elevamos ambos os lados à potência de 3/8:
d = (0,766)^3/8
Calculando:
d approx 0,766^0,375 approx 0,896 , m

Resposta

O diâmetro da seção circular necessário para transportar a mesma vazão, mantendo a altura d’água, rugosidade e declividade de fundo, é aproximadamente 0,896 metros.

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