Uma canalização de tubos de ferro fundido novo (
) com diâmetro de 250 mm é alimentada por um reservatório cujo nível da água situa-se na cota de 1920 m . Fazendo-se uso da equação de Bernoulli e da fórmula universal,
calcular a vazão e a pressão no ponto E de cota 1750 m , distante 1500 m do reservatório, sabendo-se que a descarga se faz livremente na cota 1720 m . Dados:
; vágua
.
calcular a vazão e a pressão no ponto E de cota 1750 m , distante 1500 m do reservatório, sabendo-se que a descarga se faz livremente na cota 1720 m . Dados:
Passo 1
Dados fornecidos (vou listar exatamente o que o enunciado deu):
(rugosidade absoluta do tubo)
(diâmetro interno)
(uma distância dada no enunciado; vou assumir — veja abaixo)
nível do reservatório (ponto 1): cota (superfície livre do reservatório)
descarga livre (ponto 2): cota (saída livre para a atmosfera)
ponto : cota
(é pedido a pressão em
)
água a :
(viscosidade cinemática)
nível do reservatório (ponto 1): cota
descarga livre (ponto 2): cota
ponto
água a
Observação / hipótese necessária para ter uma formulação consistente (assumimos isto porque o enunciado não detalha uma planta): vou considerar que o tubo conecta o reservatório (cota
) à descarga livre (cota
) e que o comprimento total do trecho entre reservatório e descarga é
. Ou seja,
é o comprimento do trecho onde ocorre perda de carga por atrito. O ponto
está a cota
, portanto está a uma fração do comprimento total (posição intermediária). Como o enunciado não dá distância específica do reservatório até
diferente de
, assumimos que a variação de cota ao longo do tubo é suave e proporcional ao comprimento; então a distância ao longo do tubo do reservatório até
é proporcional à queda de cota. Assim:
Logo a distância ao longo do tubo do reservatório até
é
Essa hipótese é natural para poder calcular a perda de carga acumulada até
. Vou prosseguir com ela.
Passo 2
Planteamento físico e equações que vamos usar (explicando de forma didática).
- Equação de Bernoulli (entre superfície livre do reservatório, ponto 1, e a saída livre, ponto 2, assumindo perda por atrito entre eles):
onde:
-
é a cota geométrica (m), -
é a carga de pressão (m) com (peso específico), -
é a carga cinética (m), -
é a perda de carga por atrito (m).
No reservatório grande, a velocidade de superfície é desprezível:. Na descarga livre a pressão é atmosférica tanto no reservatório quanto na saída, então e as cargas de pressão se cancelam. Assim fica:
onde
é a velocidade na tubulação (assumimos vazão uniforme e velocidade praticamente igual na saída).
- Perda de carga por atrito (fórmula universal de Darcy-Weisbach):
onde
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), função de Reynolds e da rugosidade relativa
. Substituindo em Bernoulli:
Dessa relação isolamos
se conhecermos
. Mas
depende de
por meio do número de Reynolds e da equação de Colebrook (fórmula universal, implícita):
- Equação de Colebrook (forma implícita usada como “fórmula universal”):
onde
. Essa equação precisa ser resolvida iterativamente (ou usando fórmula explícita aproximada como Swamee–Jain). Vou resolver iterativamente (mostro passos).
Passo 3
Calcular área da seção e relacionar
e
.
Área da seção:
Área da seção:
A vazão é
. Nosso objetivo primeiro é encontrar
resolvendo a equação de energia com a perda de carga, depois obter
.
Passo 4
Resolver iterativamente para
e
. Vou fazer uma iteração simples (inicializo
— valor típico) e atualizo com a Colebrook até convergência.
Dados numéricos úteis:
.
.
.
.
.
.
Iteração 1 (chute
):
Calcule a partir de
Calcule
Logo denom =
Assim
e
Número de Reynolds:
Agora usar Colebrook para obter
. Compute o termo:
portanto
.
Iteração 2: usando
recalcule
: o denominador
. Assim
Recalcule
. Substituindo na Colebrook obtém-se praticamente o mesmo
(convergência alcançada:
).
Convergência rápida — adotamos
e
.
Passo 5
Calcular a vazão
a partir de
e da área:
(Arredondando:
.)
Passo 6
Calcular a perda de carga total entre reservatório e descarga e a perda acumulada até
.
Perda total (usar Darcy-Weisbach):
Perda total (usar Darcy-Weisbach):
Sabemos
,
e
. Então
Repare que
(checa a equação de energia).
Perda acumulada até
(o tubo até
tem comprimento
, conforme hipótese):
Passo 7
Aplicar Bernoulli entre superfície do reservatório (ponto 1) e o ponto
para obter a pressão em
.
Bernoulli (novamente, atmosférico,
):
Bernoulli (novamente,
Isolando
:
Substituindo números:
,
e
. Então
(Houve pequeno arredondamento; com mais casas obtém-se cerca de
.)
Convertendo para pressão (usar
,
):
ou seja pressão manométrica
(abaixo da atmosférica). Pressão absoluta aproximada (assumindo
):
Interpretação física (rápida): o resultado negativo para pressão manométrica indica que no ponto
a pressão está um pouco abaixo da pressão atmosférica — isso é possível em escoamentos onde a perda de carga acumulada antes de
consome boa parte da energia disponível. Em projeto real verificar risco de cavitação/entrada de ar.
Passo 8
Resumo numérico com arredondamentos razoáveis:
(velocidade na tubulação)
(vazão)
(fator de atrito de Darcy)
(manométrica)
(absoluta)