Em uma adutora por gravidade têm-se os seguintes dados:
i. Desnível = 36 m ;
ii. Diâmetro da tubulação = 6^{\prime \prime} \cong 150 \mathrm{~mm};
iii. Material = Ferro fundido ( f^{\circ} f^{\circ} ) 5 anos de uso ( C=118 );
iv. Vazão = 23,2 \mathrm{~L} / \mathrm{s};
v. Comprimento da tubulação = 4.240 \mathrm{~m};
Usando a fórmula de Hazen-Williams verificar, se a adutora terá capacidade para atender a demanda; caso contrário, apontar solução.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema pede e o que foi dado).
  • O enunciado pede: usar a fórmula de Hazen‑Williams para verificar se a adutora tem capacidade para atender a demanda; se não, indicar solução.
  • Dados fornecidos:
    • Desnível disponível: \;36\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro da tubulação: \;6'' \cong 150\\ \mathrm{mm}.
    • Material: ferro fundido, 5 anos de uso, coeficiente de Hazen‑Williams \;C=118.
    • Vazão: \;23{,}2\\ \mathrm{L/s}.
    • Comprimento da tubulação: \;4.240\\ \mathrm{m}.
Observação importante: vou transformar tudo para unidades do SI para usar a fórmula padrão em metros e metros cúbicos por segundo. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conversão de unidades e preparação dos dados (etapa básica e necessária).
  • Converter vazão para \mathrm{m^3/s}: Q = 23{,}2\\ \mathrm{L/s} = 23{,}2\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}0232\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Converter diâmetro para metros: d = 150\\ \mathrm{mm} = 0{,}150\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento já em metros: \;L = 4.240\\ \mathrm{m}.
  • Coeficiente: \;C = 118.
  • Desnível disponível (energia disponível na adutora): \;H_{disp}=36\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Apresentar a fórmula de Hazen‑Williams usada e explicar cada variável.
  • Fórmula de Hazen‑Williams (forma prática para perda de carga em coluna d’água, SI): h_f = 10{,}67\,L\,\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,d^{4{,}871}}onde
    • \;h_f é a perda de carga total (m),
    • \;L é o comprimento da tubulação (m),
    • \;Q é a vazão (m^3/s),
    • \;C é o coeficiente de Hazen‑Williams (adimensional),
    • \;d é o diâmetro interno da tubulação (m).
  • Nota didática curta: a fórmula é empírica; os expoentes 1{,}852 e 4{,}871 vêm do ajuste experimental. O fator 10{,}67 ajusta as unidades no sistema SI.

Passo 4

Calcular as potências necessárias (mostrando passo a passo como computar Q^{1{,}852}, C^{1{,}852} e d^{4{,}871}).
  • Calcular \;Q^{1{,}852}: Q = 0{,}0232\\ \Rightarrow\\ Q^{1{,}852} \approx 0{,}0232^{1{,}852} \approx 0{,}000941.Explicação rápida: para fazer esse tipo de potência sem calculadora se usa logaritmos; aqui já apresento o valor numérico arredondado com precisão prática.
  • Calcular \;C^{1{,}852}: C = 118\\ \Rightarrow\\ C^{1{,}852} \approx 118^{1{,}852} \approx 6.896\times 10^{3}.
  • Calcular \;d^{4{,}871}: d = 0{,}150\\ \Rightarrow\\ d^{4{,}871} \approx 0{,}150^{4{,}871} \approx 9{,}64\times 10^{-5}.
  • Explicação didática: multiplique passo a passo ou use logaritmos. Eu calculei essas potências para manter o fluxo; na prova, se for permitido, use calculadora científica para esses expoentes. Os valores estão arredondados a dígitos significativos compatíveis com engenharia.

Passo 5

Calcular a perda de carga total \;h_f usando os valores obtidos.
  • Primeiro calcule o numerador constante: 10{,}67 \, L \, Q^{1{,}852} = 10{,}67 \times 4.240 \times 0{,}000941 \approx 42{,}59.
  • Depois o denominador parcial: C^{1{,}852}\,d^{4{,}871} \approx 6{,}896\times 10^{3} \times 9{,}64\times 10^{-5} \approx 0{,}6639.
  • Logo a perda de carga total: h_f = \frac{42{,}59}{0{,}6639} \approx 64{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: com a tubulação de \;150\\ \mathrm{mm} e C=118, a perda por atrito ao transportar \;23{,}2\\ \mathrm{L/s} por \;4.240\\ \mathrm{m} de comprimento fica em torno de \;64{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Comparar perda de carga com o desnível disponível e concluir se a adutora atende a demanda.
  • Desnível disponível: \;H_{disp} = 36\\ \mathrm{m}.
  • Perda calculada: \;h_f \approx 64{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Conclusão: \;h_f > H_{disp}. Ou seja, a perda de carga necessária para levar a vazão é maior que o desnível disponível, portanto a adutora com as condições dadas NÃO tem capacidade para atender a demanda atual.

Passo 7

Calcular qual diâmetro mínimo seria necessário (resolver a fórmula para d) para que \;h_f \le 36\\ \mathrm{m}.
  • Isolar d na fórmula: d^{4{,}871} = \frac{10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}.
d = \left(\frac{10{,}67\,L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,h_f}\right)^{\frac{1}{4{,}871}}.
  • Usando \;h_f = 36\\ \mathrm{m} (limite máximo disponível):
    • Já tínhamos 10{,}67 L Q^{1{,}852} \approx 42{,}59.
    • Denominador: C^{1{,}852}\,h_f \approx 6{,}896\times 10^{3} \times 36 \approx 248{,}256.
    • Relação: \dfrac{42{,}59}{248{,}256} \approx 1{,}716\times 10^{-4}.
    • Logo d \approx (1{,}716\times 10^{-4})^{1/4{,}871} \approx 0{,}170\\ \mathrm{m} = 170\\ \mathrm{mm}.
  • Interpretação: teoricamente seria necessário um diâmetro interno de aproximadamente \;170\\ \mathrm{mm} para que a perda de carga por atrito não excedesse os \;36\\ \mathrm{m} disponíveis.

Passo 8

Considerações práticas e escolha de solução viável (tamanhos comerciais e alternativas).
  • Tubulações comerciais próximas: 150 mm (6"), 200 mm (8"). O diâmetro calculado 170 mm não é um tamanho padrão comum; então devemos escolher o próximo tamanho comercial maior.
  • Calcular perda de carga se adotarmos \;d = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}200\\ \mathrm{m} (solução prática recomendada):
    • Calcular d^{4{,}871} para 0{,}200\\ \mathrm{m}: d^{4{,}871} \approx 0{,}200^{4{,}871} \approx 3{,}92\times 10^{-4}.
    • Denominador: C^{1{,}852}\,d^{4{,}871} \approx 6{,}896\times 10^{3}\times 3{,}92\times 10^{-4} \approx 2{,}703.
    • Perda de carga: h_f = \frac{42{,}59}{2{,}703} \approx 15{,}8\\ \mathrm{m}.
    • Interpretação: com diâmetro \;200\\ \mathrm{mm} a perda de carga estimada fica em torno de \;15{,}8\\ \mathrm{m}, bem menor que os \;36\\ \mathrm{m} disponíveis — portanto atende a demanda com folga.
  • Outras soluções possíveis (quando aumento de diâmetro não for viável):
    • Instalar bomba(s) (transformar parte do sistema em adutora com recalque) para vencer a perda de carga.
    • Utilizar tubulações em paralelo (duas linhas menores em paralelo reduzem perda de carga total).
    • Reduzir rugosidade (aumentar C) por revestimento interno ou substituição para material com maior C; porém o ganho pode ser insuficiente se a diferença de C for pequena.
  • Recomendações práticas: a solução mais simples e robusta é aumentar o diâmetro para o próximo tamanho comercial (no caso 200 mm), salvará energia e evita custos operacionais contínuos de bombas.

Passo 9

Resumo final do raciocínio e conselho final (tom de incentivo e prática para prova).
  • Fiz a conta com a fórmula standard de Hazen‑Williams, converti unidades e calculei a perda de carga. Mostrei como isolar d para achar o diâmetro mínimo.
  • Para a prova: memorize a forma da fórmula em SI e os significados das variáveis; ao aplicar, primeiro converta Q para \mathrm{m^3/s} e d para metros; calcule potências em ordem (primeiro Q^{1{,}852}, depois C^{1{,}852}, etc.). Se precisar de diâmetro não padrão, escolha o próximo tamanho comercial maior e recalcule a perda para confirmar.
  • Você conseguiu! É um procedimento mecânico: transformar unidades → aplicar fórmula → comparar com o desnível → ajustar diâmetro ou propor solução alternativa.

Resposta

Não — perda de carga calculada \approx 64{,}1\\ \mathrm{m} (maior que os \;36\\ \mathrm{m} disponíveis).
Solução prática recomendada: aumentar o diâmetro para \;200\\ \mathrm{mm} (8’’), o que resulta em perda de carga \approx 15{,}8\\ \mathrm{m} (aceitável).
Alternativas: instalação de bomba(s) ou tubulação(s) em paralelo; revestimento interno para aumentar C (menos eficaz que aumento de diâmetro).

Exercícios relacionados