Um canhão de prótons dispara um próton a partir da meia distância entre duas placas paralelas, A e B , as quais são mantidas fixas e separadas por uma distância de
. O próton inicialmente move-se com a
velocidade de
em sentido à placa B . A placa A é mantida com potencial elétrico nulo, enquanto que a placa B tem potencial igual a
.
(a) O próton irá atingir a placa B ?
(b) Se não, onde ele irá inverter sua velocidade?
(c) Neste caso, com que velocidade irá atingir a placa A?
velocidade de
(a) O próton irá atingir a placa B ?
(b) Se não, onde ele irá inverter sua velocidade?
(c) Neste caso, com que velocidade irá atingir a placa A?
Passo 1
Dados do enunciado e perguntas que precisamos responder:\n
- Separação entre as placas:
.\n - O próton parte da meia distância entre as placas (ou seja, a
de cada placa).\n - Velocidade inicial do próton:
em sentido à placa .\n - Potencial elétrico da placa
: .\n - Potencial elétrico da placa
: .\n
Perguntas:\n
(a) O próton atingirá a placa?\n
(b) Se não, em que posição (onde) ele inverterá seu movimento (ponto de retorno)?\n
(c) No caso de inverter antes de, com que velocidade ele atingirá a placa ?
Passo 2
Primeiro convertemos unidades e fixamos constantes que usaremos:\n
- Separação
. Portanto a posição da meia distância é medida a partir da placa .\n - Velocidade inicial
.\n - Carga do próton
.\n - Massa do próton
.\n
Observação: quando eu escrever potenciais como função da posição vou supor que o potencial varia linearmente entre as placas (placas paralelas, campo uniforme), então isso será usado para localizar o ponto de inversão.
Passo 3
Revisão física necessária — energia potencial elétrica e conservação de energia (aula curta e direta):\n
- Para uma carga pontual
em um ponto com potencial elétrico , a energia potencial elétrica é . Aqui está em volts e em joules.\n - O trabalho feito pelo campo elétrico ao mover a carga entre dois pontos muda sua energia cinética. A conservação da energia mecânica (campo elétrico conservativo) dá:
- Para uma carga positiva movendo-se para um ponto de potencial mais alto, a energia potencial aumenta e a energia cinética diminui; se a energia cinética chegar a zero antes de alcançar a placa, a partícula inverte o sentido (ponto de retorno) porque não tem energia cinética suficiente para subir mais em potencial.\n
- Relação prática útil: a variação de energia cinética ao mover-se por uma diferença de potencial
é (sinal consistente com o que foi dito).
Passo 4
Determinamos o potencial no ponto inicial (meia distância) e a energia cinética inicial do próton:\n
- Como o potencial varia linearmente entre
( ) e ( ), no meio temos
- Energia cinética inicial:
Agora calculamos esse valor numericamente:
Passo 5
Verificamos se a energia cinética inicial é suficiente para que o próton alcance a placa
:\n
- A diferença de potencial do ponto inicial (meio) até
é
- A energia necessária para levar a carga
dessa diferença de potencial (ou seja, quanto a energia cinética diminuiria) é
- Comparando:
Como
, o próton não tem energia cinética suficiente para chegar até
. Portanto ele não atinge a placa
— responderemos (a): não.
Passo 6
Encontramos o ponto de inversão (onde a velocidade zera):\n
- No ponto de inversão
. Pela conservação de energia entre o ponto inicial (mid) e o ponto de inversão:
- Assim a diferença de potencial até o ponto de retorno é
Calculamos numericamente:
- Então o potencial no ponto de inversão é
- Agora usamos a variação linear do potencial entre as placas para achar a posição
medida a partir da placa . O gradiente de potencial (campo multiplicado por -1, mas aqui usamos apenas razão) é
Logo
- Interpretações úteis:
- Distância da placa
: .\n - Distância da posição inicial (meio,
) até o ponto de inversão: em direção à .\n - Distância do ponto de inversão até a placa
: .\n
Portanto respondemos (b): o próton inverte sua velocidade a aproximadamenteda placa (ou à frente da posição inicial).
- Distância da placa
Passo 7
Calculamos a velocidade com que o próton atinge a placa
depois de inverter (energia liberada ao descer de
até
):\n
- No ponto de inversão
. Ao mover-se de até o próton ganha energia cinética igual a . Assim a energia cinética ao chegar em é
(Observação: dá o mesmo resultado usar
.)\n
- A velocidade ao atingir
vem de . Logo
Calculamos numericamente:
- Convertendo para
:
Passo 8
Resumo final dos resultados numéricos (já calculados e justificados):\n
- (a) Não — o próton não atinge a placa
porque sua energia cinética inicial é menor do que a energia necessária para subir até .\n - (b) Ponto de inversão:
medida a partir da placa (ou à frente da posição inicial e antes da placa ).\n - (c) Velocidade ao atingir
: (aprox. ).
Resposta
(a) Não.\n
(b) Inverte em a partir da placa
(ou
após a posição inicial).\n
(c) (aprox.
).
(b) Inverte em
(c)