Um canhão de prótons dispara um próton a partir da meia distância entre duas placas paralelas, A e B , as quais são mantidas fixas e separadas por uma distância de 10,0 \mathrm{~cm}. O próton inicialmente move-se com a
velocidade de 150,0 \mathrm{~km} / \mathrm{s} em sentido à placa B . A placa A é mantida com potencial elétrico nulo, enquanto que a placa B tem potencial igual a 400,0 \mathrm{~V}.
(a) O próton irá atingir a placa B ?
(b) Se não, onde ele irá inverter sua velocidade?
(c) Neste caso, com que velocidade irá atingir a placa A?

Passo 1

Dados do enunciado e perguntas que precisamos responder:\n
  • Separação entre as placas: 10,0\\ \mathrm{cm}.\n
  • O próton parte da meia distância entre as placas (ou seja, a 5,00\\ \mathrm{cm} de cada placa).\n
  • Velocidade inicial do próton: 150,0\\ \mathrm{km/s} em sentido à placa B.\n
  • Potencial elétrico da placa A: 0\\ \mathrm{V}.\n
  • Potencial elétrico da placa B: 400,0\\ \mathrm{V}.\n
    Perguntas:\n
    (a) O próton atingirá a placa B?\n
    (b) Se não, em que posição (onde) ele inverterá seu movimento (ponto de retorno)?\n
    (c) No caso de inverter antes de B, com que velocidade ele atingirá a placa A?

Passo 2

Primeiro convertemos unidades e fixamos constantes que usaremos:\n
  • Separação d = 10,0\\ \mathrm{cm} = 0,100\\ \mathrm{m}. Portanto a posição da meia distância é x_0=0,050\\ \mathrm{m} medida a partir da placa A.\n
  • Velocidade inicial v_0 = 150,0\\ \mathrm{km/s} = 150\;000\\ \mathrm{m/s} = 1,50\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Carga do próton q = e = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.\n
  • Massa do próton m_p = 1,673\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.\n
    Observação: quando eu escrever potenciais como função da posição vou supor que o potencial varia linearmente entre as placas (placas paralelas, campo uniforme), então isso será usado para localizar o ponto de inversão.

Passo 3

Revisão física necessária — energia potencial elétrica e conservação de energia (aula curta e direta):\n
  • Para uma carga pontual q em um ponto com potencial elétrico V, a energia potencial elétrica é U=qV. Aqui V está em volts e U em joules.\n
  • O trabalho feito pelo campo elétrico ao mover a carga entre dois pontos muda sua energia cinética. A conservação da energia mecânica (campo elétrico conservativo) dá:
K_{\text{inicial}}+U_{\text{inicial}}=K_{\text{final}}+U_{\text{final}}.
  • Para uma carga positiva movendo-se para um ponto de potencial mais alto, a energia potencial aumenta e a energia cinética diminui; se a energia cinética chegar a zero antes de alcançar a placa, a partícula inverte o sentido (ponto de retorno) porque não tem energia cinética suficiente para subir mais em potencial.\n
  • Relação prática útil: a variação de energia cinética ao mover-se por uma diferença de potencial \Delta V é \Delta K = -q\,\Delta V (sinal consistente com o que foi dito).

Passo 4

Determinamos o potencial no ponto inicial (meia distância) e a energia cinética inicial do próton:\n
  • Como o potencial varia linearmente entre A ( 0\\ \mathrm{V}) e B ( 400,0\\ \mathrm{V}), no meio temos
V_{\text{mid}}=\frac{0+400,0}{2}=200,0\\ \mathrm{V}.\n
  • Energia cinética inicial:
K_0=\frac12 m_p v_0^2=\frac12\cdot(1,673\times10^{-27})\cdot(1,50\times10^{5})^2.
Agora calculamos esse valor numericamente:
(1,50\times10^{5})^2=2,25\times10^{10},
m_p v_0^2=1,673\times10^{-27}\times2,25\times10^{10}=3,76425\times10^{-17}\\ \mathrm{J},
K_0=\tfrac12\cdot3,76425\times10^{-17}=1,88213\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Verificamos se a energia cinética inicial é suficiente para que o próton alcance a placa B:\n
  • A diferença de potencial do ponto inicial (meio) até B é
\Delta V_{\text{mid}\to B}=V_B-V_{\text{mid}}=400,0-200,0=200,0\\ \mathrm{V}.
  • A energia necessária para levar a carga q dessa diferença de potencial (ou seja, quanto a energia cinética diminuiria) é
\Delta U = q\,\Delta V = e\cdot200,0 = (1,602\times10^{-19})\cdot200,0=3,20400\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
  • Comparando:
K_0=1,88213\times10^{-17}\\ \mathrm{J}\quad\text{versus}\quad\Delta U=3,20400\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Como K_0<\Delta U, o próton não tem energia cinética suficiente para chegar até B. Portanto ele não atinge a placa B — responderemos (a): não.

Passo 6

Encontramos o ponto de inversão (onde a velocidade zera):\n
  • No ponto de inversão K_{\text{turn}}=0. Pela conservação de energia entre o ponto inicial (mid) e o ponto de inversão:
K_0 + qV_{\text{mid}} = 0 + qV_{\text{turn}} \quad\Rightarrow\quad q(V_{\text{turn}}-V_{\text{mid}})=K_0.
  • Assim a diferença de potencial até o ponto de retorno é
\Delta V_{\text{mid}\to\text{turn}}=V_{\text{turn}}-V_{\text{mid}}=\frac{K_0}{q}.
Calculamos numericamente:
\Delta V_{\text{mid}\to\text{turn}}=\frac{1,88213\times10^{-17}}{1,602\times10^{-19}}=117,5\\ \mathrm{V}\\ (\text{aprox.}).
  • Então o potencial no ponto de inversão é
V_{\text{turn}}=V_{\text{mid}}+\Delta V_{\text{mid}\to\text{turn}}=200,0+117,5=317,5\\ \mathrm{V}.
  • Agora usamos a variação linear do potencial entre as placas para achar a posição x_{\text{turn}} medida a partir da placa A. O gradiente de potencial (campo multiplicado por -1, mas aqui usamos apenas razão) é
\frac{V_B-V_A}{d}=\frac{400,0-0}{0,100}=4000\\ \mathrm{V/m}.
Logo
x_{\text{turn}}=\frac{V_{\text{turn}}-V_A}{4000}=\frac{317,5}{4000}=0,079375\\ \mathrm{m}=7,9375\\ \mathrm{cm}.
  • Interpretações úteis:
    • Distância da placa A: x_{\text{turn}}\approx7,94\\ \mathrm{cm}.\n
    • Distância da posição inicial (meio, 5,00\\ \mathrm{cm}) até o ponto de inversão: 7,9375-5,000=2,9375\\ \mathrm{cm} em direção à B.\n
    • Distância do ponto de inversão até a placa B: 10,00-7,9375=2,0625\\ \mathrm{cm}.\n
      Portanto respondemos (b): o próton inverte sua velocidade a aproximadamente 7,94\\ \mathrm{cm} da placa A (ou 2,94\\ \mathrm{cm} à frente da posição inicial).

Passo 7

Calculamos a velocidade com que o próton atinge a placa A depois de inverter (energia liberada ao descer de V_{\text{turn}} até V_A):\n
  • No ponto de inversão K=0. Ao mover-se de V_{\text{turn}} até V_A=0 o próton ganha energia cinética igual a q(V_{\text{turn}}-V_A)=qV_{\text{turn}}. Assim a energia cinética ao chegar em A é
K_A = qV_{\text{turn}} = e\cdot317,5=(1,602\times10^{-19})\cdot317,5=5,08613\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
(Observação: dá o mesmo resultado usar K_A=K_0+e(V_{\text{mid}}-V_A)=K_0+e\cdot200,0.)\n
  • A velocidade ao atingir A vem de K_A=\tfrac12 m_p v_A^2. Logo
v_A=\sqrt{\frac{2K_A}{m_p}}=\sqrt{\frac{2\cdot5,08613\times10^{-17}}{1,673\times10^{-27}}}.
Calculamos numericamente:
2K_A=1,01723\times10^{-16},
\frac{2K_A}{m_p}=\frac{1,01723\times10^{-16}}{1,673\times10^{-27}}=6,0799\times10^{10},
v_A=\sqrt{6,0799\times10^{10}}=2,466\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
  • Convertendo para \mathrm{km/s}:
v_A\approx246,6\\ \mathrm{km/s}.

Passo 8

Resumo final dos resultados numéricos (já calculados e justificados):\n
  • (a) Não — o próton não atinge a placa B porque sua energia cinética inicial é menor do que a energia necessária para subir até V_B.\n
  • (b) Ponto de inversão: x_{\text{turn}}\approx7,94\\ \mathrm{cm} medida a partir da placa A (ou 2,94\\ \mathrm{cm} à frente da posição inicial e 2,06\\ \mathrm{cm} antes da placa B).\n
  • (c) Velocidade ao atingir A: v_A\approx2,47\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 246,6\\ \mathrm{km/s}).

Resposta

(a) Não.\n
(b) Inverte em x_{\text{turn}}\approx7,94\\ \mathrm{cm} a partir da placa A (ou 2,94\\ \mathrm{cm} após a posição inicial).\n
(c) v_A\approx2,47\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} (aprox. 246,6\\ \mathrm{km/s}).

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