( 2,0 pontos) Determine a seguinte propriedade da Transformada de Fourier em tempo discreto
x[n] * h[n] \Leftrightarrow X(\omega) H(\omega) .

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar (determinar) a propriedade
x[n]*h[n] \Leftrightarrow X(\omega)\,H(\omega).
Informações dadas e o que vamos usar (tudo que o enunciado fornece ou pressupõe):
  • Temos duas sequências discretas x[n] e h[n].
  • O operador * significa convolução em tempo discreto.
  • X(\omega) e H(\omega) são as transformadas de Fourier em tempo discreto (DTFT) de x[n] e h[n], respectivamente.
  • A intenção é provar que a DTFT da convolução é o produto das DTFTs, e indicar as hipóteses necessárias para que as manipulações sejam válidas.

Passo 2

Definições essenciais (aula rápida e gentil sobre conceitos usados).
  • Definição da DTFT de uma sequência x[n]: X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}.
Aqui \omega é a frequência angular (variando tipicamente em [-\pi,\pi)), j é a unidade imaginária, e a soma percorre todos os inteiros n.
  • Definição da convolução discreta entre x[n] e h[n]: (x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Isto significa: para cada n fixo, multiplica-se x[k] por h[n-k] e soma-se sobre k.
Observação didática: a convolução “desliza” uma sequência sobre a outra e soma produtos — é a operação que combina respostas ao longo do tempo.

Passo 3

Plano de ataque (sem detalhes técnicos demais): vamos calcular a DTFT da sequência y[n]=(x*h)[n], substituir a definição da convolução, trocar a ordem das somas quando permitido, fazer uma mudança de variável para separar fatores, e identificar os somatórios que são exatamente X(\omega) e H(\omega).

Passo 4

Começamos calculando a DTFT de y[n]=(x*h)[n]. Pela definição da DTFT:
Y(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\,e^{-j\omega n}.
Substituindo y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k] obtemos:
Y(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k]\right)e^{-j\omega n}.

Passo 5

Trocar a ordem das somas e justificar. Supondo condições de convergência suficientes (por exemplo, que x[n] e h[n] são absolutamente somáveis: \sum_{n}|x[n]|<\infty e \sum_{n}|h[n]|<\infty), podemos trocar a ordem de somação:
Y(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] \left(\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n-k]\,e^{-j\omega n}\right).
Comentário didático: a troca de somas é um passo técnico que precisa de hipóteses (como somabilidade absoluta) para ser rigoroso; em prática, para sinais de energia finita ou sequências de suporte finito isto é sempre válido.

Passo 6

Fazer a mudança de variável dentro da soma interna para isolar H(\omega). Defina m=n-k. Quando n percorre todos os inteiros, m também percorre todos os inteiros, logo:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n-k]\,e^{-j\omega n} =\sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]\,e^{-j\omega (m+k)}.
Separando o fator que depende de k:
\sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]\,e^{-j\omega (m+k)} = e^{-j\omega k}\sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]\,e^{-j\omega m}.
Mas a soma à direita é exatamente a DTFT de h[n]:
\sum_{m=-\infty}^{\infty} h[m]\,e^{-j\omega m}=H(\omega).

Passo 7

Voltar à expressão de Y(\omega) e substituir o resultado do passo anterior:
Y(\omega)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\;e^{-j\omega k}\;H(\omega).
Como H(\omega) não depende de k, pode sair da soma:
Y(\omega)=H(\omega)\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,e^{-j\omega k}.
Reconhecemos a soma como X(\omega), a DTFT de x[n]. Logo
Y(\omega)=H(\omega)\,X(\omega).
Comutatividade do produto dá também
Y(\omega)=X(\omega)\,H(\omega).

Passo 8

Interpretação final e observações importantes (didática e prática).
  • Conclusão: a DTFT da convolução temporal é o produto das DTFTs:
(x*h)[n] \\ \xleftrightarrow{\text{DTFT}} \\ X(\omega)\,H(\omega).
  • Hipóteses: para que os passos acima sejam rigorosos, precisamos de condições que assegurem a convergência das somas e permitam trocar a ordem das mesmas. Uma condição suficiente simples é que x[n] e h[n] sejam absolutamente somáveis:
\sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|<\infty \qquad\text{e}\qquad \sum_{n=-\infty}^{\infty} |h[n]|<\infty.
  • Nota prática: em muitos contextos (sinais de duração finita, sistemas LTI estáveis, ou tratamento em distribuição), a propriedade vale também com formulação adequada mesmo quando as somas não são absolutamente convergentes.
  • Exemplo rápido e intuitivo: se x[n]=\delta[n] (impulso), então x*h=h; a DTFT de \delta[n] é 1 então 1\cdot H(\omega)=H(\omega) — confirma o caso trivial da propriedade.

Resposta

(x*h)[n]\\ \Leftrightarrow\\ X(\omega)\,H(\omega),
com a hipótese suficiente de convergência, por exemplo \sum_{n}|x[n]|<\infty e \sum_{n}|h[n]|<\infty.

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