( 2,0 pontos) Determine a seguinte propriedade da Transformada de Fourier em tempo discreto
x[n] * h[n] \Leftrightarrow X(\omega) H(\omega) .
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar (determinar) a propriedade
x[n]*h[n] \Leftrightarrow X(\omega)\,H(\omega).
Informações dadas e o que vamos usar (tudo que o enunciado fornece ou pressupõe):
Temos duas sequências discretas x[n] e h[n].
O operador * significa convolução em tempo discreto.
X(\omega) e H(\omega) são as transformadas de Fourier em tempo discreto (DTFT) de x[n] e h[n], respectivamente.
A intenção é provar que a DTFT da convolução é o produto das DTFTs, e indicar as hipóteses necessárias para que as manipulações sejam válidas.
Passo 2
Definições essenciais (aula rápida e gentil sobre conceitos usados).
Definição da DTFT de uma sequência x[n]: X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\,e^{-j\omega n}.
Aqui \omega é a frequência angular (variando tipicamente em [-\pi,\pi)), j é a unidade imaginária, e a soma percorre todos os inteiros n.
Definição da convolução discreta entre x[n] e h[n]: (x*h)[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]\,h[n-k].
Isto significa: para cada n fixo, multiplica-se x[k] por h[n-k] e soma-se sobre k.
Observação didática: a convolução “desliza” uma sequência sobre a outra e soma produtos — é a operação que combina respostas ao longo do tempo.
Passo 3
Plano de ataque (sem detalhes técnicos demais): vamos calcular a DTFT da sequência y[n]=(x*h)[n], substituir a definição da convolução, trocar a ordem das somas quando permitido, fazer uma mudança de variável para separar fatores, e identificar os somatórios que são exatamente X(\omega) e H(\omega).
Passo 4
Começamos calculando a DTFT de y[n]=(x*h)[n]. Pela definição da DTFT:
Trocar a ordem das somas e justificar. Supondo condições de convergência suficientes (por exemplo, que x[n] e h[n] são absolutamente somáveis: \sum_{n}|x[n]|<\infty e \sum_{n}|h[n]|<\infty), podemos trocar a ordem de somação:
Comentário didático: a troca de somas é um passo técnico que precisa de hipóteses (como somabilidade absoluta) para ser rigoroso; em prática, para sinais de energia finita ou sequências de suporte finito isto é sempre válido.
Passo 6
Fazer a mudança de variável dentro da soma interna para isolar H(\omega). Defina m=n-k. Quando n percorre todos os inteiros, m também percorre todos os inteiros, logo:
Hipóteses: para que os passos acima sejam rigorosos, precisamos de condições que assegurem a convergência das somas e permitam trocar a ordem das mesmas. Uma condição suficiente simples é que x[n] e h[n] sejam absolutamente somáveis:
Nota prática: em muitos contextos (sinais de duração finita, sistemas LTI estáveis, ou tratamento em distribuição), a propriedade vale também com formulação adequada mesmo quando as somas não são absolutamente convergentes.
Exemplo rápido e intuitivo: se x[n]=\delta[n] (impulso), então x*h=h; a DTFT de \delta[n] é 1 então 1\cdot H(\omega)=H(\omega) — confirma o caso trivial da propriedade.