(Cap. 24 - Potencial Elétrico)
Uma esfera não condutora de raio R possui carga uniforme Q .
(a) Tome \mathrm{V}(0)=0 e determine \mathrm{V}(\mathrm{r}) para \mathrm{r}<\mathrm{R} e \mathrm{r}=\mathrm{R}.
(b) Discuta o significado físico da continuidade do potencial na superficie.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Informação 1: Uma esfera não condutora (isto é, carga distribuída no volume) de raio R tem carga total Q distribuída uniformemente por todo o volume.
  • Informação 2: Foi fixada a condição de referência do potencial: \mathrm{V}(0)=0.
  • Pedido (a): Determinar \mathrm{V}(r) para \;r<R e para \;r=R.
  • Pedido (b): Discutir o significado físico da continuidade do potencial na superfície da esfera.
Essas são todas as informações relevantes. A partir daqui vamos calcular passo a passo e explicar cada conceito usado.

Passo 2

Passo inicial: achar a densidade volumétrica de carga \rho (carga por unidade de volume). Como a carga total é Q distribuída uniformemente no volume da esfera de raio R, temos
\rho=\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}.
Explicação didática: \rho é a carga por metro cúbico; o volume de uma esfera é \tfrac{4}{3}\pi R^{3}, então dividimos a carga total pelo volume para obter a densidade.

Passo 3

Obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) dentro da esfera ( r<R) usando a Lei de Gauss. Enunciado da Lei de Gauss (versão usada aqui): para uma superfície gaussiana esférica de raio r,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga contida dentro da esfera de raio r e \epsilon_0 é a permissividade do vácuo. Por simetria esférica, \mathbf{E} é radial e de módulo E(r) constante sobre a superfície esférica, e \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\,4\pi r^{2}.
A carga encerrada para r<R é a densidade vezes o volume da esfera de raio r:
Q_{\text{enc}}=\rho\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} =\frac{Q}{\tfrac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3} =Q\frac{r^{3}}{R^{3}}.
Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q\,r^{3}}{\epsilon_0 R^{3}}.
Isolando E(r) obtemos o módulo do campo dentro da esfera:
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\,r}{R^{3}}\qquad (r<R).
Explicação: isso diz que dentro da esfera o campo cresce linearmente com r (proporcional a r), porque mais carga está sendo englobada conforme crescemos r.
Também vale notar (para uso posterior) o campo fora da esfera ( r\ge R), que pela mesma Lei de Gauss com Q_{\text{enc}}=Q
E(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r^{2}}\qquad (r\ge R),
o que é o campo de uma carga pontual Q localizada no centro — isto é, fora a esfera se comporta como carga concentrada no centro.

Passo 4

Ligar campo elétrico ao potencial elétrico. Definição usada: o potencial elétrico entre dois pontos a e b é
V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Explicação didática: \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} é a componente do campo na direção do deslocamento; o sinal menos indica que o potencial diminui na mesma direção do campo elétrico. Aqui, por simetria esférica, escolhemos trajetórias radiais, então \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=E(r')\,dr' se vamos do centro para fora.
Como no enunciado foi dado V(0)=0, para r<R podemos escrever diretamente
V(r)-V(0)=-\int_{0}^{r} E(r')\,dr'
com E(r') dado no Passo 3.

Passo 5

Calcular \mathrm{V}(r) para r<R fazendo a integral passo a passo.
Substituindo E(r')=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q\,r'}{R^{3}} na integral:
V(r)-0=-\int_{0}^{r}\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q\,r'}{R^{3}}\,dr'.
Fatorando constantes:
V(r)=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^{3}}\int_{0}^{r} r'\,dr'.
Calcule a integral simples \int_{0}^{r} r'\,dr'=\dfrac{r^{2}}{2}. Assim:
V(r)=-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^{3}}\cdot \frac{r^{2}}{2} =-\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\epsilon_0 R^{3}}\qquad (r<R).
Comentário didático: note que, com a condição V(0)=0, o potencial dentro é negativo para Q>0; isso decorre da convenção de sinal do potencial e do fato de que ao sair do centro seguindo o campo (que aponta para fora) o potencial diminui.

Passo 6

Calcular \mathrm{V}(R) substituindo r=R na expressão obtida:
V(R)=-\frac{Q\,R^{2}}{8\pi\epsilon_0 R^{3}}=-\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R}.

Passo 7

Verificação da continuidade do potencial na superfície e comentário físico. Vamos mostrar explicitamente que o valor de V calculado ao aproximar-se da superfície pelo interior coincide com o valor obtido ao aproximar-se pela região externa.
Para r>R podemos escrever (usando a mesma definição de potencial e dividindo a integral em duas partes: de 0 a R e de R a r)
V(r)=-\int_{0}^{R}E_{\text{in}}(r')\,dr' -\int_{R}^{r}E_{\text{out}}(r')\,dr'.
Já calculámos a primeira integral e ela vale -\dfrac{Q}{8\pi\epsilon_0 R}. A segunda integral com E_{\text{out}}(r')=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r'^{2}}
-\int_{R}^{r}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r'^{2}}\,dr' =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\bigg(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}\bigg).
Somando as duas partes:
V(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}-\frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R}\qquad (r\ge R).
Agora, fazendo r\to R^{+} obtemos
V(R^{+})=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R}-\frac{3Q}{8\pi\epsilon_0 R}=-\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R}=V(R^{-}),
ou seja, o potencial à direita e à esquerda da superfície coincidem; o potencial é contínuo na superfície.
Significado físico (explicação em linguagem simples e motivadora): a continuidade do potencial na superfície significa que não há salto finito no valor do potencial ao atravessar a superfície — se você deslocasse uma carga teste por um trajeto infinitesimal que cruza a superfície, o trabalho por unidade de carga (a diferença de potencial) seria zero no limite de deslocamento infinitesimal. Mesmo quando existe uma densidade de carga localizada numa superfície (caso de uma folha infinitamente fina com carga \sigma), o campo normal \mathbf{E} pode ter um salto (discontinuidade na derivada do potencial), mas o potencial em si permanece contínuo. Em termos físicos, descontinuidades no potencial só ocorreriam em casos patológicos (por exemplo, potenciais com singularidades de ponto onde o potencial diverge); para distribuições de carga físicas e funções energia finitas, o potencial é contínuo em pontos finitos.
Dica de prova: se \mathbf{E} tivesse um salto finito atravessando uma superfície infinitamente fina de espessura nula, o integral -\int E\cdot dl sobre um caminho de comprimento zero também seria zero, então o potencial não pula. Já a derivada normal do potencial sofre salto proporcional à densidade superficial de carga \sigma: E_{\perp}^{\text{out}}-E_{\perp}^{\text{in}}=\sigma/\epsilon_0.

Resposta

\mathrm{V}(r)=-\frac{Q\,r^{2}}{8\pi\epsilon_0 R^{3}}\quad (r<R)
\mathrm{V}(R)=-\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 R}

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