(Cap. 22 - Lei de Gauss)
Uma casca esférica condutora tem raio a e carga +Q, e uma segunda casca concêntrica de raio b ( > a) tem carga -Q .
(a) Determine \mathrm{E}(\mathrm{r}) em todas as regiões ( \mathrm{r}<\mathrm{a} ; \mathrm{a}<\mathrm{r}<\mathrm{b} ; \mathrm{r}> b).
(b) Explique fisicamente por que o campo no interior do condutor é nulo e onde as cargas se localizam.

Passo 1

O enunciado dá duas cascas esféricas concêntricas e pede duas coisas. Dados e perguntas listados claramente:
  • Dados:
    Uma casca esférica condutora de raio a que tem carga total +Q. \n
    Uma segunda casca esférica concêntrica de raio )b (com )b>a )) que tem carga total -Q. \n
    Não há outras cargas no espaço entre ou no interior além dessas duas cascas.
  • Perguntas:
    (a) Determinar o campo elétrico para as três regiões: r<a ; a<r<b ; r>b . \n
    (b) Explicar fisicamente por que o campo no interior do condutor é nulo e onde as cargas se localizam.
A partir daqui começamos a resolução passo a passo.

Passo 2

Simetria e escolha da superfície de Gauss — a ideia central que usamos. Explicação didática:
As cascas são esféricas e concêntricas, então a configuração é completamente esfericamente simétrica: o campo elétrico deve apontar radialmente e depender apenas da distância radial r ao centro. \n
Quando há simetria esférica, a melhor superfície de Gauss é uma esfera centrada no mesmo centro, de raio r. Nessa superfície o campo tem módulo constante E(r) e é perpendicular à superfície em todos os pontos, o que simplifica muito o cálculo do fluxo. \n
Lembra da Lei de Gauss na forma integral para eletrostática:
\oint_{\text{superf}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{int} é a carga total contida dentro da superfície fechada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. \n
Para a esfera gaussiana de raio r, como \mathbf{E} é radial e constante na superfície, o fluxo fica
E(r)\cdot 4\pi r^2=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
Logo a fórmula útil que vamos usar é
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{4\pi\varepsilon_0\,r^2},
com direção radial (para fora se Q_{\text{int}}>0, para dentro se Q_{\text{int}}<0). \n
Explicando variáveis: é o módulo do campo na distância r ; Q_{int} é a carga total dentro da esfera de raio r ; \varepsilon_0 é uma constante (permissividade do vácuo).

Passo 3

Região r<a : que carga fica dentro da esfera gaussiana?
Se escolhemos uma esfera de raio r<a , ela está inteiramente no interior da casca condutora de raio a . Não há nenhuma carga localizada no interior vazio (nenhuma carga pontual no centro foi dada). Portanto
Q_{\text{int}}=0 \quad\text{para } r<a.
Substituindo na fórmula de Gauss:
E(r)=\frac{0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=0.
Conclusão técnica para essa região: o campo elétrico é nulo ( E®=0 ) para todo r<a . \n
Dica física curta: se não existe carga dentro da esfera gaussiana e a geometria é simétrica, não há fluxo saindo e o campo deve ser zero.

Passo 4

Região a<r<b : o que está dentro da esfera gaussiana?
Agora a esfera de raio r envolve a casca interior de raio a , portanto ela engloba a carga +Q que pertence à casca interna. A casca externa (de raio b ) fica fora dessa superfície. Assim
Q_{\text{int}}=+Q \quad\text{para } a<r<b.
Aplicando a fórmula de Gauss:
E(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2},\quad\text{direção: radial para fora}.çã
Explicação intuitiva: para um observador entre as duas cascas, a única carga vista pela superfície é +Q no raio a, por isso o campo corresponde ao de uma carga puntiforme +Q concentrada no centro (efeito graças à simetria esférica).

Passo 5

Região r>b : que carga total está dentro da esfera gaussiana?
Uma esfera de raio r>b envolve as duas cascas. A carga total dentro é a soma das cargas das duas cascas:
Q_{\text{int}}=+Q + (-Q)=0.
Pela Lei de Gauss:
E(r)=\frac{0}{4\pi\varepsilon_0 r^2}=0\quad\text{para } r>b.
Interpretando: muito longe das cascas, as cargas opostas se cancelam e não há campo resultante.

Passo 6

Onde as cargas se localizam — explicação passo a passo e física intuitiva.
Propriedade fundamental de condutores em equilíbrio eletrostático: cargas elétricas livres (elétrons) se movem até que o campo elétrico dentro do material condutor seja zero. Se houvesse campo no interior do metal, as cargas livres sentiríam força e se moveriam, o que contradiz o estado de equilíbrio. Portanto, em equilíbrio eletrostático o campo no volume do condutor é nulo. \n
Consequência prática: toda carga excessiva em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies externas do condutor (eventualmente distribuída entre superfícies internas e externas se houver cavidades contendo cargas). No nosso caso simples de cascas concêntricas:
  • A casca interna (raio a ) tem carga +Q. Em um condutor isolado sem cavidade interna com cargas, essa carga irá aparecer na superfície externa da casca interna (i.e., na face que olha para fora, no raio a ). \n
  • A casca externa tem carga total -Q. Para que o campo dentro do material desse segundo condutor seja zero, a face interna da casca externa (a superfície voltada para o interior do metal, que está efetivamente em raio b ) deve portar carga -Q que cancela o efeito do +Q no espaço entre as cascas. Assim a carga na superfície externa da casca externa fica nula (pois -Q na face interna já soma o total -Q). \n
    Resumo da distribuição de cargas (forma simples): +Q na superfície externa da casca de raio a ; -Q na superfície interna da casca de raio b ; carga na superfície exterior da casca de raio b é zero.

Passo 7

Relação com os resultados de campo e reforço didático — por que tudo bate certinho.
Entre as cascas ( a<r<b) o campo é como se todo o +Q estivesse concentrado no centro: isso é coerente porque, na região entre, a casca externa contribui com nenhuma carga efetiva dentro da superfície gaussiana e a casca interna age como uma carga central. \n
Dentro dos metais (na espessura do condutor) o campo é zero: isso exige que a casca externa carregue exatamente -Q na sua face interna para anular o campo produzido por +Q dentro do metal. \n
Esse arranjo também explica o escudo eletrostático: para r<b fora da casca externa o campo é zero — logo o par de cascas forma uma configuração que não produz campo externo.

Resposta

(a) E(r)=0 para r<a.\n
(a) E(r)=\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,r^2} (radial para fora) para a<r<b.\n
(a) E(r)=0 para r>b.\n
(b) O campo no interior do material do condutor é nulo porque, em equilíbrio eletrostático, cargas livres se movem até que não haja força elétrica dentro do metal; isso só ocorre com \mathbf{E}=0. As cargas se localizam nas superfícies: +Q fica na superfície externa da casca de raio a e a casca externa adquire -Q na sua superfície interna (a superfície externa desta casca fica com carga zero).

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