(Cap. 22 - Lei de Gauss)
Uma casca esférica condutora tem raio a e carga
, e uma segunda casca concêntrica de raio b (
a) tem carga -Q .
(a) Determine
em todas as regiões (
b).
(b) Explique fisicamente por que o campo no interior do condutor é nulo e onde as cargas se localizam.
(a) Determine
(b) Explique fisicamente por que o campo no interior do condutor é nulo e onde as cargas se localizam.
Passo 1
O enunciado dá duas cascas esféricas concêntricas e pede duas coisas. Dados e perguntas listados claramente:
-
Dados:
Uma casca esférica condutora de raio a que tem carga total . \n
Uma segunda casca esférica concêntrica de raio )b (com b>a ) que tem carga total . \n
Não há outras cargas no espaço entre ou no interior além dessas duas cascas. -
Perguntas:
(a) Determinar o campo elétrico E® para as três regiões: r<a ; a<r<b ; r>b . \n
(b) Explicar fisicamente por que o campo no interior do condutor é nulo e onde as cargas se localizam.
A partir daqui começamos a resolução passo a passo.
Passo 2
Simetria e escolha da superfície de Gauss — a ideia central que usamos. Explicação didática:
As cascas são esféricas e concêntricas, então a configuração é completamente esfericamente simétrica: o campo elétrico deve apontar radialmente e depender apenas da distância radial
ao centro. \n
Quando há simetria esférica, a melhor superfície de Gauss é uma esfera centrada no mesmo centro, de raio
. Nessa superfície o campo tem módulo constante
e é perpendicular à superfície em todos os pontos, o que simplifica muito o cálculo do fluxo. \n
Lembra da Lei de Gauss na forma integral para eletrostática:
onde
Q_{int}
é a carga total contida dentro da superfície fechada e
\varepsilon_0
é a permissividade do vácuo. \n
Para a esfera gaussiana de raio
, como
é radial e constante na superfície, o fluxo fica
Logo a fórmula útil que vamos usar é
com direção radial (para fora se
, para dentro se
). \n
Explicando variáveis: E®
é o módulo do campo na distância
r
;
Q_{int}
é a carga total dentro da esfera de raio
r
;
\varepsilon_0
é uma constante (permissividade do vácuo).
Explicando variáveis:
Passo 3
Região
r<a
: que carga fica dentro da esfera gaussiana?
Se escolhemos uma esfera de raio
r<a
, ela está inteiramente no interior da casca condutora de raio
a
. Não há nenhuma carga localizada no interior vazio (nenhuma carga pontual no centro foi dada). Portanto
Dica física curta: se não existe carga dentro da esfera gaussiana e a geometria é simétrica, não há fluxo saindo e o campo deve ser zero.
Passo 4
Região
a<r<b
: o que está dentro da esfera gaussiana?
Agora a esfera de raio
r
envolve a casca interior de raio
a
, portanto ela engloba a carga
que pertence à casca interna. A casca externa (de raio
b
) fica fora dessa superfície. Assim
Passo 5
Região
r>b
: que carga total está dentro da esfera gaussiana?
Uma esfera de raio
r>b
envolve as duas cascas. A carga total dentro é a soma das cargas das duas cascas:
Passo 6
Onde as cargas se localizam — explicação passo a passo e física intuitiva.
Propriedade fundamental de condutores em equilíbrio eletrostático: cargas elétricas livres (elétrons) se movem até que o campo elétrico dentro do material condutor seja zero. Se houvesse campo no interior do metal, as cargas livres sentiríam força e se moveriam, o que contradiz o estado de equilíbrio. Portanto, em equilíbrio eletrostático o campo no volume do condutor é nulo. \n
Consequência prática: toda carga excessiva em um condutor em equilíbrio reside nas superfícies externas do condutor (eventualmente distribuída entre superfícies internas e externas se houver cavidades contendo cargas). No nosso caso simples de cascas concêntricas:
- A casca interna (raio
a ) tem carga . Em um condutor isolado sem cavidade interna com cargas, essa carga irá aparecer na superfície externa da casca interna (i.e., na face que olha para fora, no raio a ). \n - A casca externa tem carga total
. Para que o campo dentro do material desse segundo condutor seja zero, a face interna da casca externa (a superfície voltada para o interior do metal, que está efetivamente em raio b ) deve portar carga que cancela o efeito do no espaço entre as cascas. Assim a carga na superfície externa da casca externa fica nula (pois na face interna já soma o total ). \n
Resumo da distribuição de cargas (forma simples): +Q na superfície externa da casca de raio a ; -Q na superfície interna da casca de raio b ; carga na superfície exterior da casca de raio b é zero.
Passo 7
Relação com os resultados de campo e reforço didático — por que tudo bate certinho.
Entre as cascas (
) o campo é como se todo o
estivesse concentrado no centro: isso é coerente porque, na região entre, a casca externa contribui com nenhuma carga efetiva dentro da superfície gaussiana e a casca interna age como uma carga central. \n
Dentro dos metais (na espessura do condutor) o campo é zero: isso exige que a casca externa carregue exatamente
na sua face interna para anular o campo produzido por
dentro do metal. \n
Esse arranjo também explica o escudo eletrostático: para
fora da casca externa o campo é zero — logo o par de cascas forma uma configuração que não produz campo externo.
Resposta
(a)
para
\n
(a) (radial para fora) para
\n
(a) para
\n
(b) O campo no interior do material do condutor é nulo porque, em equilíbrio eletrostático, cargas livres se movem até que não haja força elétrica dentro do metal; isso só ocorre com . As cargas se localizam nas superfícies:
fica na superfície externa da casca de raio
e a casca externa adquire
na sua superfície interna (a superfície externa desta casca fica com carga zero).
(a)
(a)
(b) O campo no interior do material do condutor é nulo porque, em equilíbrio eletrostático, cargas livres se movem até que não haja força elétrica dentro do metal; isso só ocorre com