A capacidade calorifica a pressão constante \left(\mathrm{C}_{p}\right) do gis cloro \left(\mathrm{Cl}_{2}\right) é dada pela expressão: 153.2 \mathrm{~m}^{3} desde 100^{\circ} \mathrm{C} e I atm até 200^{\circ} \mathrm{C}.
C_{p}\left[J\left(m o l,{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\right]=33,6 \times 0,0137 T
Em que T é a temperatura, \mathrm{em}{ }^{\circ} \mathrm{C}. Admitindo comportamento de gás ideal, calcule o calor requerido, em kJ, para elevar a temperatura do \mathrm{Cl}_{2} gasoso em um vaso rigido fechado de 153.2 \mathrm{~m}^{3} desde 100^{\circ} \mathrm{C} e I atm até 200^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados do enunciado (peguei estes valores do enunciado):
    • Volume do vaso: V=153{,}2\\ \mathrm{m^{3}}.
    • Pressão inicial (e constante, vaso fechado): P=1\\ \text{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
    • Temperatura inicial: T_{1}=100^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: T_{2}=200^\circ\mathrm{C}.
    • Capacidade calorífica a pressão constante fornecida (interpreto a expressão como soma; veja observação abaixo): C_{p}(T)=33{,}6+0{,}0137\,T\quad\left[\mathrm{J\,(mol^{-1}\,^\circ C^{-1})}\right],em que T está em ^\circ\mathrm{C}.
  • O que o problema pede:
    • Calcular o calor requerido Q, em \mathrm{kJ}, para elevar a temperatura do gás \mathrm{Cl}_{2} no vaso rígido fechado de T_{1} até T_{2}, assumindo comportamento de gás ideal.
Observação importante sobre a expressão de C_{p}: a expressão no enunciado veio como algo do tipo 33{,}6\times0{,}0137\,T que é ambíguo. A interpretação fisicamente razoável e comum para capacidades dependendo de T é uma soma do tipo C_{p}(T)=33{,}6+0{,}0137\,T. Vou adotar essa forma. Se a intenção fosse produto, o resultado mudaria muito; neste caso a forma aditiva é a que faz sentido físico (constante + termo linear em T).

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
  • Como o vaso é rígido, o volume não muda: o processo é a volume constante. Em processo de volume constante o calor trocado é:
    Q = n\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}(T)\,dT,
    em que n é o número de mols e C_{V}(T) é a capacidade molar a volume constante.
  • Relação entre C_{p} e C_{V} para gás ideal:
    C_{p}(T)-C_{V}(T)=R,
    em que R é a constante universal dos gases, R\approx 8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}. Observação: as unidades de graus Celsius e Kelvin têm mesma diferença, então usar T em ^\circ\mathrm{C} ou K dentro de um diferencial \Delta T é equivalente (ex.: \Delta T = T_2 - T_1 em ^\circ\mathrm{C} tem o mesmo valor numérico que em K).
  • Logo:
    C_{V}(T)=C_{p}(T)-R.
  • Precisamos também de n. Como o gás é ideal o número de mols é dado por:
    n=\frac{P\,V}{R\,T_{\text{abs}}},
    em que T_{\text{abs}} é a temperatura absoluta (em Kelvin) no estado em que aplicamos a equação. Como o gás está inicialmente à pressão indicada e o volume é fixo, podemos calcular n usando o estado inicial com T_{1} convertido para Kelvin:
    T_{1,\mathrm{K}}=T_{1}+273{,}15.

Passo 3

Converter temperaturas para Kelvin e listar constantes numéricas.
  • Converter T_{1} e T_{2} para Kelvin (apenas para calcular n; as integrais em \Delta T podem ser feitas em ^\circ\mathrm{C} porque a diferença é a mesma): T_{1,\mathrm{K}}=100+273{,}15=373{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_{2,\mathrm{K}}=200+273{,}15=473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.

Passo 4

Calcular o número de mols n usando o estado inicial (usei P e V fornecidos).
  • Primeiro calcule P\,V: P\,V = \left(1{,}01325\times10^{5}\right)\cdot\left(153{,}2\right) =15\,522\,990\\ \mathrm{Pa\cdot m^{3}}.
  • Agora n=\frac{P\,V}{R\,T_{1,\mathrm{K}}} =\frac{15\,522\,990}{8{,}314\cdot373{,}15}.
  • Calcule o denominador: 8{,}314\cdot373{,}15\approx3\,102{,}37.
  • Logo n\approx\frac{15\,522\,990}{3\,102{,}37}\approx5\,004{,}5\\ \text{mol}.(arredondei para uma casa decimal; se usar a constante R com mais casas dá n\approx5\,003{,}3\\ \text{mol}. A ordem de grandeza é 5{,}0\times10^{3}\\ \text{mol}.)

Passo 5

Obter C_{V}(T) a partir de C_{p}(T).
  • A capacidade a pressão constante foi tomada como C_{p}(T)=33{,}6+0{,}0137\,T\quad\left[\mathrm{J\;mol^{-1}\;^\circ C^{-1}}\right].
  • Subtraindo R (a mesma unidade), obtemos C_{V}(T)=C_{p}(T)-R=(33{,}6-8{,}314)+0{,}0137\,T.
  • Calcule o termo constante: 33{,}6-8{,}314=25{,}286.
  • Portanto C_{V}(T)=25{,}286+0{,}0137\,T\quad\left[\mathrm{J\;mol^{-1}\;^\circ C^{-1}}\right].
Explicação curta: C_{V}(T) nos diz quantos joules por mol e por grau (°C) são necessários para aumentar a temperatura a volume constante quando T muda; aqui tem um termo constante e um termo linear em T.

Passo 6

Calcular o calor por mol q_{\text{mol}}=\int_{T_{1}}^{T_{2}} C_{V}(T)\,dT.
  • Escrever a integral: q_{\text{mol}}=\int_{T_{1}}^{T_{2}}\bigl(25{,}286+0{,}0137\,T\bigr)\,dT.
  • Integrando termo a termo (fórmula: \int (a + bT)\,dT = a(T_2-T_1)+\tfrac{b}{2}(T_2^{2}-T_1^{2})): q_{\text{mol}}=25{,}286\,(T_{2}-T_{1})+\frac{0{,}0137}{2}\left(T_{2}^{2}-T_{1}^{2}\right).
  • Substituir T_{1}=100 e T_{2}=200 (em ^\circ\mathrm{C}; aqui é seguro usar °C): T_{2}-T_{1}=100, \qquad T_{2}^{2}-T_{1}^{2}=200^{2}-100^{2}=40\,000-10\,000=30\,000.
  • Calcular os termos: 25{,}286\cdot100=2\,528{,}6\\ \mathrm{J\;mol^{-1}},
\frac{0{,}0137}{2}\cdot30\,000=0{,}00685\cdot30\,000=205{,}5\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
  • Somando: q_{\text{mol}}=2\,528{,}6+205{,}5=2\,734{,}1\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Interpretação: cada mol de \mathrm{Cl}_2 precisa de cerca de 2{,}734{,}1\\ \mathrm{kJ} para aquecer de 100^\circ\mathrm{C} para 200^\circ\mathrm{C} a volume constante.

Passo 7

Calcular o calor total Q multiplicando pelo número de mols n e converter para \mathrm{kJ}.
  • Produto: Q=n\cdot q_{\text{mol}}\approx5\,004{,}5\cdot2\,734{,}1\\ \mathrm{J}.
  • Calcule: Q\approx13\,682\,803\\ \mathrm{J}.
  • Converter para \mathrm{kJ} dividindo por 1000: Q\approx13\,682{,}8\\ \mathrm{kJ}.
Arredondando a uma quantidade razoável de algarismos significativos (dado que P, V e os coeficientes têm poucas casas), podemos apresentar Q\approx13\,683\\ \mathrm{kJ} ou, em notação científica, Q\approx1{,}37\times10^{4}\\ \mathrm{kJ}.

Resposta

Q\approx13\,682{,}8\\ \mathrm{kJ}

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