A capacidade calorifica a pressão constante
do gis cloro
é dada pela expressão:
desde
e I atm até
.
Em que T é a temperatura,
. Admitindo comportamento de gás ideal, calcule o calor requerido, em kJ, para elevar a temperatura do
gasoso em um vaso rigido fechado de
desde
e I atm até
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados do enunciado (peguei estes valores do enunciado):
- Volume do vaso:
. - Pressão inicial (e constante, vaso fechado):
. - Temperatura inicial:
. - Temperatura final:
. - Capacidade calorífica a pressão constante fornecida (interpreto a expressão como soma; veja observação abaixo):
em que está em .
- Volume do vaso:
-
O que o problema pede:
- Calcular o calor requerido
, em , para elevar a temperatura do gás no vaso rígido fechado de até , assumindo comportamento de gás ideal.
- Calcular o calor requerido
Observação importante sobre a expressão de
: a expressão no enunciado veio como algo do tipo
que é ambíguo. A interpretação fisicamente razoável e comum para capacidades dependendo de
é uma soma do tipo
. Vou adotar essa forma. Se a intenção fosse produto, o resultado mudaria muito; neste caso a forma aditiva é a que faz sentido físico (constante + termo linear em
).
Passo 2
Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicação didática).
-
Como o vaso é rígido, o volume não muda: o processo é a volume constante. Em processo de volume constante o calor trocado é:em que
é o número de mols e é a capacidade molar a volume constante. -
Relação entre
e para gás ideal: em queé a constante universal dos gases, . Observação: as unidades de graus Celsius e Kelvin têm mesma diferença, então usar em ou dentro de um diferencial é equivalente (ex.: em tem o mesmo valor numérico que em ). -
Logo:
-
Precisamos também de
. Como o gás é ideal o número de mols é dado por: em queé a temperatura absoluta (em Kelvin) no estado em que aplicamos a equação. Como o gás está inicialmente à pressão indicada e o volume é fixo, podemos calcular usando o estado inicial com convertido para Kelvin:
Passo 3
Converter temperaturas para Kelvin e listar constantes numéricas.
- Converter
e para Kelvin (apenas para calcular ; as integrais em podem ser feitas em porque a diferença é a mesma): - Constante dos gases:
Passo 4
Calcular o número de mols
usando o estado inicial (usei
e
fornecidos).
- Primeiro calcule
: - Agora
- Calcule o denominador:
- Logo
(arredondei para uma casa decimal; se usar a constante com mais casas dá . A ordem de grandeza é .)
Passo 5
Obter
a partir de
.
- A capacidade a pressão constante foi tomada como
- Subtraindo
(a mesma unidade), obtemos - Calcule o termo constante:
- Portanto
Explicação curta:
nos diz quantos joules por mol e por grau (°C) são necessários para aumentar a temperatura a volume constante quando
muda; aqui tem um termo constante e um termo linear em
.
Passo 6
Calcular o calor por mol
.
- Escrever a integral:
- Integrando termo a termo (fórmula:
): - Substituir
e (em ; aqui é seguro usar °C): - Calcular os termos:
- Somando:
Interpretação: cada mol de
precisa de cerca de
para aquecer de
para
a volume constante.
Passo 7
Calcular o calor total
multiplicando pelo número de mols
e converter para
.
- Produto:
- Calcule:
- Converter para
dividindo por :
Arredondando a uma quantidade razoável de algarismos significativos (dado que
,
e os coeficientes têm poucas casas), podemos apresentar
ou, em notação científica,
.