Um capacitor de 20,0 mu F é carregado por uma bateria de 150,0 V. Ele é então conectado através de uma chave, inicialmente aberta, a um capacitor de 10,0 mu F descarregado. A chave é então fechada, permitindo que os capacitores atinjam o equilíbrio eletrostático. Que resistência deve ser conectada em série com os capacitores para que a energia total armazenada nos capacitores seja (i) o dobro da energia e (ii) metade da energia?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois capacitores: um de 20,0 mu F carregado com uma bateria de 150,0 V e outro de 10,0 mu F inicialmente descarregado. Quando fechamos a chave, os capacitores se conectam através de uma resistência desconhecida. Precisamos descobrir qual resistência deve ser adicionada para que a energia total armazenada nos capacitores seja (i) o dobro da energia inicial e (ii) metade da energia inicial.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de capacitores em série, conservação de carga, energia armazenada em capacitores e a influência da resistência no processo de carregamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga inicial no capacitor de 20,0 mu F. A carga ( Q) armazenada em um capacitor é dada por:
Q = C times V
Onde:
  • C é a capacitância
  • V é a voltagem
Então,
Qinicial = 20,0 times 10^-6 , F times 150,0 , V = 3,0 times 10^-3 , C

Passo 3

Quando os dois capacitores são conectados em paralelo através da resistência, a carga se redistribui entre eles até atingir o equilíbrio eletrostático, ou seja, a mesma voltagem em ambos.
A capacitância total em paralelo é:
Ctotal = C1 + C2 = 20,0 times 10^-6 , F + 10,0 times 10^-6 , F = 30,0 times 10^-6 , F

Passo 4

A voltagem final ( Vf) após a redistribuição de carga será:
Vf = QinicialCtotal = 3,0 times 10^-3 , C30,0 times 10^-6 , F = 100,0 , V

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia armazenada nos capacitores após a redistribuição de carga. A energia ( U) armazenada em um capacitor é dada por:
U = 12 C V^2
Para os dois capacitores juntos:
Utotal = 12 times 30,0 times 10^-6 , F times (100,0 , V)^2 = 0,15 , J

Passo 6

A energia inicial armazenada apenas no capacitor de 20,0 mu F era:
Uinicial = 12 times 20,0 times 10^-6 , F times (150,0 , V)^2 = 0,225 , J

Passo 7

Observamos que após a redistribuição, a energia total armazenada nos capacitores diminuiu de 0,225 , J para 0,15 , J. Essa perda de energia ocorre devido ao aquecimento na resistência durante o processo de redistribuição de carga.
Para que a energia total armazenada seja (i) o dobro ou (ii) metade da energia inicial, precisaríamos manipular a energia dissipada pela resistência.
No entanto, aumentando a resistência, a taxa de transferência de carga diminui, o que resulta em uma distribuição de energia diferente. Para dobrar a energia armazenada, seria necessário adicionar energia ao sistema, o que não é possível apenas com a redistribuição de carga. Já para reduzir a energia pela metade, a resistência deve ser ajustada para maximizar a dissipação de energia.

Resposta

Para que a energia total armazenada nos capacitores seja metade da energia inicial ( 0,1125 , J), é necessário projetar o circuito de forma que a resistência permita uma dissipação adequada de energia durante a redistribuição de carga. No entanto, dobrar a energia armazenada não é possível apenas ajustando a resistência, já que a resistência tende a dissipar energia e não a aumentá-la.

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