Um capacitor esférico, com a=1,5 \mathrm{~cm} e b=4 \mathrm{~cm}, tem um dielétrico não homogêneo de \varepsilon=10 \varepsilon / r. Determine a capacitância do capacitor.
Resposta: (a) 1,13 \mathrm{nF}.

Passo 1

O enunciado dá um capacitor esférico com raios internos e externos e um dielétrico radialmente não homogêneo. Especificamente:
  • Raio interno: a=1,5\\ \mathrm{cm}.
  • Raio externo: b=4\\ \mathrm{cm}.
  • Permissividade do dielétrico dependente de r: \varepsilon(r)=10\,\varepsilon_0 / r. (Vou entender \varepsilon_0 como a permissividade do vácuo).
    O que o problema pede:
  • Determinar a capacitância C do capacitor esférico com esse dielétrico.

Passo 2

Simetria e campo elétrico: por simetria esférica, o campo elétrico (e o campo de deslocamento) são radiais dependentes só de r. Use a forma integral da Lei de Gauss para o campo de deslocamento \mathbf{D}:
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre, içlado}}.ç
Para uma superfície esférica de raio r que envolve a carga Q do condutor interno, temos \mathbf{D}=D_r(r)\,\hat r e d\mathbf{A}=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi\,\hat r. A integral dá
D_r(r)\,4\pi r^2=Q.
Logo, o campo de deslocamento radial é
D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}.
Explicação didática rápida: \mathbf{D} incorpora a resposta do material; quando aplicamos Gauss sobre a superfície esférica, o fluxo de \mathbf{D} pelas faces dá simplesmente a carga livre total Q dividida pela área 4\pi r^2.

Passo 3

Relação entre \mathbf{D} e \mathbf{E}: em meios lineares locais temos \mathbf{D}=\varepsilon(r)\,\mathbf{E}. Assim,
E_r(r)=\frac{D_r(r)}{\varepsilon(r)}.
Substituindo D_r(r)=\dfrac{Q}{4\pi r^2} e \varepsilon(r)=\dfrac{10\,\varepsilon_0}{r}, obtemos
E_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}\cdot\frac{r}{10\,\varepsilon_0}=\frac{Q}{40\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}.
Observação didática: note que a dependência 1/r^2 de D_r combinada com \varepsilon(r)\propto 1/r produz E_r\propto 1/r. Isso simplifica muito a integração para a diferença de potencial.

Passo 4

Diferença de potencial entre as armaduras: a diferença de potencial entre o condutor interno (raio a) e o condutor externo (raio b) é a integral radial do campo E_r:
V=\int_{a}^{b} E_r(r)\,dr.
Substituindo E_r(r)=\dfrac{Q}{40\pi\varepsilon_0}\cdot\dfrac{1}{r}, temos
V=\frac{Q}{40\pi\varepsilon_0}\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr.
A integral \int_{a}^{b}\dfrac{1}{r}\,dr é a função logaritmo natural:
\int_{a}^{b}\frac{1}{r}\,dr=\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Portanto
V=\frac{Q}{40\pi\varepsilon_0}\,\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).

Passo 5

Capacitância: por definição C=Q/V. Invertendo a expressão para V obtemos
C=\frac{Q}{V}=\frac{40\pi\varepsilon_0}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Esta é a fórmula geral para o caso dado do dielétrico \varepsilon(r)=10\varepsilon_0/r. Observação didática: compare com o capacitor esférico homogêneo (onde C=4\pi\varepsilon_0/(1/a-1/b)); aqui a não homogeneidade altera a forma da expressão e aparece um logaritmo.

Passo 6

Substituição numérica: primeiro convertemos as unidades para o SI.
a=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m},\qquad b=4\\ \mathrm{cm}=0,04\\ \mathrm{m}.
Constante \varepsilon_0=8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Calcule o argumento do logaritmo:
\ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=\ln\!\left(\frac{0,04}{0,015}\right)=\ln(2,\overline{6})\approx 0,981.
Calcule o numerador:
40\pi\varepsilon_0=40\pi\cdot 8,854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\approx 1,11265\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.

Passo 7

Dividindo numerador pelo logaritmo:
C=\frac{1,11265\times10^{-9}}{0,981}\\ \mathrm{F}\approx 1,1339\times10^{-9}\\ \mathrm{F}.
Arredondando com 3 algarismos significativos e convertendo para nanofarads:
C\approx 1,13\\ \mathrm{nF}.
Força motivacional rápida: você chegou até aqui! A técnica foi usar Gauss para D, relacionar com E usando \varepsilon(r) e integrar E radialmente — é uma receita que vale para muitos problemas com simetria.

Resposta

1,13\\ \mathrm{nF}

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