Um capacitor esférico, com
e
, tem um dielétrico não homogêneo de
. Determine a capacitância do capacitor.
Resposta: (a)
.
Passo 1
O enunciado dá um capacitor esférico com raios internos e externos e um dielétrico radialmente não homogêneo. Especificamente:
- Raio interno:
. - Raio externo:
. - Permissividade do dielétrico dependente de
: . (Vou entender como a permissividade do vácuo).
O que o problema pede: - Determinar a capacitância
do capacitor esférico com esse dielétrico.
Passo 2
Simetria e campo elétrico: por simetria esférica, o campo elétrico (e o campo de deslocamento) são radiais dependentes só de
. Use a forma integral da Lei de Gauss para o campo de deslocamento
:
Para uma superfície esférica de raio
que envolve a carga
do condutor interno, temos
e
. A integral dá
Logo, o campo de deslocamento radial é
Explicação didática rápida:
incorpora a resposta do material; quando aplicamos Gauss sobre a superfície esférica, o fluxo de
pelas faces dá simplesmente a carga livre total
dividida pela área
.
Passo 3
Relação entre
e
: em meios lineares locais temos
. Assim,
Substituindo
e
, obtemos
Observação didática: note que a dependência
de
combinada com
produz
. Isso simplifica muito a integração para a diferença de potencial.
Passo 4
Diferença de potencial entre as armaduras: a diferença de potencial entre o condutor interno (raio
) e o condutor externo (raio
) é a integral radial do campo
:
Substituindo
, temos
A integral
é a função logaritmo natural:
Portanto
Passo 5
Capacitância: por definição
. Invertendo a expressão para
obtemos
Esta é a fórmula geral para o caso dado do dielétrico
. Observação didática: compare com o capacitor esférico homogêneo (onde
); aqui a não homogeneidade altera a forma da expressão e aparece um logaritmo.
Passo 6
Substituição numérica: primeiro convertemos as unidades para o SI.
Constante
.
Calcule o argumento do logaritmo:
Calcule o argumento do logaritmo:
Calcule o numerador:
Passo 7
Dividindo numerador pelo logaritmo:
Arredondando com 3 algarismos significativos e convertendo para nanofarads:
Força motivacional rápida: você chegou até aqui! A técnica foi usar Gauss para
, relacionar com
usando
e integrar
radialmente — é uma receita que vale para muitos problemas com simetria.