Se a integral
for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícu* la de
até
, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
sobre uma partícula que se desloca de
até
ao longo:
(b) Da linha reta entre
até
(b) Da linha reta entre
Passo 1
O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo de força
quando uma partícula se desloca de
até
ao longo da linha reta que une
a
.
Dados fornecidos:
o ponto inicial
e o ponto final
. O caminho é a reta entre esses pontos.
Passo 2
Conceito que vamos usar (bem mastigado): o trabalho realizado por um campo de força
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha
Aqui
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva. Na prática parametrizamos a curva por um parâmetro
, escrevemos
, com
variando num intervalo
. Então
e a integral vira
Explicando cada símbolo:
é a posição no tempo fictício
;
é a velocidade (derivada componente a componente);
é o campo avaliado nessa posição; o produto escalar dá a componente de força na direção do deslocamento instantâneo; integrar soma todas as contribuições.
Passo 3
Parametrização da reta que vai de
a
: usamos o parâmetro
e a reta que conecta os pontos é a combinação afim
Como
e
, temos em forma de coordenadas
Derivando componente a componente obtemos
Isso significa que
,
,
.
Passo 4
Agora avaliamos o campo
ao longo da curva substituindo
. Calculamos cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Logo, ao longo da curva
Passo 5
Formamos o produto escalar
. Lembre-se que a operação é componente a componente somando os produtos:
Calculemos cada termo:
Somando,
Passo 6
Agora integrarmos no intervalo
:
Calculamos a integral termo a termo. Uma primitiva de
é
porque
. Uma primitiva de
é
porque
. Assim
Avaliar em
e subtrair o valor em
dá
Passo 7
Interpretação curta (para te animar): o trabalho deu
. O sinal negativo significa que, no total, a força fez trabalho negativo ao longo do deslocamento — isto é, a força tem componente contrária ao deslocamento em média. Não se assuste com números negativos; eles aparecem frequentemente em física quando a força retarda o movimento.