Se a integral \int_{A}^{B} \mathbf{F} \cdot d \boldsymbol{d} for considerada como o trabalho realizado para deslocar uma partícu* la de A até B, encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
\mathbf{F}=2 x y \mathbf{a}_{x}+\left(x^{2}-z^{2}\right) \mathbf{a}_{y}-3 x z^{2} \mathbf{a}
sobre uma partícula que se desloca de A(0,0,0) até B(2,1,3) ao longo:
(b) Da linha reta entre (0,0,0) até (2,1,3)

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F} quando uma partícula se desloca de A(0,0,0) até B(2,1,3) ao longo da linha reta que une A a B.
Dados fornecidos:
\mathbf{F}=2 x y \,\mathbf{a}_{x}+\left(x^{2}-z^{2}\right) \,\mathbf{a}_{y}-3 x z^{2} \,\mathbf{a}_{z},
o ponto inicial A(0,0,0) e o ponto final B(2,1,3). O caminho é a reta entre esses pontos.

Passo 2

Conceito que vamos usar (bem mastigado): o trabalho realizado por um campo de força \mathbf{F} ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha
W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.
Aqui d\mathbf{r} é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva. Na prática parametrizamos a curva por um parâmetro t, escrevemos \mathbf{r}=\mathbf{r}(t), com t variando num intervalo [t_0,t_1]. Então d\mathbf{r}=\mathbf{r}'(t)\,dt e a integral vira
W=\int_{t_0}^{t_1}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.
Explicando cada símbolo: \mathbf{r}(t) é a posição no tempo fictício t; \mathbf{r}'(t) é a velocidade (derivada componente a componente); \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) é o campo avaliado nessa posição; o produto escalar dá a componente de força na direção do deslocamento instantâneo; integrar soma todas as contribuições.

Passo 3

Parametrização da reta que vai de A a B: usamos o parâmetro t\in[0,1] e a reta que conecta os pontos é a combinação afim
\mathbf{r}(t)= (1-t)\,A + t\,B.
Como A(0,0,0) e B(2,1,3), temos em forma de coordenadas
\mathbf{r}(t)=(2t,\; t,\; 3t),\qquad 0\le t\le 1.
Derivando componente a componente obtemos
\mathbf{r}'(t)=(2,\;1,\;3).
Isso significa que dx=2\,dt, dy=1\,dt, dz=3\,dt.

Passo 4

Agora avaliamos o campo \mathbf{F} ao longo da curva substituindo x=2t,\;y=t,\;z=3t. Calculamos cada componente:
  1. Primeira componente: 2xy=2\cdot(2t)\cdot t=4t^{2}.
  2. Segunda componente: x^{2}-z^{2}=(2t)^{2}-(3t)^{2}=4t^{2}-9t^{2}=-5t^{2}.
  3. Terceira componente: -3xz^{2}=-3\cdot(2t)\cdot(3t)^{2}=-3\cdot(2t)\cdot(9t^{2})=-54t^{3}.
Logo, ao longo da curva
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))=\bigl(4t^{2},\;-5t^{2},\;-54t^{3}\bigr).

Passo 5

Formamos o produto escalar \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t). Lembre-se que a operação é componente a componente somando os produtos:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=4t^{2}\cdot 2 + (-5t^{2})\cdot 1 + (-54t^{3})\cdot 3.
Calculemos cada termo:
4t^{2}\cdot 2 = 8t^{2},\qquad (-5t^{2})\cdot 1 = -5t^{2},\qquad (-54t^{3})\cdot 3 = -162t^{3}.
Somando,
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)=8t^{2}-5t^{2}-162t^{3}=3t^{2}-162t^{3}.

Passo 6

Agora integrarmos no intervalo t\in[0,1]:
W=\int_{0}^{1}\bigl(3t^{2}-162t^{3}\bigr)\,dt.
Calculamos a integral termo a termo. Uma primitiva de 3t^{2} é t^{3} porque \frac{d}{dt}t^{3}=3t^{2}. Uma primitiva de 162t^{3} é \frac{162}{4}t^{4}=\frac{81}{2}t^{4} porque \frac{d}{dt}\bigl(\frac{81}{2}t^{4}\bigr)=\frac{81}{2}\cdot 4 t^{3}=162t^{3}. Assim
W=\left[t^{3}-\frac{81}{2}t^{4}\right]_{0}^{1}.
Avaliar em 1 e subtrair o valor em 0
W=\left(1^{3}-\frac{81}{2}\,1^{4}\right)-\left(0-0\right)=1-\frac{81}{2}=-\frac{79}{2}.

Passo 7

Interpretação curta (para te animar): o trabalho deu -\dfrac{79}{2}. O sinal negativo significa que, no total, a força fez trabalho negativo ao longo do deslocamento — isto é, a força tem componente contrária ao deslocamento em média. Não se assuste com números negativos; eles aparecem frequentemente em física quando a força retarda o movimento.

Resposta

-\dfrac{79}{2}

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