Um capacitor esférico com r_{1}=0.1 \mathrm{~m}, r_{2}=0.2 \mathrm{~m},\mathrm{e} \epsilon_{r}=5 é submetido a V=500 \mathrm{~V}. Derive o campo \mathbf{E} e a capacitância usando integrais em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor esférico de raios interno r_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m} e externo r_{2}=0{,}2\\ \mathrm{m}, preenchido por dielétrico de permissividade relativa \epsilon_{r}=5, submetido a uma diferença de potencial V=500\\ \mathrm{V}.
Conteúdo: campo elétrico em meios homogêneos e capacitância de capacitor esférico. Vamos usar simetria esférica, a lei de Gauss e a definição de capacitância C=Q/V.

Passo 2

Pela simetria esférica, o vetor deslocamento elétrico \mathbf{D} satisfaz
\oint_{S_r}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre}},
onde S_r é a esfera de raio r com r_{1}<r<r_{2}. Como \mathbf{D}=D_r(r)\,\hat r e dA=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi, temos
D_r(r)\,4\pi r^2 = Q \quad\Longrightarrow\quad D_r(r)=\frac{Q}{4\pi r^2}.
No dielétrico \mathbf{D}=\epsilon_0\epsilon_{r}\mathbf{E}, logo
\mathbf{E}(r) =\frac{D_r(r)}{\epsilon_0\epsilon_{r}}\,\hat r =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\,r^2}\,\hat r, \quad r_{1}<r<r_{2}.

Passo 3

A diferença de potencial entre as armaduras é
V =-\int_{r_{1}}^{r_{2}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r} =-\int_{r_{1}}^{r_{2}}\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\,r^2}\,dr =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr).
Rearranjando para Q,
Q =V\;4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr)^{-1}.

Passo 4

Definindo capacitância C=Q/V, obtemos
C =4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\Bigl(\frac{1}{r_{1}}-\frac{1}{r_{2}}\Bigr)^{-1} =4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\,\frac{r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}}.

Passo 5

Substituindo \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, \epsilon_{r}=5, r_{1}=0{,}1\\ \mathrm{m}, r_{2}=0{,}2\\ \mathrm{m}:
C =4\pi\,(8{,}854\times10^{-12})\times5\times\frac{0{,}1\cdot0{,}2}{0{,}2-0{,}1} \approx1{,}11\times10^{-10}\\ \mathrm{F} \;(111\\ \mathrm{pF}).

Resposta

O campo elétrico no dielétrico é
\mathbf{E}(r) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\,r^2}\,\hat r, \quad r_{1}<r<r_{2},
e a capacitância vale
C =4\pi\epsilon_0\epsilon_{r}\,\frac{r_{1}r_{2}}{r_{2}-r_{1}} \approx1{,}11\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.

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