Um dielétrico anisotrópico \operatorname{com} \epsilon=\left(\begin{array}{ccc}2 \epsilon_{0} & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 \epsilon_{0} & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 \epsilon_{0}\end{array}\right) é submetido a \mathbf{E}=100 \hat{\mathbf{a x}} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o deslocamento \mathbf{D} e o fluxo através de uma superfície elipsoidal x^{2}+2 y^{2}+ z^{2}=1. Passo 1O enunciado dá um dielétrico anisotrópico com tensor de permissividade \underline{\underline{\epsilon}} = \begin{pmatrix} 2\epsilon_{0} & 0 & 0\\\\ 0 & 3\epsilon_{0} & 0\\\\ 0 & 0 & 4\epsilon_{0} \end{pmatrix} e campo elétrico aplicado \mathbf{E}=100\,\hat{\mathbf{a}}_{x} V/m. Queremos (i) o vetor deslocamento \mathbf{D} e (ii) o fluxo \displaystyle \Phi=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A} através da superfície fechada elipsoidal x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1. Passo 2Para dielétricos anisotrópicos vale \mathbf{D}=\underline{\underline{\epsilon}}\;\mathbf{E}. Escrevendo componente a componente, como \mathbf{E} só tem componente x, D_{x}=2\epsilon_{0}\cdot100=200\epsilon_{0},\quad D_{y}=0,\quad D_{z}=0. Logo \mathbf{D}=200\,\epsilon_{0}\,\hat{\mathbf{a}}_{x}\quad(\text{C/m}^{2}). Passo 3A Lei de Gauss para dielétricos diz \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre,\,int}}. Não há cargas livres dentro do dielétrico, de modo que \nabla\cdot\mathbf{D}=0 e \Phi=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=0. Resposta \mathbf{D}=200\,\epsilon_{0}\,\hat{\mathbf{a}}_{x} C/m ^2 \Phi=0 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosUm condutor cilíndrico rotativo com r=0.05 \mathrm{~m}, L=2 \mathrm{~m}, e Q=25 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} gera um campo variável. Calcule o campo vetorial \mathbf{E} em ( 0.06,0,0 ) considerando a continuidade e derivadas temporais. Um capacitor esférico com r_{1}=0.1 \mathrm{~m}, r_{2}=0.2 \mathrm{~m},\mathrm{e} \epsilon_{r}=5 é submetido a V=500 \mathrm{~V}. Derive o campo \mathbf{E} e a capacitância usando integrais em coordenadas esféricas.