Um dielétrico anisotrópico \operatorname{com} \epsilon=\left(\begin{array}{ccc}2 \epsilon_{0} & 0 & 0 \\\\ 0 & 3 \epsilon_{0} & 0 \\\\ 0 & 0 & 4 \epsilon_{0}\end{array}\right) é submetido a \mathbf{E}=100 \hat{\mathbf{a x}} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o deslocamento \mathbf{D} e o fluxo através de uma superfície elipsoidal x^{2}+2 y^{2}+ z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado dá um dielétrico anisotrópico com tensor de permissividade
\underline{\underline{\epsilon}} = \begin{pmatrix} 2\epsilon_{0} & 0 & 0\\\\ 0 & 3\epsilon_{0} & 0\\\\ 0 & 0 & 4\epsilon_{0} \end{pmatrix}
e campo elétrico aplicado \mathbf{E}=100\,\hat{\mathbf{a}}_{x} V/m.
Queremos (i) o vetor deslocamento \mathbf{D} e (ii) o fluxo
\displaystyle \Phi=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}
através da superfície fechada elipsoidal x^{2}+2y^{2}+z^{2}=1.

Passo 2

Para dielétricos anisotrópicos vale
\mathbf{D}=\underline{\underline{\epsilon}}\;\mathbf{E}.
Escrevendo componente a componente, como \mathbf{E} só tem componente x,
D_{x}=2\epsilon_{0}\cdot100=200\epsilon_{0},\quad D_{y}=0,\quad D_{z}=0.
Logo
\mathbf{D}=200\,\epsilon_{0}\,\hat{\mathbf{a}}_{x}\quad(\text{C/m}^{2}).

Passo 3

A Lei de Gauss para dielétricos diz
\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{livre,\,int}}.
Não há cargas livres dentro do dielétrico, de modo que
\nabla\cdot\mathbf{D}=0 e
\Phi=\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=0.

Resposta

\mathbf{D}=200\,\epsilon_{0}\,\hat{\mathbf{a}}_{x} C/m ^2
\Phi=0

Exercícios relacionados