Que característica precisa existir em uma tabela de contingência para se aceitar H0 em um teste Qui-quadrado de independência?

Passo 1

O enunciado pergunta qual condição uma tabela de contingência deve atender para que o teste qui-quadrado de independência seja válido e possamos, em princípio, aceitar H_0. Vamos lembrar que nesse teste comparamos as frequências observadas O_{ij} com as frequências esperadas E_{ij} sob a hipótese de independência.

Passo 2

Sob H_0 (independência entre as variáveis de linhas e colunas) calculamos cada frequência esperada por
E_{ij} \;=\;\frac{(\text{soma da }i\text{-ésima linha})\times(\text{soma da }j\text{-ésima coluna})}{\text{total geral}} \;=\;\frac{R_i\,C_j}{n}.éé

Passo 3

Para usar a distribuição qui-quadrado como aproximação válida, é preciso que não haja células com contagens muito pequenas. A regra prática é:
• Nenhuma célula tenha E_{ij}<1.
• No máximo 20 % das células tenham 1\le E_{ij}<5.
Ou, de forma mais simples e usual, exige-se que todas as células tenham E_{ij}\ge5.

Passo 4

Se essa condição de tamanho mínimo das frequências esperadas for atendida, o estatístico
\chi^2 \;=\;\sum_{i}\sum_{j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}
segue, sob H_0, aproximadamente uma distribuição \chi^2 com (r-1)(c-1) graus de liberdade, e podemos comparar o valor calculado ao valor crítico ou usar o p\n-valor para decidir aceitar H_0.

Resposta

Para o teste qui-quadrado de independência ser válido e permitir aceitar H_0, todas as células da tabela devem ter frequência esperada E_{ij} suficientemente grande — tipicamente E_{ij}\ge5.

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