As características de um oscilador amortecido são: sua massa m=1 \mathrm{~kg}, sua constante elástica K=5 \mathrm{N} / \mathrm{m} e sua constante de amortecimento b=2 \times 10^{-2} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}. O oscilador é submetido a uma força externa expressa pela equação: \mathrm{F}=2 \cos \omega t, onde F em Newtons, \omega em rad/s e t em segundos Calcule a frequência de ressonância e a amplitude correspondente.
A) \sqrt{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, 30 \sqrt{5} \mathrm{~m}
B) \sqrt{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, 20 \sqrt{5} \mathrm{~m}
C) 5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, 20 \mathrm{~m}
D) \sqrt{3} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, 10 \sqrt{5} \mathrm{~m}
E) \sqrt{5} \mathrm{rad} / \mathrm{s}, 10 \sqrt{5} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular a frequência de ressonância (valor de \omega que maximiza a amplitude da resposta forçada).
  • Calcular a amplitude correspondente nessa frequência de ressonância.
As informações fornecidas (pego do enunciado):
  • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
  • Constante elástica: k=5\\ \mathrm{N/m}.
  • Constante de amortecimento: b=2\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot s/m}.
  • Força externa: F(t)=2\cos\omega t. Portanto a amplitude da força é F_0=2\\ \mathrm{N}.

Passo 2

Equação do movimento e forma da resposta estacionária.
A equação do oscilador amortecido forçado é
m\ddot{x}+b\dot{x}+k x = F_0\cos\omega t.
Aqui:
  • \ddot{x} é a aceleração,
  • \dot{x} é a velocidade,
  • x é o deslocamento,
  • F_0 é a amplitude da força (aqui F_0=2),
  • \omega é a frequência angular da força externa.
Na regime estacionário (após transientes), a solução particular tem a forma
x_p(t)=A(\omega)\cos(\omega t-\varphi)
onde A(\omega) é a amplitude dependente de \omega e \varphi é o defasamento. Se substituirmos essa forma na equação (ou usarmos o método fasorial), obtemos a expressão padrão para a amplitude:
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}.
Vou explicar cada termo: no denominador,
  • (k-m\omega^2) corresponde à parte reativa (diferença entre rigidez e inércia a essa frequência),
  • b\omega corresponde à resistência dissipativa pela amortecimento.

Passo 3

Determinar a frequência \omega que maximiza A(\omega).
Maximizar A(\omega) equivale a minimizar o quadrado do denominador. Definimos
D(\omega)=(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2.
Derivando D(\omega) em relação a \omega e igualando a zero (e descartando a solução trivial \omega=0):
Primeiro calcule a derivada:
\frac{dD}{d\omega}=2(k-m\omega^2)\cdot(-2m\omega)+2b^2\omega.
Colocando em evidência 2\omega:
\frac{dD}{d\omega}=2\omega\Big(-2m(k-m\omega^2)+b^2\Big).
Para \omega\neq0 a condição \frac{dD}{d\omega}=0
-2m(k-m\omega^2)+b^2=0.
Rearranjando:
2m^2\omega^2=2mk-b^2
e assim
\omega_{\mathrm{res}}^2=\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}.
Portanto a frequência de ressonância (onde a amplitude é máxima) é
\omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{b^2}{2m^2}}.

Passo 4

Calcular numericamente \omega_{\mathrm{res}} com os dados.
Calcule \omega_0^2=\dfrac{k}{m}=\dfrac{5}{1}=5.
Calcule \dfrac{b^2}{2m^2}=\dfrac{(2\times10^{-2})^2}{2\cdot1^2}=\dfrac{4\times10^{-4}}{2}=2\times10^{-4}=0,0002.
Logo
\omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{5-0,0002}=\sqrt{4{,}9998}\approx2{,}23603\\ \text{rad/s}.
Observe que \sqrt{5}\approx2{,}23607\\ \text{rad/s}. A diferença é muito pequena (amortecimento é fraco), então a frequência de ressonância vale numericamente praticamente \sqrt{5}\\ \text{rad/s}. Para as alternativas dadas, a escolha natural é \omega_{\mathrm{res}}=\sqrt{5}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Calcular a amplitude correspondente em \omega_{\mathrm{res}}.
Usamos a expressão geral da amplitude:
A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}.
Na frequência \omega_{\mathrm{res}} podemos simplificar usando a relação obtida no Passo 3. Note que, a partir da condição de máximo,
k-m\omega_{\mathrm{res}}^2=\frac{b^2}{2m}.
Substituindo isso em A(\omega_{\mathrm{res}}):
A_{\max}=A(\omega_{\mathrm{res}})= \frac{F_0}{\sqrt{\big(\dfrac{b^2}{2m}\big)^2+(b\omega_{\mathrm{res}})^2}} = \frac{F_0}{b\sqrt{\omega_{\mathrm{res}}^2+\dfrac{b^2}{4m^2}}}.
Outra forma algébrica útil (mais direta) é
A_{\max}=\frac{F_0}{b\sqrt{\dfrac{k}{m}-\dfrac{b^2}{4m^2}}}.
Agora substituímos os números (com m=1 e F_0=2):
A_{\max}=\frac{2}{0{,}02\sqrt{5-0{,}0001}}=\frac{2}{0{,}02\sqrt{4{,}9999}}=\frac{100}{\sqrt{4{,}9999}}.
Numericamente,
A_{\max}\approx\frac{100}{2{,}23605}\approx44{,}72136\\ \mathrm{m}.
Escrevendo esse valor em termos de \sqrt{5}: como \dfrac{100}{\sqrt{5}}=20\sqrt{5}\approx44{,}72136, e a diferença entre \sqrt{4{,}9999} e \sqrt{5} é insignificante aqui, a amplitude correspondente é igual (praticamente) a 20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final para comparar com as alternativas:
  • Frequência de ressonância: \omega_{\mathrm{res}}\approx\sqrt{5}\\ \mathrm{rad/s}.
  • Amplitude correspondente: A_{\max}\approx20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}.
Entre as alternativas fornecidas, a que coincide com esses valores é a alternativa B.

Resposta

B) \sqrt{5}\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s},\\\ 20\sqrt{5}\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados