As características de um oscilador amortecido são: sua massa
, sua constante elástica
e sua constante de amortecimento
. O oscilador é submetido a uma força externa expressa pela equação:
, onde
em Newtons,
em rad/s e
em segundos Calcule a frequência de ressonância e a amplitude correspondente.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Calcular a frequência de ressonância (valor de
que maximiza a amplitude da resposta forçada). - Calcular a amplitude correspondente nessa frequência de ressonância.
As informações fornecidas (pego do enunciado):
- Massa:
. - Constante elástica:
. - Constante de amortecimento:
. - Força externa:
. Portanto a amplitude da força é .
Passo 2
Equação do movimento e forma da resposta estacionária.
A equação do oscilador amortecido forçado é
Aqui:
-
é a aceleração, -
é a velocidade, -
é o deslocamento, -
é a amplitude da força (aqui ), -
é a frequência angular da força externa.
Na regime estacionário (após transientes), a solução particular tem a forma
onde
é a amplitude dependente de
e
é o defasamento. Se substituirmos essa forma na equação (ou usarmos o método fasorial), obtemos a expressão padrão para a amplitude:
Vou explicar cada termo: no denominador,
-
corresponde à parte reativa (diferença entre rigidez e inércia a essa frequência), -
corresponde à resistência dissipativa pela amortecimento.
Passo 3
Determinar a frequência
que maximiza
.
Maximizar
equivale a minimizar o quadrado do denominador. Definimos
Derivando
em relação a
e igualando a zero (e descartando a solução trivial
):
Primeiro calcule a derivada:
Colocando em evidência
:
Para
a condição
dá
Rearranjando:
e assim
Portanto a frequência de ressonância (onde a amplitude é máxima) é
Passo 4
Calcular numericamente
com os dados.
Calcule
.
Calcule
Calcule
Logo
Observe que
. A diferença é muito pequena (amortecimento é fraco), então a frequência de ressonância vale numericamente praticamente
. Para as alternativas dadas, a escolha natural é
.
Passo 5
Calcular a amplitude correspondente em
.
Usamos a expressão geral da amplitude:
Na frequência
podemos simplificar usando a relação obtida no Passo 3. Note que, a partir da condição de máximo,
Substituindo isso em
:
Outra forma algébrica útil (mais direta) é
Agora substituímos os números (com
e
):
Numericamente,
Escrevendo esse valor em termos de
: como
, e a diferença entre
e
é insignificante aqui, a amplitude correspondente é igual (praticamente) a
.
Passo 6
Interpretação final para comparar com as alternativas:
- Frequência de ressonância:
. - Amplitude correspondente:
.
Entre as alternativas fornecidas, a que coincide com esses valores é a alternativa B.
Resposta
B)