Um satélite com massa
descreve órbitas circulares de raio
ao redor da Terra, onde
é o raio da Terra. Usando uma energia igual à usada para lançá-lo em órbita a partir da superfície da Terra, outro satélite com massa
será lançado. A que distância do centro da Terra este segundo satélite orbitará? A rotação da Terra não é levada em consideração.
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (tomei estes dados diretamente do enunciado):
- Um satélite de massa
descreve órbitas circulares de raio ao redor da Terra. - Usando uma energia igual à usada para lançá-lo em órbita a partir da superfície da Terra, será lançado outro satélite de massa
. - Pergunta: a que distância do centro da Terra esse segundo satélite passará a orbitar? (Ou seja, achar
tal que o satélite de massa fique em órbita circular de raio .)
Informações relevantes adicionais implícitas: a rotação da Terra é desprezada;é o raio da Terra; é a constante de gravitação universal; é a massa do primeiro satélite (usar letra diferente para massa da Terra quando necessário — aqui será se precisarmos, mas podemos manter interpretando do problema como massa do satélite; para evitar confusão usarei para massa do satélite e para a Terra quando necessário).
Passo 2
Observação sobre interpretação da frase “energia igual à usada para lançá-lo em órbita”: existem duas interpretações razoáveis
- Interpretação A (energia total): igual energia total gasta para levar o satélite da superfície até a órbita, isto é variação da energia mecânica total (energia cinética + potencial).
- Interpretação B (energia de elevação): só a energia gasta para vencer o campo gravitacional (variação da energia potencial gravitacional), ignorando a contribuição cinética.
Vou verificar brevemente a interpretação A. Se eu igualar a variação da energia mecânica total usada para levar
até
com a energia disponível para o satélite de massa
, o cálculo leva a um raio
menor que
(isto é, dentro da Terra), o que é fisicamente absurdo como “uma órbita”. Portanto essa interpretação não fornece uma resposta válida entre as opções. Por isso adotarei a interpretação B (energia usada para elevar contra a gravidade), que é a interpretação que gera uma resposta consistente e presente nas alternativas. (Se o enunciado do seu curso costuma interpretar “energia para lançá-lo” apenas como trabalho contra a gravidade, esta escolha está de acordo com essa prática.)
Passo 3
Lembrete da fórmula da energia potencial gravitacional e do que cada símbolo significa. A energia potencial entre uma massa
e a Terra (massa
) a uma distância
do centro da Terra é
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra, -
é a massa do satélite (aqui será ou conforme o caso), -
é a distância do centro da Terra ao satélite.
A variação de energia potencial ao mover o satélite da superfície () para uma órbita de raio é
Isso representa o trabalho que deve ser fornecido para elevar a massa
da superfície até
, contra a gravidade.
Passo 4
Calcular a energia (trabalho contra a gravidade) usada para levar o primeiro satélite de massa
da superfície (
) até a órbita de raio
. Aplicando a fórmula com
e
:
Calcule a diferença dentro do parêntese:
Logo
Passo 5
Escrever a variação de energia potencial necessária para levar o segundo satélite, de massa
, da superfície (
) até uma órbita de raio desconhecido
. Usando a fórmula com
:
Passo 6
Igualar a energia disponível (a mesma energia usada no primeiro lançamento) à energia necessária para o segundo satélite:
. Substituindo as expressões obtidas:
Cancelar o fator comum
dos dois lados:
Agora resolver passo a passo:
Passar o termo
para o outro lado e o termo
para a esquerda:
Somar os termos do lado direito com denominador comum
:
Portanto
Inverta ambos os lados para achar
:
Passo 7
Interpretação do resultado: com a interpretação em que a energia considerada é somente a energia para vencer a força gravitacional (variação da energia potencial), usando a mesma energia que se usou para levar o satélite de massa
até
, um satélite de massa
alcançará uma órbita circular de raio
Essa resposta é maior que
(portanto é uma órbita exterior à superfície) e coincide com a alternativa A.