Um satélite com massa M descreve órbitas circulares de raio 2 R ao redor da Terra, onde R é o raio da Terra. Usando uma energia igual à usada para lançá-lo em órbita a partir da superfície da Terra, outro satélite com massa 2 M será lançado. A que distância do centro da Terra este segundo satélite orbitará? A rotação da Terra não é levada em consideração.
A) 4 R / 3
B) R / 2
C) 3 R
D) 3 R / 2
E) 5 R / 3

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tomei estes dados diretamente do enunciado):
  • Um satélite de massa M descreve órbitas circulares de raio 2R ao redor da Terra.
  • Usando uma energia igual à usada para lançá-lo em órbita a partir da superfície da Terra, será lançado outro satélite de massa 2M.
  • Pergunta: a que distância do centro da Terra esse segundo satélite passará a orbitar? (Ou seja, achar r tal que o satélite de massa 2M fique em órbita circular de raio r.)
    Informações relevantes adicionais implícitas: a rotação da Terra é desprezada; R é o raio da Terra; G é a constante de gravitação universal; M é a massa do primeiro satélite (usar letra diferente para massa da Terra quando necessário — aqui será M_T se precisarmos, mas podemos manter GM interpretando M do problema como massa do satélite; para evitar confusão usarei M_s para massa do satélite e M_E para a Terra quando necessário).

Passo 2

Observação sobre interpretação da frase “energia igual à usada para lançá-lo em órbita”: existem duas interpretações razoáveis
  • Interpretação A (energia total): igual energia total gasta para levar o satélite da superfície até a órbita, isto é variação da energia mecânica total (energia cinética + potencial).
  • Interpretação B (energia de elevação): só a energia gasta para vencer o campo gravitacional (variação da energia potencial gravitacional), ignorando a contribuição cinética.
Vou verificar brevemente a interpretação A. Se eu igualar a variação da energia mecânica total usada para levar M até 2R com a energia disponível para o satélite de massa 2M, o cálculo leva a um raio r menor que R (isto é, dentro da Terra), o que é fisicamente absurdo como “uma órbita”. Portanto essa interpretação não fornece uma resposta válida entre as opções. Por isso adotarei a interpretação B (energia usada para elevar contra a gravidade), que é a interpretação que gera uma resposta consistente e presente nas alternativas. (Se o enunciado do seu curso costuma interpretar “energia para lançá-lo” apenas como trabalho contra a gravidade, esta escolha está de acordo com essa prática.)

Passo 3

Lembrete da fórmula da energia potencial gravitacional e do que cada símbolo significa. A energia potencial entre uma massa m e a Terra (massa M_E) a uma distância r do centro da Terra é
U(r) = -\dfrac{G M_E m}{r},
onde:
  • G é a constante gravitacional,
  • M_E é a massa da Terra,
  • m é a massa do satélite (aqui será M ou 2M conforme o caso),
  • r é a distância do centro da Terra ao satélite.
    A variação de energia potencial ao mover o satélite da superfície ( r=R) para uma órbita de raio r é
\Delta U = U(r) - U(R) = -\dfrac{G M_E m}{r} + \dfrac{G M_E m}{R} = G M_E m\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right).
Isso representa o trabalho que deve ser fornecido para elevar a massa m da superfície até r, contra a gravidade.

Passo 4

Calcular a energia (trabalho contra a gravidade) usada para levar o primeiro satélite de massa M da superfície ( R) até a órbita de raio 2R. Aplicando a fórmula com m=M e r=2R:
\Delta U_1 = G M_E M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{2R}\right).
Calcule a diferença dentro do parêntese:
\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{2R} = \dfrac{2-1}{2R} = \dfrac{1}{2R}.
Logo
\Delta U_1 = G M_E M \cdot \dfrac{1}{2R} = \dfrac{G M_E M}{2R}.

Passo 5

Escrever a variação de energia potencial necessária para levar o segundo satélite, de massa 2M, da superfície ( R) até uma órbita de raio desconhecido r. Usando a fórmula com m=2M:
\Delta U_2 = G M_E (2M)\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) = 2 G M_E M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right).

Passo 6

Igualar a energia disponível (a mesma energia usada no primeiro lançamento) à energia necessária para o segundo satélite: \Delta U_2 = \Delta U_1. Substituindo as expressões obtidas:
2 G M_E M\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) \;=\; \dfrac{G M_E M}{2R}.
Cancelar o fator comum G M_E M dos dois lados:
2\!\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right) = \dfrac{1}{2R}.
Agora resolver passo a passo:
\dfrac{2}{R} - \dfrac{2}{r} = \dfrac{1}{2R}.
Passar o termo \dfrac{2}{r} para o outro lado e o termo \dfrac{1}{2R} para a esquerda:
\dfrac{2}{r} = \dfrac{2}{R} - \dfrac{1}{2R}.
Somar os termos do lado direito com denominador comum 2R:
\dfrac{2}{R} = \dfrac{4}{2R},\quad \dfrac{4}{2R} - \dfrac{1}{2R} = \dfrac{3}{2R}.
Portanto
\dfrac{2}{r} = \dfrac{3}{2R}.
Inverta ambos os lados para achar r:
\dfrac{r}{2} = \dfrac{2R}{3} \quad\Longrightarrow\quad r = \dfrac{4R}{3}.

Passo 7

Interpretação do resultado: com a interpretação em que a energia considerada é somente a energia para vencer a força gravitacional (variação da energia potencial), usando a mesma energia que se usou para levar o satélite de massa M até 2R, um satélite de massa 2M alcançará uma órbita circular de raio
r = \dfrac{4R}{3}.
Essa resposta é maior que R (portanto é uma órbita exterior à superfície) e coincide com a alternativa A.

Resposta

\dfrac{4R}{3}

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