Um cubo de um certo material flutua num recipiente contendo mercúrio ( \rho_{\mathrm{Hg}}=13.6 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) tal que 1 / 4 de seu volume fica submerso. Acrescentando-se ao sistema água suficiente para cobrir o cubo ( \rho_{\text {água }} =1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}á ), que fração de seu volume ainda permanecerá imersa no mercúrio?
A) 1 / 4
B) 3 / 7
C) 5 / 17
D) 3 / 21
E) 4 / 21

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Densidade do mercúrio: \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}6\\ \mathrm{g/cm^3}.
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1{,}0\\ \mathrm{g/cm^3}á.
  • Inicialmente o cubo flutua no mercúrio com \tfrac{1}{4} do seu volume submerso no mercúrio.
  • Depois acrescenta-se água suficiente para cobrir o cubo (ou seja, o cubo fica completamente sob a água; a parte que antes estava acima do mercúrio fica agora em contato com água).
  • Pergunta: qual fração do volume do cubo permanecerá imersa no mercúrio depois de acrescentar a água?
Vou usar apenas as informações acima; não faça suposições extras.

Passo 2

Relembrando a ideia física que vamos usar (passo-a-passo didático): princípio de Arquimedes — a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Em equilíbrio de flutuação:
\text{peso do cubo} = \text{empuxo total} .
Se \rho_c é a densidade do cubo e V seu volume, o peso é \rho_c V g. O empuxo é g vezes a soma das massas de fluido deslocadas: g(\rho_{\mathrm{Hg}}V_{\mathrm{Hg}}+\rho_{\text{água}}V_{\text{água}})áá. Cancelando g obtemos a equação de equilíbrio em densidades/volumes.
Primeiro calculemos a densidade do cubo a partir da situação inicial (apenas mercúrio, \tfrac{1}{4} do volume submerso). Chamando de V o volume total,
\rho_c V = \rho_{\mathrm{Hg}}\cdot \frac{1}{4}V.
Cancelando V,
\rho_c = \rho_{\mathrm{Hg}}\cdot \tfrac{1}{4}.
Substituindo \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}6,
\rho_c = 13{,}6\cdot \tfrac{1}{4} = 3{,}4\\ \mathrm{g/cm^3}.
Portanto a densidade do cubo é \rho_c=3{,}4\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Agora analisamos a situação após colocar água cobrindo o cubo. Seja x a fração do volume do cubo que fica submersa no mercúrio (o que queremos encontrar). Como a água cobre o cubo por cima, a parte do cubo que não está em mercúrio estará em água. Assim a fração do volume do cubo imersa na água é 1-x.
Aplicando o equilíbrio de empuxo (peso = empuxo de mercúrio + empuxo da água):
\rho_c = \rho_{\mathrm{Hg}}\,x + \rho_{\text{água}}\,(1-x).á
Aqui cada termo é (densidade do fluido) vezes (fração do volume imersa naquele fluido); o fator g e V foram cancelados.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos e resolvemos para x. Já temos \rho_c=3{,}4, \rho_{\mathrm{Hg}}=13{,}6 e \rho_{\text{água}}=1{,}0á. Assim
3{,}4 = 13{,}6\,x + 1{,}0\,(1-x).
Desenvolvendo o lado direito:
3{,}4 = 13{,}6x + 1 - x = (13{,}6-1)x + 1 = 12{,}6x + 1.
Isolando x:
12{,}6x = 3{,}4 - 1 = 2{,}4.
Logo
x = \frac{2{,}4}{12{,}6}.
Para simplificar exatamente, multiplicando numerador e denominador por 10:
x = \frac{24}{126} = \frac{4}{21}.

Passo 5

Interpretação final: depois de cobrir o cubo com água, a fração do volume do cubo que permanece imersa no mercúrio é \tfrac{4}{21}. Em decimal isso é aproximadamente 0{,}1905, ou seja cerca de 19{,}05\% do volume.
Força motriz do raciocínio: primeiro achar a densidade do cubo pela situação inicial; depois aplicar Arquimedes com duas camadas de fluido (mercúrio + água) sabendo que a parte não em mercúrio está em água.

Resposta

E) \tfrac{4}{21}

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