Um cubo de um certo material flutua num recipiente contendo mercúrio (
) tal que
de seu volume fica submerso. Acrescentando-se ao sistema água suficiente para cobrir o cubo (
), que fração de seu volume ainda permanecerá imersa no mercúrio?
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Densidade do mercúrio:
. - Densidade da água:
. - Inicialmente o cubo flutua no mercúrio com
do seu volume submerso no mercúrio. - Depois acrescenta-se água suficiente para cobrir o cubo (ou seja, o cubo fica completamente sob a água; a parte que antes estava acima do mercúrio fica agora em contato com água).
- Pergunta: qual fração do volume do cubo permanecerá imersa no mercúrio depois de acrescentar a água?
Vou usar apenas as informações acima; não faça suposições extras.
Passo 2
Relembrando a ideia física que vamos usar (passo-a-passo didático): princípio de Arquimedes — a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Em equilíbrio de flutuação:
Se
é a densidade do cubo e
seu volume, o peso é
. O empuxo é
vezes a soma das massas de fluido deslocadas:
. Cancelando
obtemos a equação de equilíbrio em densidades/volumes.
Primeiro calculemos a densidade do cubo a partir da situação inicial (apenas mercúrio,
do volume submerso). Chamando de
o volume total,
Cancelando
,
Substituindo
,
Portanto a densidade do cubo é
.
Passo 3
Agora analisamos a situação após colocar água cobrindo o cubo. Seja
a fração do volume do cubo que fica submersa no mercúrio (o que queremos encontrar). Como a água cobre o cubo por cima, a parte do cubo que não está em mercúrio estará em água. Assim a fração do volume do cubo imersa na água é
.
Aplicando o equilíbrio de empuxo (peso = empuxo de mercúrio + empuxo da água):
Aqui cada termo é (densidade do fluido) vezes (fração do volume imersa naquele fluido); o fator
e
foram cancelados.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos e resolvemos para
. Já temos
,
e
. Assim
Desenvolvendo o lado direito:
Isolando
:
Logo
Para simplificar exatamente, multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 5
Interpretação final: depois de cobrir o cubo com água, a fração do volume do cubo que permanece imersa no mercúrio é
. Em decimal isso é aproximadamente
, ou seja cerca de
do volume.
Força motriz do raciocínio: primeiro achar a densidade do cubo pela situação inicial; depois aplicar Arquimedes com duas camadas de fluido (mercúrio + água) sabendo que a parte não em mercúrio está em água.
Resposta
E)