• Carga L1: absorve potência média de 12 kW com fator de potência 0,8 atrasado;
  • Carga L2: impedância de (6-j 7) \Omega
  • Impedância da linha: \mathrm{ZL}=(0,04+\mathrm{j} 0,5) \Omega
  • Tensão nos terminais das cargas: \mathrm{v}_{\mathrm{L}}=380 \sqrt{ } 2 \cos (300 \mathrm{t})
Determinar:
1- A tensão da fonte \mathbf{V g} e indicar o seu valor eficaz.
2- A perda de potência ativa na linha.
3- O fator de potência da carga equivalente (desde a - b).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei todos do enunciado):
  • Carga L1: potência ativa P_1 = 12{,}000\\ \mathrm{W} e fator de potência \mathrm{pf}_1=0{,}8 atrasado.
  • Carga L2: impedância Z_2 = (6 - \mathrm{j}7)\\ \Omega.
  • Impedância da linha: Z_L = (0{,}04 + \mathrm{j}0{,}5)\\ \Omega.
  • Tensão nos terminais das cargas (tensão no ponto a\!-\!b, ou seja, tensão na carga): v_L(t)=380\sqrt{2}\cos(300t). Isso significa que a tensão eficaz (RMS) na carga é \,380\\ \mathrm{V} e a referência de fase será tomada como \angle 0^\circ.
O enunciado pede:
  1. A tensão da fonte \mathbf{V_g} (ou seja o fasor da tensão na origem da linha) e indicar o seu valor eficaz.
  2. A perda de potência ativa na linha.
  3. O fator de potência da carga equivalente vista entre a e b.

Passo 2

Converter a tensão de carga para fasor (forma complexa, RMS):
\tilde V_L = 380\angle 0^\circ\\ \mathrm{V}.
Explicação do conceito (rápida aula): um sinal v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi) tem amplitude V_m e tensão eficaz V_{\mathrm{rms}}=V_m/\sqrt{2}. O fasor RMS é \tilde V = V_{\mathrm{rms}}\angle\varphi. Aqui V_m=380\sqrt{2} logo V_{\mathrm{rms}}=380.

Passo 3

Calcular a potência complexa de L1 e a corrente de L1.
Definição/recado teórico: a potência complexa é \,S=P+\mathrm{j}Q. Para uma carga qualquer vale \,S=V I^* (onde I^* é o conjugado da corrente fasorial). Assim, se conhecemos P e o fator de potência \cos\varphi, podemos obter Q=P\tan\varphi com o sinal de Q de acordo com indutivo (+) ou capacitivo (-).
Para L1:
  • \cos\varphi_1 = 0{,}8 (atrasado ⇒ indutivo ⇒ Q_1>0).
  • \varphi_1 = \operatorname{arccos}(0{,}8) \approx 36{,}8699^\circ.
  • Q_1 = P_1\tan\varphi_1 = 12{,}000\cdot\tan(36{,}8699^\circ)=12{,}000\cdot 0{,}75 = 9{,}000\\ \mathrm{var}.
Logo
S_1 = 12{,}000 + \mathrm{j}9{,}000\\ \mathrm{VA}.
Corrente fasorial de L1: usar S=V I^*\Rightarrow I = \dfrac{S^*}{V}. Como \tilde V_L tem ângulo zero, simplifica-se:
\tilde I_1 = \frac{S_1^*}{\tilde V_L} = \frac{12{,}000 - \mathrm{j}9{,}000}{380}.
Calculemos componente a componente:
\tilde I_1 = 31{,}5789 - \mathrm{j}23{,}6842\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo (para intuição): |\tilde I_1|\approx 39{,}47\\ \mathrm{A}, ângulo -36{,}87^\circ (corrente atrasa).

Passo 4

Calcular a corrente de L2 pela Lei de Ohm em fasores.
Para L2:
\tilde I_2 = \frac{\tilde V_L}{Z_2} = \frac{380\angle 0^\circ}{6 - \mathrm{j}7}.
Vamos converter Z_2 para módulo e ângulo:
|Z_2|=\sqrt{6^2+(-7)^2}=\sqrt{85}\approx 9{,}2195\\ \Omega, \quad \angle Z_2 = \arctan\!\left(\frac{-7}{6}\right)\approx -49{,}399^\circ.
Portanto
|\tilde I_2|=\frac{380}{9{,}2195}\approx 41{,}238\\ \mathrm{A},\qquad \angle \tilde I_2 = 0^\circ - (-49{,}399^\circ)=+49{,}399^\circ.
Em forma retangular:
\tilde I_2 \approx 26{,}899 + \mathrm{j}31{,}268\\ \mathrm{A}.
Também podemos obter a potência complexa de L2 (apenas para conferir/conceito):
S_2 = \tilde V_L \tilde I_2^* = 380(26{,}899 - \mathrm{j}31{,}268) =10{,}221{,}62 - \mathrm{j}11{,}879{,}84\\ \mathrm{VA}.
Isso mostra que L2 entrega potência reativa -11{,}879{,}84\\ \mathrm{var} (ou seja, é capacitiva no total).

Passo 5

Somar as correntes para obter a corrente total que atravessa a linha (a partir da fonte).
\tilde I_{tot} = \tilde I_1 + \tilde I_2.
Substituindo:
\tilde I_{tot} = (31{,}5789 - \mathrm{j}23{,}6842) + (26{,}899 + \mathrm{j}31{,}268) =58{,}4779 + \mathrm{j}7{,}5838\\ \mathrm{A}.
Magnitude e ângulo:
|\tilde I_{tot}| \approx 58{,}98\\ \mathrm{A},\qquad \angle \tilde I_{tot} \approx +7{,}389^\circ.
Interpretação rápida: ângulo positivo significa que a corrente total está adiantada em relação à tensão nas cargas (ou seja, carga equivalente é predominante capacitiva).

Passo 6

Calcular a tensão da fonte \tilde V_g.
Esquema: fonte → impedância Z_L → terminais de carga com \tilde V_L. Em fasores:
\tilde V_g = \tilde V_L + \tilde I_{tot}\,Z_L.
Multiplicação \tilde I_{tot}Z_L: com \tilde I_{tot}=58{,}4779+\mathrm{j}7{,}5838 e Z_L=0{,}04+\mathrm{j}0{,}5,
faça o produto:
\tilde I_{tot}Z_L = (58{,}4779+\mathrm{j}7{,}5838)(0{,}04+\mathrm{j}0{,}5) \approx -1{,}4528 + \mathrm{j}29{,}5423\\ \mathrm{V}.
Logo
\tilde V_g = 380\angle 0^\circ +(-1{,}4528 + \mathrm{j}29{,}5423) =378{,}5472 + \mathrm{j}29{,}5423\\ \mathrm{V}.
Magnitude e ângulo (valor eficaz é a magnitude RMS):
|\tilde V_g|=\sqrt{378{,}5472^2 + 29{,}5423^2}\approx 379{,}7\\ \mathrm{V}, \qquad \angle \tilde V_g \approx 4{,}47^\circ.
Interpretação: a queda de tensão na linha é pequena, então a tensão da fonte é muito próxima de 380\\ \mathrm{V}, mas com um pequeno desfasamento.

Passo 7

Calcular a perda de potência ativa na linha.
Fórmula prática: perda ativa (em W) na resistência da linha é
P_{loss} = R_{L}\,|\tilde I_{tot}|^2,
onde R_L=\operatorname{Re}(Z_L)=0{,}04\\ \Omega.
Usando |\tilde I_{tot}|\approx 58{,}98\\ \mathrm{A}:
P_{loss} = 0{,}04\cdot (58{,}98)^2 \approx 0{,}04\cdot 3{,}475{,}63 \approx 139{,}0\\ \mathrm{W}.
(Verificação conceitual: também vale P_{loss}=\operatorname{Re}(\tilde I_{tot}^2 Z_L), que dá o mesmo resultado.)

Passo 8

Calcular o fator de potência da carga equivalente (entre a e b).
Do Passo 4 obtivemos S_1 e S_2. A potência complexa total absorvida pelas cargas é
S_{eq} = S_1 + S_2.
Substituindo os valores:
S_{eq} = (12{,}000+\mathrm{j}9{,}000) + (10{,}221{,}62 - \mathrm{j}11{,}879{,}84) =22{,}221{,}62 - \mathrm{j}2{,}879{,}84\\ \mathrm{VA}.
Portanto a potência ativa total é P_{eq}=22{,}221{,}62\\ \mathrm{W} e reativa Q_{eq}=-2{,}879{,}84\\ \mathrm{var} (negativa ⇒ carga equivalente é capacitiva).
O ângulo da potência complexa:
\varphi_{eq} = \arctan\!\left(\frac{Q_{eq}}{P_{eq}}\right) = \arctan\!\left(\frac{-2{,}879{,}84}{22{,}221{,}62}\right)\approx -7{,}37^\circ.
Fator de potência:
\mathrm{pf}_{eq} = \cos\varphi_{eq} \approx \cos( -7{,}37^\circ) \approx 0{,}992.
Como \varphi_{eq}<0, o fator é adiantado (leading). Isso também bate com o ângulo da corrente total (aprox. +7{,}389^\circ, corrente adiantada).

Resposta

\tilde V_g \approx 379{,}7\angle 4{,}47^\circ\\ \mathrm{V} (valor eficaz =379{,}7\\ \mathrm{V})
P_{loss\,(linha)} \approx 139{,}0\\ \mathrm{W}
\mathrm{pf}_{eq} \approx 0{,}992 (adiantado, \varphi_{eq}\approx -7{,}37^\circ)

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