- Uma carga distribuída é aplicada em uma viga de seção transversal na forma de U. Verifique qual a tensão mínima que o material da viga deve possuir. Considere o material elástico linear e a tensão máxima inferior à tensão de escoamento do material. Determine (a) as reações e os diagramas de (b) força cortante (Q) e (c) momento fletor (M). Determine as tensões máximas de (d) tração e (e) compressão. Se o material da barra é do aço ABNT 1020L com
, verifique se a estrutura/geometria estaria compatível. (Isto é qual o (f) fator de segurança)
Passo 1
O enunciado e a figura (peguei estes dados da imagem) fornecem:
- Viga biapoiada com vão total
. - Carga distribuída uniforme aplicada somente no trecho inicial de
: intensidade atuando de até . - Apoio em
em (engaste/rolete tipo pino) e apoio em em (rolete). - Seção transversal em U (peguei estas dimensões da imagem):
- duas paredes verticais (webs) cada uma
de espessura e de altura; - alma/asa inferior (base) com largura
e espessura ; - a face superior está aberta (U aberto).
- duas paredes verticais (webs) cada uma
- Propriedades do material: aço ABNT 1020L com tensão de escoamento
.
O enunciado pede:
(a) reações nos apoios;
(b) diagrama de força cortante ;
(c) diagrama de momento fletor ;
(d) tensão máxima de tração;
(e) tensão máxima de compressão;
(f) verificar compatibilidade com (fator de segurança).
(a) reações nos apoios;
(b) diagrama de força cortante
(c) diagrama de momento fletor
(d) tensão máxima de tração;
(e) tensão máxima de compressão;
(f) verificar compatibilidade com
Passo 2
Cálculo das reações verticais (equilíbrio de forças e momentos).
- Força resultante da carga distribuída:
- Equilíbrios:
porque o resultante
age em
(centro dos 4 m).
- Da equação de momentos:
- Logo
Passo 3
Força cortante
. Vou escrever as expressões por trechos (ação da carga até
, e depois sem carga até
).
- Para
(trecho carregado): Exemplos: . - Para
(sem carregamento, somente efeito do resultante já aplicada): - No apoio
há uma subida do cortante de para zero graças a .
Interpretação qualitativa: o diagrama é linear decrescente de
até
no trecho carregado e então constante
até o apoio B, onde volta a zero.
Passo 4
Momento fletor
. Novamente por trechos.
- Para
: Verificação: . - Para
(a carga total atua em ): Verificação de continuidade: em obtém-se de ambos os lados. - O máximo de
ocorre onde (no trech0 carregado): - Momento máximo:
Passo 5
Características geométricas da seção (cálculo da posição do centroide vertical
). Vou medir
a partir da base inferior (fundo da placa inferior) para facilitar.
Componentes (peguei dimensões da figura):
- Flange inferior: largura
, espessura . Área . Centróide a acima do fundo. - Cada web (duas iguais): largura (espessura)
, altura . Área de cada . Centróide a acima do fundo (porque a base tem 20 cm de espessura). - Área total:
- Posição do centroide (altura):
Passo 6
Momento de inércia da seção em relação ao centroide (usar teorema dos eixos paralelos). Trabalhar em cm e depois converter para m.
- Inércia de um retângulo em torno de seu centro:
(em se em cm).
- Flange inferior:
Distância entre centróides:
- Cada web:
Distância
Para duas webs:
- Inércia total:
- Converter para
: , logo
Passo 7
Cálculo dos bras (distâncias do centroide às fibras extremas) e módulos de seção.
- Altura total até fibra superior:
. Distância ao centroide: (note que ) - Distância à fibra inferior (fundo):
- Módulos de seção:
Passo 8
Tensões por flexão (fórmula e aplicação). A fórmula simples (linha reta, hipótese de material elástico linear, pequena deformação) é:
onde
é o momento fletor (N·m),
distância da fibra ao neutro (m),
segundo momento de área (m^4) e
módulo de seção (m^3).
- Usar o momento máximo encontrado
- Tensão máxima na fibra superior (compressão se o momento for de tipo “sagging”):
- Tensão máxima na fibra inferior (tração):
Observação sobre sinais: com carregamento para baixo o máximo é de “flambagem” sagging (top comprime, bottom traciona). Aqui damos os módulos (valores absolutos).
Passo 9
Verificação com
e cálculo do fator de segurança.
- Tensão admissível (escoamento)
. - Maior tensão encontrada (valor absoluto) é
- Fator de segurança:
Interpretação: a tensão gerada pela carga é muito pequena em relação à tensão de escoamento do aço; a geometria dada é muito conservadora para esse carregamento (FS extremamente alto).
Resposta
(a)
(b) (kN) para
;
para
(c) (kN·m) para
;
(kN·m) para
. Momento máximo
em
(d) Tensão máxima de tração:
(e) Tensão máxima de compressão:
(f) Fator de segurança em relação a :
(b)
(c)
(d) Tensão máxima de tração:
(e) Tensão máxima de compressão:
(f) Fator de segurança em relação a