1. Uma carga distribuída é aplicada em uma viga de seção transversal na forma de U. Verifique qual a tensão mínima que o material da viga deve possuir. Considere o material elástico linear e a tensão máxima inferior à tensão de escoamento do material. Determine (a) as reações e os diagramas de (b) força cortante (Q) e (c) momento fletor (M). Determine as tensões máximas de (d) tração e (e) compressão. Se o material da barra é do aço ABNT 1020L com \sigma_{e}=280 \mathrm{MPa}, verifique se a estrutura/geometria estaria compatível. (Isto é qual o (f) fator de segurança)

Passo 1

O enunciado e a figura (peguei estes dados da imagem) fornecem:
  • Viga biapoiada com vão total L=400\\ \text{cm}+200\\ \text{cm}=600\\ \text{cm}=6,00\\ \text{m}.
  • Carga distribuída uniforme aplicada somente no trecho inicial de 400\\ \text{cm}=4{,}00\\ \text{m}: intensidade w=12\\ \text{kN/m} atuando de x=0 até x=4{,}00\\ \text{m}.
  • Apoio em A em x=0 (engaste/rolete tipo pino) e apoio em B em x=6{,}00\\ \text{m} (rolete).
  • Seção transversal em U (peguei estas dimensões da imagem):
    • duas paredes verticais (webs) cada uma 20\\ \text{cm} de espessura e 100\\ \text{cm} de altura;
    • alma/asa inferior (base) com largura 80\\ \text{cm} e espessura 20\\ \text{cm};
    • a face superior está aberta (U aberto).
  • Propriedades do material: aço ABNT 1020L com tensão de escoamento \sigma_{e}=280\\ \text{MPa}.
O enunciado pede:
(a) reações nos apoios;
(b) diagrama de força cortante Q;
(c) diagrama de momento fletor M;
(d) tensão máxima de tração;
(e) tensão máxima de compressão;
(f) verificar compatibilidade com \sigma_e (fator de segurança).

Passo 2

Cálculo das reações verticais (equilíbrio de forças e momentos).
  • Força resultante da carga distribuída: \,W = w\cdot a = 12\\ \frac{\text{kN}}{\text{m}}\cdot 4{,}00\\ \text{m}=48\\ \text{kN}.
  • Equilíbrios: \sum F_y: \quad R_A+R_B - W = 0 \;\Rightarrow\; R_A+R_B=48\\ \text{kN}.
\sum M_A: \quad R_B\cdot 6{,}00 - W\cdot(2{,}00)=0,
porque o resultante W age em x=2{,}00\\ \text{m} (centro dos 4 m).
  • Da equação de momentos: R_B = \frac{W\cdot 2{,}00}{6{,}00}=\frac{48\cdot 2}{6}=16\\ \text{kN}.
  • Logo R_A=48-16=32\\ \text{kN}.

Passo 3

Força cortante Q(x). Vou escrever as expressões por trechos (ação da carga até x=4{,}00, e depois sem carga até 6{,}00).
  • Para 0\le x\le 4{,}00\\ \text{m} (trecho carregado): Q(x)=R_A - w\,x = 32-12x\quad(\text{kN}).Exemplos: Q(0)=32\\ \text{kN}. Q(4^-)=32-12\cdot4=32-48=-16\\ \text{kN}.
  • Para 4{,}00<x\le 6{,}00\\ \text{m} (sem carregamento, somente efeito do resultante já aplicada): Q(x)=R_A - W = 32-48=-16\\ \text{kN}\quad(\text{constante}).
  • No apoio B há uma subida do cortante de -16\\ \text{kN} para zero graças a R_B=+16\\ \text{kN}.
Interpretação qualitativa: o diagrama é linear decrescente de +32 até -16 no trecho carregado e então constante -16 até o apoio B, onde volta a zero.

Passo 4

Momento fletor M(x). Novamente por trechos.
  • Para 0\le x\le 4{,}00\\ \text{m}: M(x)=R_A x - \frac{w x^2}{2} =32x - 6x^2\quad(\text{kN}\cdot\text{m}).Verificação: M(0)=0.
  • Para 4{,}00<x\le 6{,}00\\ \text{m} (a carga total W atua em x=2{,}00): M(x)=R_A x - W(x-2{,}00)=32x -48(x-2)= -16x +96\quad(\text{kN}\cdot\text{m}).Verificação de continuidade: em x=4 obtém-se M(4)=32\\ \text{kN}\cdot\text{m} de ambos os lados.
  • O máximo de M ocorre onde Q(x)=0 (no trech0 carregado): 32-12x=0\Rightarrow x=\dfrac{32}{12}=2{,}666\ldots\\ \text{m}=\dfrac{8}{3}\\ \text{m}.
  • Momento máximo: M_{\max}=M\!\left(\frac{8}{3}\right) =32\cdot\frac{8}{3}-6\left(\frac{8}{3}\right)^2 =\frac{256}{3}-\frac{384}{9}=\frac{128}{3}=42{,}666\ldots\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 5

Características geométricas da seção (cálculo da posição do centroide vertical \bar y). Vou medir y a partir da base inferior (fundo da placa inferior) para facilitar.
Componentes (peguei dimensões da figura):
  • Flange inferior: largura b_f=80\\ \text{cm}, espessura t_f=20\\ \text{cm}. Área A_f=80\cdot20=1600\\ \text{cm}^2. Centróide a y_f=10\\ \text{cm} acima do fundo.
  • Cada web (duas iguais): largura (espessura) b_w=20\\ \text{cm}, altura h_w=100\\ \text{cm}. Área de cada A_w=20\cdot100=2000\\ \text{cm}^2. Centróide a y_w=20+ \tfrac{100}{2}=70\\ \text{cm} acima do fundo (porque a base tem 20 cm de espessura).
  • Área total: A_{\text{tot}}=A_f+2A_w=1600+4000=5600\\ \text{cm}^2.
  • Posição do centroide (altura): \bar y=\frac{A_f y_f + 2A_w y_w}{A_{\text{tot}}} =\frac{1600\cdot 10 + 4000\cdot 70}{5600} =\frac{296000}{5600}=52{,}857142\\ \text{cm}.

Passo 6

Momento de inércia da seção em relação ao centroide (usar teorema dos eixos paralelos). Trabalhar em cm e depois converter para m.
  • Inércia de um retângulo em torno de seu centro: I_{cent}= \dfrac{b h^3}{12} (em \text{cm}^4 se b,h em cm).
  1. Flange inferior:
I_{f,cent}=\frac{80\cdot 20^3}{12}=53333{,}3333\\ \text{cm}^4.
Distância entre centróides: d_f=\bar y - y_f=52{,}857142-10=42{,}857142\\ \text{cm}.
I_f = I_{f,cent} + A_f d_f^2 =53333{,}3333 + 1600\cdot(42{,}857142)^2 \approx 2\,992\,108{,}8435\\ \text{cm}^4.
  1. Cada web:
I_{w,cent}=\frac{20\cdot 100^3}{12}=1\,666\,666{,}6667\\ \text{cm}^4.
Distância d_w=y_w-\bar y=70-52{,}857142=17{,}142858\\ \text{cm}.
I_w = I_{w,cent}+A_w d_w^2 =1\,666\,666{,}6667 + 2000\cdot(17{,}142858)^2 \approx 2\,254\,421{,}7687\\ \text{cm}^4
Para duas webs: 2I_w\approx 4\,508\,843{,}5374\\ \text{cm}^4.
  • Inércia total: I_{\text{tot}}=I_f + 2I_w \approx 7\,500\,952{,}38095\\ \text{cm}^4.
  • Converter para \text{m}^4: 1\\ \text{cm}^4=10^{-8}\\ \text{m}^4, logo I=\;7{,}500{,}952{,}38095\times 10^{-8} \approx 0{,}0750095238\\ \text{m}^4.

Passo 7

Cálculo dos bras (distâncias do centroide às fibras extremas) e módulos de seção.
  • Altura total até fibra superior: y_{\text{top}}=120\\ \text{cm}=1{,}20\\ \text{m}. Distância ao centroide: c_{\text{top}}=1{,}20 - 0{,}5285714286 = 0{,}6714285714\\ \text{m}.(note que \bar y=0{,}5285714286\\ \text{m})
  • Distância à fibra inferior (fundo): c_{\text{bot}}=\bar y=0{,}5285714286\\ \text{m}.
  • Módulos de seção: S_{\text{top}}=\frac{I}{c_{\text{top}}}\approx\frac{0{,}0750095238}{0{,}6714285714}\approx 0{,}11172\\ \text{m}^3.
S_{\text{bot}}=\frac{I}{c_{\text{bot}}}\approx\frac{0{,}0750095238}{0{,}5285714286}\approx 0{,}14185\\ \text{m}^3.

Passo 8

Tensões por flexão (fórmula e aplicação). A fórmula simples (linha reta, hipótese de material elástico linear, pequena deformação) é:
\sigma=\frac{M\,y}{I}=\frac{M}{S},
onde M é o momento fletor (N·m), y distância da fibra ao neutro (m), I segundo momento de área (m^4) e S módulo de seção (m^3).
  • Usar o momento máximo encontrado M_{\max}=42{,}666\ldots\\ \text{kN}\cdot\text{m}=42\,666{,}6667\\ \text{N}\cdot\text{m}.
  • Tensão máxima na fibra superior (compressão se o momento for de tipo “sagging”): \sigma_{\text{top}}=\frac{M_{\max}}{S_{\text{top}}} \approx\frac{42666{,}6667}{0{,}11172}\approx 381{,}9\times 10^{3}\\ \text{Pa}=0{,}382\\ \text{MPa}.
  • Tensão máxima na fibra inferior (tração): \sigma_{\text{bot}}=\frac{M_{\max}}{S_{\text{bot}}} \approx\frac{42666{,}6667}{0{,}14185}\approx 300{,}0\times 10^{3}\\ \text{Pa}=0{,}300\\ \text{MPa}.
Observação sobre sinais: com carregamento para baixo o máximo é de “flambagem” sagging (top comprime, bottom traciona). Aqui damos os módulos (valores absolutos).

Passo 9

Verificação com \sigma_e e cálculo do fator de segurança.
  • Tensão admissível (escoamento) \sigma_e=280\\ \text{MPa}.
  • Maior tensão encontrada (valor absoluto) é \sigma_{\max}=\sigma_{\text{top}}\approx 0{,}382\\ \text{MPa}.
  • Fator de segurança: \text{FS}=\frac{\sigma_e}{\sigma_{\max}} \approx\frac{280}{0{,}382}\approx 733.
Interpretação: a tensão gerada pela carga é muito pequena em relação à tensão de escoamento do aço; a geometria dada é muito conservadora para esse carregamento (FS extremamente alto).

Resposta

(a) R_A=32\\ \text{kN},\; R_B=16\\ \text{kN}.
(b) Q(x)=32-12x (kN) para 0\le x\le 4{,}00\\ \text{m}; Q(x)=-16\\ \text{kN} para 4{,}00<x\le 6{,}00\\ \text{m}.
(c) M(x)=32x-6x^2 (kN·m) para 0\le x\le 4{,}00\\ \text{m}; M(x)=-16x+96 (kN·m) para 4{,}00<x\le 6{,}00\\ \text{m}. Momento máximo M_{\max}=42{,}666\\ \text{kN}\cdot\text{m} em x=2{,}666\\ \text{m}.
(d) Tensão máxima de tração: \sigma_{\text{tração}}\approx 0{,}300\\ \text{MPa}.çã
(e) Tensão máxima de compressão: \sigma_{\text{compressão}}\approx 0{,}382\\ \text{MPa}.ã
(f) Fator de segurança em relação a \sigma_e=280\\ \text{MPa}: \text{FS}\approx 733.

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