Questão 6
Vale 1,00 ponto(s).
Em uma fábrica de produtos cosméticos, glicerina está sendo aquecida no escoamento através de um tubo de diâmetro de 25 mm e 10 m de comprimento. Com vazão mássica de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, o fluxo de glicerina entra no tubo a 25^{\circ} \mathrm{C}. A superfície do tubo é mantida a uma temperatura de superfície constante de 140^{\circ} \mathrm{C}. Determine:
a) A temperatura média de saída

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os números diretamente do enunciado).
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro do tubo: D=25\\ \text{mm}=0{,}025\\ \text{m}.
    • Comprimento do tubo: L=10\\ \text{m}.
    • Vazão mássica: \dot m=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}.
    • Temperatura de entrada (temperatura média do fluido na entrada): T_{m,\text{in}}=25^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura da parede (constante): T_w=140^\circ\mathrm{C}.
  • O enunciado pede:
    • Determinar a temperatura média de saída T_{m,\text{out}} do escoamento de glicerina.
Observação importante: para calcular T_{m,\text{out}} é preciso conhecer o coeficiente de troca térmica convectiva h. Para obter h usarei correlações convencionais para escoamento interno em tubo e assumirei propriedades físicas aproximadas da glicerina no “filme” (temperatura média entre fluido e parede). As aproximações serão explicitadas quando usadas.

Passo 2

Montagem do balanço de energia e fórmula usada (passo didático: de onde sai a expressão exponencial).
Considere uma seção diferencial de comprimento dx do tubo. Balanço de energia (estado estacionário, fluxo unidimensional, propriedades constantes ao longo do tubo):
  • Taxa de aumento de energia térmica do fluido em dx é \dot m c_p\,dT_m.
  • Potência trocada pela parede para o fluido em dx é q' = h P\,dx\,(T_w-T_m), onde P é o perímetro interno do tubo.
Equilíbrio:
\dot m c_p\,\frac{dT_m}{dx} = h P (T_w - T_m).
Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Reorganizando:
\frac{dT_m}{dx} + \frac{hP}{\dot m c_p}\,T_m = \frac{hP}{\dot m c_p}\,T_w.
Solução com condição T_m(0)=T_{m,\text{in}}:
T_m(x) - T_w = \bigl(T_{m,\text{in}}-T_w\bigr)\exp\!\left(-\frac{hP}{\dot m c_p}x\right).
Tomando x=L obtemos a fórmula prática para a temperatura média de saída:
T_{m,\text{out}} = T_w + \bigl(T_{m,\text{in}}-T_w\bigr)\exp\!\left(-\frac{hPL}{\dot m c_p}\right).
Explicação das variáveis:
  • T_m(x): temperatura média do fluido na seção a montante x.
  • \dot m: vazão mássica \mathrm{kg/s}.
  • c_p: capacidade térmica massiva do fluido \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • h: coeficiente de convecção \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • P=\pi D: perímetro interno do tubo \mathrm{m}.
  • L: comprimento útil do tubo \mathrm{m}.
Portanto resta calcular h e as propriedades termofísicas necessárias.

Passo 3

Cálculos geométricos e de vazão para obter velocidade e área (passo a passo numérico).
Área da seção interna do tubo:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}025)^2}{4} = 4{,}9087\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Perímetro interno:
P=\pi D=\pi\cdot0{,}025=0{,}07854\\ \mathrm{m}.
Vazão volumétrica (a partir da vazão mássica e densidade; usarei densidade na etapa de propriedades):
Q=\frac{\dot m}{\rho}.
Velocidade média:
u=\frac{Q}{A}=\frac{\dot m}{\rho A}.
Para calcular u preciso da densidade \rho — vemos isso na próxima etapa onde escolho as propriedades da glicerina.

Passo 4

Escolha das propriedades da glicerina e justificativa (assunção e valores numéricos).
Vou avaliar propriedades em torno da temperatura de filme aproximada
T_f = \frac{T_{m,\text{in}}+T_w}{2}=\frac{25+140}{2}=82{,}5^\circ\mathrm{C},
que é uma prática comum para escolher propriedades médias quando há variação de temperatura significativa.
Propriedades aproximadas da glicerina pura em T_f (valores típicos retirados de tabelas; estou usando valores arredondados e razoáveis para cálculos de prova):
  • Densidade: \rho=1260\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Capacidade térmica: c_p=2410\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Condutividade térmica: k=0{,}29\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=0{,}02\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor aproximado a \sim 80^\circ\mathrm{C}; a viscosidade cai muito com a temperatura).
Observação empática: sei que esses valores variam com a origem dos dados, mas para uma prova é aceitável usar propriedades no T_f e mostrar os passos; vou declarar explicitamente os valores usados.
Agora calculo velocidade, Re e Pr.
Vazão volumétrica:
Q=\frac{\dot m}{\rho}=\frac{0{,}5}{1260}=3{,}9683\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Velocidade média:
u=\frac{Q}{A}=\frac{3{,}9683\times10^{-4}}{4{,}9087\times10^{-4}}=0{,}808\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho u D}{\mu}=\frac{1260\cdot0{,}808\cdot0{,}025}{0{,}02}\approx1273.
Conclusão: o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}<2300).
Número de Prandtl:
\mathrm{Pr}=\frac{\mu c_p}{k}=\frac{0{,}02\cdot2410}{0{,}29}\approx166{,}2.
Comentário: \mathrm{Pr} grande significa baixa difusividade térmica relativa — o desenvolvimento térmico é longo.

Passo 5

Escolha da correlação para h. Explicação do porquê da correlação escolhida.
  • O escoamento é laminar e o tubo é relativamente longo: L/D=10/0{,}025=400.
  • Porém, devido ao produto \mathrm{Re}\cdot\mathrm{Pr} elevado, a camada térmica desenvolve-se lentamente e o regime térmico é desenvolvendo ao longo de grande parte do tubo.
  • Para laminar e desenvolvimento térmico interno, uma correlação prática para o Nusselt médio \mathrm{Nu}_m (caso de parede com temperatura constante) é a forma empírica:
\mathrm{Nu}_m \approx 3{,}66 + \frac{0{,}0668\,G}{1 + 0{,}04\,G^{2/3}},
onde
G = \frac{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D}{L}.
Esta correlação capta o efeito da região de entrada térmica: quando G grande (curto comprimento relativo ou alto \mathrm{Re}\mathrm{Pr}) a segunda parcela domina; quando G\to0 recupera \mathrm{Nu}_m\to3{,}66 (limite termicamente desenvolvido).
Nota: essa é uma correlação comumente usada em problemas de prova para laminar desenvolvendo; escolhi-a por ser simples e adequada ao caso.
Calculemos G:
G=\frac{\mathrm{Re}\,\mathrm{Pr}\,D}{L}=\frac{1272{,}8\cdot166{,}2\cdot0{,}025}{10}\approx528{,}79.
Calcule a parte fracionária:
G^{2/3}\approx65{,}32,\qquad 1+0{,}04\,G^{2/3}\approx3{,}6128.
0{,}0668\,G\approx35{,}318.
\frac{0{,}0668\,G}{1+0{,}04\,G^{2/3}}\approx\frac{35{,}318}{3{,}6128}\approx9{,}7739.
Logo
\mathrm{Nu}_m \approx 3{,}66 + 9{,}7739 = 13{,}4339.
Agora o coeficiente h:
h=\frac{\mathrm{Nu}_m\,k}{D}=\frac{13{,}4339\cdot0{,}29}{0{,}025}\approx155{,}85\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.

Passo 6

Aplicação da fórmula exponencial para obter T_{m,\text{out}} e cálculo numérico final (passo a passo com os números).
Recordando a fórmula obtida no Passo 2:
T_{m,\text{out}} = T_w + \bigl(T_{m,\text{in}}-T_w\bigr)\exp\!\left(-\frac{hPL}{\dot m c_p}\right).
Calculemos o argumento exponencial:
  • Produto h P L:
h P L = 155{,}85\cdot(\pi\cdot0{,}025)\cdot10 =155{,}85\cdot0{,}785398\approx122{,}33\\ \mathrm{W/K}.
  • \dot m c_p = 0{,}5\cdot2410 =1205\\ \mathrm{W/K}.
  • Razão:
\frac{hPL}{\dot m c_p}=\frac{122{,}33}{1205}\approx0{,}10152.
  • Exponencial:
\exp\!\left(-\frac{hPL}{\dot m c_p}\right)=\exp(-0{,}10152)\approx0{,}90347.
Agora a temperatura de saída:
T_{m,\text{out}} = 140 + (25-140)\cdot0{,}90347 = 140 - 115\cdot0{,}90347 \approx 140 - 103{,}8986 = 36{,}1014^\circ\mathrm{C}.
Arredondando de forma adequada para uma prova: T_{m,\text{out}}\approx36{,}1^\circ\mathrm{C}.
Breve comentário de incentivo: deu trabalho por causa das propriedades e escolha de correlação, mas a técnica principal é sempre a mesma: encontrar h (via \mathrm{Nu}), montar o balanço diferencial e integrar — depois é só calcular.

Resposta

T_{m,\text{out}} \approx 36{,}1^\circ\mathrm{C}

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