Questão 6
Vale 1,00 ponto(s).
Em uma fábrica de produtos cosméticos, glicerina está sendo aquecida no escoamento através de um tubo de diâmetro de 25 mm e 10 m de comprimento. Com vazão mássica de
, o fluxo de glicerina entra no tubo a
. A superfície do tubo é mantida a uma temperatura de superfície constante de
. Determine:
a) A temperatura média de saída
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tirei os números diretamente do enunciado).
-
Dados do enunciado:
- Diâmetro do tubo:
. - Comprimento do tubo:
. - Vazão mássica:
. - Temperatura de entrada (temperatura média do fluido na entrada):
. - Temperatura da parede (constante):
.
- Diâmetro do tubo:
-
O enunciado pede:
- Determinar a temperatura média de saída
do escoamento de glicerina.
- Determinar a temperatura média de saída
Observação importante: para calcular
é preciso conhecer o coeficiente de troca térmica convectiva
. Para obter
usarei correlações convencionais para escoamento interno em tubo e assumirei propriedades físicas aproximadas da glicerina no “filme” (temperatura média entre fluido e parede). As aproximações serão explicitadas quando usadas.
Passo 2
Montagem do balanço de energia e fórmula usada (passo didático: de onde sai a expressão exponencial).
Considere uma seção diferencial de comprimento
do tubo. Balanço de energia (estado estacionário, fluxo unidimensional, propriedades constantes ao longo do tubo):
- Taxa de aumento de energia térmica do fluido em
é . - Potência trocada pela parede para o fluido em
é , onde é o perímetro interno do tubo.
Equilíbrio:
Esta é uma equação diferencial linear de 1ª ordem. Reorganizando:
Solução com condição
:
Tomando
obtemos a fórmula prática para a temperatura média de saída:
Explicação das variáveis:
-
: temperatura média do fluido na seção a montante . -
: vazão mássica . -
: capacidade térmica massiva do fluido . -
: coeficiente de convecção . -
: perímetro interno do tubo . -
: comprimento útil do tubo .
Portanto resta calcular
e as propriedades termofísicas necessárias.
Passo 3
Cálculos geométricos e de vazão para obter velocidade e área (passo a passo numérico).
Área da seção interna do tubo:
Perímetro interno:
Vazão volumétrica (a partir da vazão mássica e densidade; usarei densidade na etapa de propriedades):
Velocidade média:
Para calcular
preciso da densidade
— vemos isso na próxima etapa onde escolho as propriedades da glicerina.
Passo 4
Escolha das propriedades da glicerina e justificativa (assunção e valores numéricos).
Vou avaliar propriedades em torno da temperatura de filme aproximada
que é uma prática comum para escolher propriedades médias quando há variação de temperatura significativa.
Propriedades aproximadas da glicerina pura em
(valores típicos retirados de tabelas; estou usando valores arredondados e razoáveis para cálculos de prova):
- Densidade:
. - Capacidade térmica:
. - Condutividade térmica:
. - Viscosidade dinâmica:
(valor aproximado a ; a viscosidade cai muito com a temperatura).
Observação empática: sei que esses valores variam com a origem dos dados, mas para uma prova é aceitável usar propriedades no
e mostrar os passos; vou declarar explicitamente os valores usados.
Agora calculo velocidade,
e
.
Vazão volumétrica:
Velocidade média:
Número de Reynolds:
Conclusão: o escoamento é laminar (
).
Número de Prandtl:
Comentário:
grande significa baixa difusividade térmica relativa — o desenvolvimento térmico é longo.
Passo 5
Escolha da correlação para
. Explicação do porquê da correlação escolhida.
- O escoamento é laminar e o tubo é relativamente longo:
. - Porém, devido ao produto
elevado, a camada térmica desenvolve-se lentamente e o regime térmico é desenvolvendo ao longo de grande parte do tubo. - Para laminar e desenvolvimento térmico interno, uma correlação prática para o Nusselt médio
(caso de parede com temperatura constante) é a forma empírica:
onde
Esta correlação capta o efeito da região de entrada térmica: quando
grande (curto comprimento relativo ou alto
) a segunda parcela domina; quando
recupera
(limite termicamente desenvolvido).
Nota: essa é uma correlação comumente usada em problemas de prova para laminar desenvolvendo; escolhi-a por ser simples e adequada ao caso.
Calculemos
:
Calcule a parte fracionária:
Logo
Agora o coeficiente
:
Passo 6
Aplicação da fórmula exponencial para obter
e cálculo numérico final (passo a passo com os números).
Recordando a fórmula obtida no Passo 2:
Calculemos o argumento exponencial:
- Produto
:
-
-
Razão:
- Exponencial:
Agora a temperatura de saída:
Arredondando de forma adequada para uma prova:
.
Breve comentário de incentivo: deu trabalho por causa das propriedades e escolha de correlação, mas a técnica principal é sempre a mesma: encontrar
(via
), montar o balanço diferencial e integrar — depois é só calcular.