Uma carga 9 é distribulda uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio R.Determinar o potencial elétrico para:
todos os pontos no exterior da esfera,isto é,para r> R

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
  • Uma esfera isolante de raio R.
  • A carga total distribuída uniformemente sobre o volume da esfera é Q=9.
  • Quer-se determinar o potencial elétrico para todos os pontos no exterior da esfera, isto é, para r>R.
    Além disso, adotarei a convenção padrão de eletrostática de referência de potencial: V(\infty)=0 (potencial nulo no infinito), a menos que o enunciado peça outra referência.

Passo 2

Vamos obter primeiro o campo elétrico fora da esfera usando a lei de Gauss (apenas para achar E; a integração para o potencial vem depois).
A lei de Gauss em eletrostática diz:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0},
onde:
  • \vec{E} é o campo elétrico,
  • d\vec{A} é o elemento vetorial de área da superfície fechada \mathcal{S},
  • Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície,
  • \epsilon_0 é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a distribuição é uniforme e a esfera é simétrica), o campo fora depende apenas da distância radial r e aponta radialmente. Se escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio r com r>R, então \vec{E} tem módulo constante sobre essa superfície e é paralelo a d\vec{A}. Assim:
\oint_{\mathcal{S}} \vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot 4\pi r^{2}.
Como toda a carga da esfera está contida na superfície gaussiana para r>R, temos Q_{\text{enc}}=Q. Substituindo na lei de Gauss:
E(r)\cdot 4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_0}.
Logo:
E(r)=\frac{1}{4\pi \epsilon_0}\,\frac{Q}{r^{2}},\qquad r>R.

Passo 3

Agora ligamos o campo elétrico ao potencial elétrico. Em eletrostática vale a relação (em coordenada radial para campo radial):
E_r(r)=-\frac{dV}{dr},
onde:
  • E_r(r) é o componente radial do campo (aqui igual a E(r) obtido acima),
  • V(r) é o potencial elétrico escalar.
Reorganizando e integrando de r até \infty (usando V(\infty)=0) obtemos:
V(r)-V(\infty)=-\int_{r}^{\infty} E(r')\,dr'.
Substituindo E(r')=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q}{r'^{2}} e V(\infty)=0:
V(r)=-\int_{r}^{\infty} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{r'^{2}}\,dr'.
Calcule a integral passo a passo:
-\int_{r}^{\infty} \frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\,r'^{-2}\,dr' = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left[ -\frac{1}{r'}\right]_{r}^{\infty} = -\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left(0 -\left(-\frac{1}{r}\right)\right) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{1}{r}.
Portanto:
V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q}{r},\qquad r>R.

Passo 4

Substituindo Q=9 no resultado (mantendo a dependência em r e a permittividade \epsilon_0):
V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{9}{r},\qquad r>R.
Isto significa que, para pontos externos à esfera, o potencial é exatamente o mesmo que o potencial devido a uma carga pontual Q=9 situada no centro da esfera, com referência V(\infty)=0.

Passo 5

Resumo físico e dica para a prova (explicação didática curta):
  • A razão pela qual uma esfera com carga distribuída uniformemente se comporta, fora dela, como uma carga pontual é a simetria esférica: sobre qualquer superfície esférica concêntrica o campo tem o mesmo módulo em todos os pontos, o que permite aplicar diretamente a lei de Gauss. Em provas, ao ver “carga uniformemente distribuída em esfera” e pedir campo ou potencial fora, lembre-se imediatamente que vale a expressão de carga pontual com Q concentrada no centro.
  • Sempre explicite a referência de potencial (aqui usei V(\infty)=0); se a prova pedir outra referência, some/subtraia a constante apropriada.

Resposta

V(r)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{9}{r}\qquad (r>R)

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