Uma carga 9 é distribulda uniformemente ao longo de uma esfera isolante de raio R.Determinar o potencial elétrico para:
todos os pontos no exterior da esfera,isto é,para r> R
todos os pontos no exterior da esfera,isto é,para r> R
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos):
- Uma esfera isolante de raio
. - A carga total distribuída uniformemente sobre o volume da esfera é
. - Quer-se determinar o potencial elétrico para todos os pontos no exterior da esfera, isto é, para
.
Além disso, adotarei a convenção padrão de eletrostática de referência de potencial:(potencial nulo no infinito), a menos que o enunciado peça outra referência.
Passo 2
Vamos obter primeiro o campo elétrico fora da esfera usando a lei de Gauss (apenas para achar
; a integração para o potencial vem depois).
A lei de Gauss em eletrostática diz:
onde:
-
é o campo elétrico, -
é o elemento vetorial de área da superfície fechada , -
é a carga total contida dentro da superfície, -
é a permissividade do vácuo.
Por simetria esférica (a distribuição é uniforme e a esfera é simétrica), o campo fora depende apenas da distância radial
e aponta radialmente. Se escolhemos como superfície gaussiana uma esfera de raio
com
, então
tem módulo constante sobre essa superfície e é paralelo a
. Assim:
Como toda a carga da esfera está contida na superfície gaussiana para
, temos
. Substituindo na lei de Gauss:
Logo:
Passo 3
Agora ligamos o campo elétrico ao potencial elétrico. Em eletrostática vale a relação (em coordenada radial para campo radial):
onde:
-
é o componente radial do campo (aqui igual a obtido acima), -
é o potencial elétrico escalar.
Reorganizando e integrando de
até
(usando
) obtemos:
Substituindo
e
:
Calcule a integral passo a passo:
Portanto:
Passo 4
Substituindo
no resultado (mantendo a dependência em
e a permittividade
):
Isto significa que, para pontos externos à esfera, o potencial é exatamente o mesmo que o potencial devido a uma carga pontual
situada no centro da esfera, com referência
.
Passo 5
Resumo físico e dica para a prova (explicação didática curta):
- A razão pela qual uma esfera com carga distribuída uniformemente se comporta, fora dela, como uma carga pontual é a simetria esférica: sobre qualquer superfície esférica concêntrica o campo tem o mesmo módulo em todos os pontos, o que permite aplicar diretamente a lei de Gauss. Em provas, ao ver “carga uniformemente distribuída em esfera” e pedir campo ou potencial fora, lembre-se imediatamente que vale a expressão de carga pontual com
concentrada no centro. - Sempre explicite a referência de potencial (aqui usei
); se a prova pedir outra referência, some/subtraia a constante apropriada.