Uma carga ligada em série drena uma corrente \mathrm{i}(\mathrm{t})=5 \cos \left(60 \pi \mathrm{t}+20^{\circ}\right) A quando a tensão aplicada é \mathrm{v}(\mathrm{t})=120 \cdot \cos \left(60 \pi \mathrm{t}-50^{\circ}\right) \mathrm{V}. Determine a potência aparente e o fator de potência da carga. Estabeleça os valores dos elementos que formam a carga conectada em série.

Passo 1

O enunciado dá as formas temporais da corrente e da tensão aplicadas à carga em série e pede:
  • Determinar a potência aparente e o fator de potência da carga.
  • Determinar os valores dos elementos que formam a carga conectada em série.
Informações fornecidas:
  • Corrente: i(t)=5\cos\!\left(60\pi t + 20^\circ\right) A. Isso significa amplitude (pico) \,I_m=5 A e fase \theta_i=+20^\circ.
  • Tensão: v(t)=120\cos\!\left(60\pi t - 50^\circ\right) V. Isso significa amplitude (pico) \,V_m=120 V e fase \theta_v=-50^\circ.
  • A frequência angular é \omega=60\pi rad/s (deduzida do argumento).
O que preciso entregar:
  1. Potência aparente (S) e fator de potência (valor numérico e indicação se é indutivo/reativo ou capacitivo/adiantado).
  2. Valores dos elementos da carga série (resistência R e reatância X; e, no caso de reatância capacitiva, o valor da capacitância C, ou se fosse indutiva, a indutância L).

Passo 2

Primeiro passo técnico (filosofia prática): trabalhar com fasores e valores RMS, porque as fórmulas de potência em corrente alternada usam valores RMS e fasores.
Como transformar pico em RMS e montar os fasores:
  • Valor RMS de uma grandeza com amplitude de pico A_m é A_{\text{rms}}=A_m/\sqrt{2}. V_{\text{rms}}=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{120}{\sqrt{2}}\\ \text{V},\qquad I_{\text{rms}}=\dfrac{I_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\\ \text{A}.
  • Numericamente: V_{\text{rms}}=\dfrac{120}{\sqrt{2}}\approx 84{,}8528\\ \text{V}, \qquad I_{\text{rms}}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}\approx 3{,}5355\\ \text{A}.
  • Fasores (na forma polar, usando os ângulos do cosseno dado): \widetilde{V}=V_{\text{rms}}\angle\theta_v=84{,}8528\angle(-50^\circ)\\ \text{V}, \qquad \widetilde{I}=I_{\text{rms}}\angle\theta_i=3{,}5355\angle(+20^\circ)\\ \text{A}.
Explicação curta do porquê: usar RMS e fasores permite aplicar diretamente \,S=\widetilde{V}\,\widetilde{I}^*, onde ^* é conjugado complexo, e obter potência aparente/ativa/reativa facilmente.

Passo 3

Calcular a potência aparente complexa \,S.
Fórmula e interpretação:
S=\widetilde{V}\,\widetilde{I}^*.
Se \widetilde{V}=V_{\text{rms}}\angle\theta_v e \widetilde{I}=I_{\text{rms}}\angle\theta_i, então
S=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\angle(\theta_v-\theta_i).
Aqui:
\theta_v-\theta_i = (-50^\circ)-(+20^\circ) = -70^\circ.
Produto das magnitudes:
V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}=\dfrac{V_m I_m}{2}=\dfrac{120\cdot 5}{2}=300.
Portanto:
S=300\angle(-70^\circ)\\ \text{VA}.
Separando em parte real (potência ativa P) e imaginária (potência reativa Q):
P=\Re(S)=300\cos(-70^\circ),\qquad Q=\Im(S)=300\sin(-70^\circ).
Cálculos numéricos (use trigonometria conhecida: \cos70^\circ\approx0{,}342020, \sin70^\circ\approx0{,}939693):
P=300\cos(-70^\circ)=300\cos70^\circ\approx 300\cdot 0{,}342020\approx 102{,}606\\ \text{W},
Q=300\sin(-70^\circ)=300\cdot(-\sin70^\circ)\approx 300\cdot(-0{,}939693)\approx -281{,}908\\ \text{var}.
Interpretação do sinal de Q: Q<0 significa potência reativa capacitiva (corrente adiantada em relação à tensão).

Passo 4

Calcular o fator de potência (FP) e interpretar adiantado/atrasado.
Definição e cálculo:
\text{FP}=\cos(\theta_v-\theta_i)=\cos(-70^\circ)=\cos70^\circ\approx 0{,}342.
Como \theta_v-\theta_i=-70^\circ<0, a corrente está adiantada em relação à tensão (isto é típico de carga capacitiva). Então:
\text{FP}=0{,}342\quad\text{(adiantado / leading)}.
Comentário curto e encorajador: PF baixo (0,342) significa que a carga consome muita potência reativa relativa à ativa — ponto a lembrar em prova.

Passo 5

Determinar a impedância equivalente da carga em série e separar em R e X.
A impedância é:
\widetilde{Z}=\dfrac{\widetilde{V}}{\widetilde{I}}.
Usando magnitudes e ângulos já encontrados:
\widetilde{Z}=\dfrac{V_{\text{rms}}}{I_{\text{rms}}}\angle(\theta_v-\theta_i)=\dfrac{84{,}8528}{3{,}5355}\angle(-70^\circ).
A razão de magnitudes simplifica diretamente para:
|\widetilde{Z}|=\dfrac{V_m}{I_m}=\dfrac{120}{5}=24\\ \Omega,
então
\widetilde{Z}=24\angle(-70^\circ)\\ \Omega.
Converter para forma retangular R+jX:
R=|\widetilde{Z}|\cos(-70^\circ)=24\cos70^\circ, \qquad X=|\widetilde{Z}|\sin(-70^\circ)=24\sin(-70^\circ).
Cálculo numérico:
R\approx 24\cdot 0{,}342020 \approx 8{,}2085\\ \Omega,
X\approx 24\cdot(-0{,}939693) \approx -22{,}5526\\ \Omega.
Interpretação: R\approx 8{,}2085\\ \Omega e X\approx -22{,}5526\\ \Omega. O sinal negativo em X confirma reatância capacitiva.

Passo 6

Determinar o valor do capacitor associado à reatância X_C.
Relação entre reatância capacitiva e capacitância:
X_C=-\dfrac{1}{\omega C}\quad\Longrightarrow\quad C=\dfrac{1}{\omega |X_C|}.
Aqui \omega=60\pi\\ \text{rad/s} e |X_C|=22{,}5526\\ \Omega. Então:
C=\dfrac{1}{60\pi\cdot 22{,}5526}.
Cálculo numérico:
60\pi\approx 188{,}4956,\qquad 60\pi\cdot22{,}5526\approx 4{,}251{,}097,
C\approx \dfrac{1}{4{,}251{,}097}\\ \text{F}\approx 2{,}35294\times 10^{-4}\\ \text{F}=235{,}294\\ \mu\text{F}.
Arredondando de forma prática para uso em prova ou projeto:
C\approx 235{,}3\\ \mu\text{F}.

Passo 7

Cheque rápido (autoverificação útil na prova): a potência ativa também pode ser obtida por
P=I_{\text{rms}}^2 R.
Calculando:
I_{\text{rms}}^2=(3{,}5355)^2\approx 12{,}5,\qquad P\approx 12{,}5\cdot 8{,}2085\approx 102{,}606\\ \text{W},
compatível com o valor obtido antes — bom sinal de consistência.

Resposta

S=300\angle(-70^\circ)\\ \mathrm{VA} (ou S\approx 102{,}606 - j281{,}908\\ \mathrm{VA})
\mathrm{PF}=\cos(-70^\circ)\approx 0{,}342 (adiantado / leading)
R\approx 8{,}2085\\ \Omega
X\approx -22{,}5526\\ \Omega (reatância capacitiva)
C\approx 235{,}3\\ \mu\text{F}

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