4.6 Uma carga de madeira de peso W=25 \mathrm{kN} está sendo erguida por um guindaste móvel. Sabendo que a traçio é 25 kN em todas as partes do cabo A E F e que o peso do braço A B C é 3 kN , determine (a) a tração na haste C D, (b) a reação no pino B.

Passo 1

O enunciado dado (texto) fornece as seguintes informações explícitas:
W=25\\ \mathrm{kN}
(uma carga de madeira de peso 25\\ \mathrm{kN} está sendo erguida) e que a tração no cabo A\!-\!E\!-\!F é
T_{\text{cabo}}=25\\ \mathrm{kN}
em toda a extensão. Também é informado que o peso do braço A B C é
W_{\text{braço}}=3\\ \mathrm{kN}.ç
As perguntas do enunciado são:
(a) determinar a tração na haste C D, e
(b) determinar a reação no pino B.
Importante: o enunciado menciona pontos geométricos ( A,B,C,D,E,F) e forças aplicadas, mas a figura com posições relativas, angulações e distâncias (por exemplo: posição da carga em relação ao braço, ponto de aplicação da tração no cabo em A, comprimentos ou ângulos do braço, a orientação da haste C D, distâncias horizontais/verticais de cada força em relação ao pino B etc.) NÃO foi fornecida. Essas informações geométricas são essenciais para determinar numericamente momentos e, portanto, as forças solicitadas. Sem a figura ou os dados geométricos (ângulos, distâncias ou coordenadas dos pontos) NÃO é possível calcular valores numéricos para (a) e (b).

Passo 2

O que farei então: vou explicar didaticamente o método correto (o que você faria na prova) e apresentar as fórmulas gerais que permitem obter as respostas assim que você tiver as distâncias/ângulos da figura. Isto te deixa preparado para resolver rapidamente quando tiver a figura.
Primeiro, conceitos básicos de equilíbrio estático (aquela “aula” que a prova pede):
  • Para um corpo rígido em equilíbrio no plano, as três equações de equilíbrio são
\sum F_x = 0,\qquad \sum F_y = 0,\qquad \sum M_O = 0,
onde \sum F_x e \sum F_y somam as componentes horizontais e verticais de todas as forças, e \sum M_O é a soma dos momentos (torques) de todas as forças em torno de um ponto O.
  • A reação no pino B é uma força resultante com duas componentes desconhecidas: R_{Bx} e R_{By}. Na prática vamos escrever as duas primeiras equações para obter essas componentes.
  • A haste C D, sendo uma “haste” (provavelmente articulada em C e D sem cargas distribuídas), é um membro de duas forças: isto significa que a força interna transmitida pela haste é aplicada somente nas extremidades e tem direção ao longo da própria haste. Logo, a tração na haste é uma força axial \,T_{CD}\, dirigida ao longo da linha que conecta C e D.

Passo 3

Como normalmente se resolve um problema desse tipo (passo a passo que você faz na prova):
  1. Desenhe o diagrama de corpo livre (DCL) do conjunto (braço + haste) isolando a peça que contém A,B,C e a ligação em C à haste C D. Marque todas as forças conhecidas:
  • T_{\text{cabo}}=25\\ \mathrm{kN} atuando no ponto de aplicação (por exemplo, em A) ao longo da direção do cabo (essa direção precisa ser conhecida — ângulo ou reta).
  • Peso da carga W=25\\ \mathrm{kN} aplicado onde a carga puxa (se a carga está presa a F e o cabo passa por E e atua em A, o efeito no braço é a tração no ponto A; atenção à linha de ação).
  • Peso do braço W_{\text{braço}}=3\\ \mathrm{kN}ç, que pode ser tratado como atuando no centro de gravidade do braço (normalmente na metade do segmento relevante), cuja posição relativa a B precisa ser conhecida.
  • A haste C D fornece em C uma força \mathbf{T}_{CD} de direção ao longo da haste (desconhecida em módulo, direção conhecida pela geometria da haste).
  • No pino B surge a reação \mathbf{R}_B=(R_{Bx},R_{By}).
  1. Escreva as equações de equilíbrio. Uma escolha muito prática é tomar momentos em torno do pino B para eliminar \mathbf{R}_B e assim obter a tração na haste diretamente. A ideia é:
  • O momento causado pela haste C D em relação a B é igual ao momento causado pelas demais forças conhecidas (cabo e pesos) com sinal apropriado. Se d_{CD} for a distância perpendicular de B até a linha de ação da força ao longo de C D, então o momento devido a \mathbf{T}_{CD} vale T_{CD}\,d_{CD} (com sinal dependente do sentido).
  • Portanto, a equação dos momentos em torno de B fica, em forma escalar:
\sum M_B = 0 \quad\Rightarrow\quad T_{CD}\,d_{CD} + \sum (\text{momentas das outras forças em relação a }B) = 0.ççã
Rearranjando para T_{CD}:
\boxed{\,T_{CD}=\dfrac{-\sum (\text{momentas das outras forças em relação a }B)}{d_{CD}}\,}ççã
Aqui, cada momento é o produto da intensidade da força conhecida pela sua distância perpendicular ao pino B; o sinal (positivo/negativo) é escolhido conforme o sentido (rotacional) definido como positivo.
  1. Depois de encontrar o módulo T_{CD} (com sinal indicando tração ou compressão), use as duas equações de equilíbrio de forças para obter a reação no pino B:
\sum F_x = 0 \quad\Rightarrow\quad R_{Bx} + \sum F_{x,\text{outras}} = 0,
\sum F_y = 0 \quad\Rightarrow\quad R_{By} + \sum F_{y,\text{outras}} = 0.
Assim
\boxed{\,R_{Bx} = -\sum F_{x,\text{outras}}\,,\qquad R_{By} = -\sum F_{y,\text{outras}}\,}
onde nas somas entram as componentes horizontais e verticais da tração no cabo T_{\text{cabo}}, do peso da carga W (se aplicado diretamente no corpo considerado) e da componente em C proveniente da haste T_{CD} (essas componentes de T_{CD} são obtidas por projeção usando o ângulo da haste).

Passo 4

Como executar as contas concretas (o “tutorial” com fórmulas explícitas que você usa na prova), introduzindo variáveis geométricas:
  • Defina as distâncias/perpendiculares:
    • Seja d_{A} a distância perpendicular de B até a linha de ação da tração do cabo aplicada em A.
    • Seja d_{W} a distância perpendicular de B até o peso do braço W_{\text{braço}}=3\\ \mathrm{kN}ç (posição do CG do braço).
    • Seja d_{L} a distância perpendicular de B até a força causada pela carga (se houver força aplicada diretamente que não passe por A).
    • Seja d_{CD} a distância perpendicular de B até a linha de ação da haste C D.
  • A soma de momentos em torno de B (tomando sentido positivo para, por exemplo, anti-horário) é:
T_{CD}\,d_{CD} + T_{\text{cabo}}\,d_{A} + W_{\text{braço}}\,d_{W} + W\,d_{L} = 0,ç
onde cada termo tem sinal de acordo com o sentido de rotação. Rearranjando,
\boxed{\,T_{CD} = -\dfrac{T_{\text{cabo}}\,d_{A} + W_{\text{braço}}\,d_{W} + W\,d_{L}}{d_{CD}}\,.}ç
Observações importantes:
  • Os sinais (os termos positivos ou negativos dentro da soma) dependem do sentido de cada momento; por isso, ao aplicar na prova, coloque corretamente o sinal de cada termo.
  • Se a tração do cabo e o peso W agirem de tal forma que produzam momentos de sentidos opostos, haverá subtração em vez de soma no numerador.
  • Depois, componha as forças horizontais e verticais (ex.: se a haste CD faz ângulo \theta com a horizontal, então)
T_{CD,x} = T_{CD}\cos\theta,\qquad T_{CD,y}=T_{CD}\sin\theta.
Se a tração do cabo faz ângulo \varphi com a horizontal,
T_{\text{cabo},x}=T_{\text{cabo}}\cos\varphi,\qquad T_{\text{cabo},y}=T_{\text{cabo}}\sin\varphi.
Então as reações no pino B são
\boxed{\,R_{Bx} = -(T_{\text{cabo},x} + T_{CD,x} + \text{outras componentes }x),\quad R_{By}=-(T_{\text{cabo},y} + T_{CD,y} - W_{\text{braço}} - W + \text{outras }y)\,}ç
(adapte sinais conforme a orientação escolhida).

Passo 5

Resumo prático do que você precisa para calcular numéricamente na prova (faça isso rápido quando tiver a figura):
  • Identifique a linha de ação de cada força e meça a distância perpendicular de B até cada linha de ação ( d_A,d_W,d_L,d_{CD}).
  • Calcule o momento total em torno de B devido às forças conhecidas (cabo e pesos).
  • Use a fórmula
T_{CD}=-\dfrac{\text{momento total das forças conhecidas em relação a }B}{d_{CD}}ççã
para achar T_{CD}.
  • Projetar T_{CD} nas direções x e y usando o ângulo da haste e, em seguida, aplicar \sum F_x=0 e \sum F_y=0 para encontrar R_{Bx} e R_{By}.

Passo 6

Conclusão prática para o enunciado que você enviou: como a figura/posições/distâncias e ângulos NÃO foram fornecidos, não há como calcular valores numéricos específicos para (a) e (b). Posso:
  • (i) aplicar as fórmulas acima imediatamente se você me passar os valores das distâncias perpendiculares e dos ângulos (ou as coordenadas dos pontos), ou
  • (ii) resolver numericamente para você se você enviar a figura ou os dados geométricos (distâncias/ângulos).

Resposta

Não é possível determinar numericamente T_{CD} nem \mathbf{R}_B porque a figura com as posições/ângulos/distâncias dos pontos A,B,C,D,E,F não foi fornecida; faltam as distâncias perpendiculares (por exemplo d_A,d_W,d_L,d_{CD}) e ângulos necessários para calcular momentos e componentes.\n\nEm termos das variáveis geométricas, as expressões gerais são:\n\n T_{CD}=-\dfrac{T_{\text{cabo}}\,d_{A}+W_{\text{braço}}\,d_{W}+W\,d_{L}}{d_{CD}}ç\n\n R_{Bx}=-(T_{\text{cabo}}\cos\varphi + T_{CD}\cos\theta + \dots)\n\n R_{By}=-(T_{\text{cabo}}\sin\varphi + T_{CD}\sin\theta - W_{\text{braço}} - W + \dots)ç\n\n(onde \varphi é o ângulo do cabo com a horizontal, \theta é o ângulo da haste CD com a horizontal, e os pontos suspensivos indicam quaisquer outras componentes horizontais/verticais que apareçam conforme a figura).

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