4.6 Uma carga de madeira de peso
está sendo erguida por um guindaste móvel. Sabendo que a traçio é 25 kN em todas as partes do cabo
e que o peso do braço
é 3 kN , determine (a) a tração na haste
, (b) a reação no pino
.
Passo 1
O enunciado dado (texto) fornece as seguintes informações explícitas:
(uma carga de madeira de peso
está sendo erguida) e que a tração no cabo
é
em toda a extensão. Também é informado que o peso do braço
é
As perguntas do enunciado são:
(a) determinar a tração na haste , e
(b) determinar a reação no pino .
(a) determinar a tração na haste
(b) determinar a reação no pino
Importante: o enunciado menciona pontos geométricos (
) e forças aplicadas, mas a figura com posições relativas, angulações e distâncias (por exemplo: posição da carga em relação ao braço, ponto de aplicação da tração no cabo em
, comprimentos ou ângulos do braço, a orientação da haste
, distâncias horizontais/verticais de cada força em relação ao pino
etc.) NÃO foi fornecida. Essas informações geométricas são essenciais para determinar numericamente momentos e, portanto, as forças solicitadas. Sem a figura ou os dados geométricos (ângulos, distâncias ou coordenadas dos pontos) NÃO é possível calcular valores numéricos para (a) e (b).
Passo 2
O que farei então: vou explicar didaticamente o método correto (o que você faria na prova) e apresentar as fórmulas gerais que permitem obter as respostas assim que você tiver as distâncias/ângulos da figura. Isto te deixa preparado para resolver rapidamente quando tiver a figura.
Primeiro, conceitos básicos de equilíbrio estático (aquela “aula” que a prova pede):
- Para um corpo rígido em equilíbrio no plano, as três equações de equilíbrio são
onde
e
somam as componentes horizontais e verticais de todas as forças, e
é a soma dos momentos (torques) de todas as forças em torno de um ponto
.
- A reação no pino
é uma força resultante com duas componentes desconhecidas: e . Na prática vamos escrever as duas primeiras equações para obter essas componentes. - A haste
, sendo uma “haste” (provavelmente articulada em e sem cargas distribuídas), é um membro de duas forças: isto significa que a força interna transmitida pela haste é aplicada somente nas extremidades e tem direção ao longo da própria haste. Logo, a tração na haste é uma força axial dirigida ao longo da linha que conecta e .
Passo 3
Como normalmente se resolve um problema desse tipo (passo a passo que você faz na prova):
- Desenhe o diagrama de corpo livre (DCL) do conjunto (braço + haste) isolando a peça que contém
e a ligação em à haste . Marque todas as forças conhecidas:
-
atuando no ponto de aplicação (por exemplo, em ) ao longo da direção do cabo (essa direção precisa ser conhecida — ângulo ou reta). - Peso da carga
aplicado onde a carga puxa (se a carga está presa a e o cabo passa por e atua em , o efeito no braço é a tração no ponto ; atenção à linha de ação). - Peso do braço
, que pode ser tratado como atuando no centro de gravidade do braço (normalmente na metade do segmento relevante), cuja posição relativa a precisa ser conhecida. - A haste
fornece em uma força de direção ao longo da haste (desconhecida em módulo, direção conhecida pela geometria da haste). - No pino
surge a reação .
- Escreva as equações de equilíbrio. Uma escolha muito prática é tomar momentos em torno do pino
para eliminar e assim obter a tração na haste diretamente. A ideia é:
- O momento causado pela haste
em relação a é igual ao momento causado pelas demais forças conhecidas (cabo e pesos) com sinal apropriado. Se for a distância perpendicular de até a linha de ação da força ao longo de , então o momento devido a vale (com sinal dependente do sentido). - Portanto, a equação dos momentos em torno de
fica, em forma escalar:
Rearranjando para
:
Aqui, cada momento é o produto da intensidade da força conhecida pela sua distância perpendicular ao pino
; o sinal (positivo/negativo) é escolhido conforme o sentido (rotacional) definido como positivo.
- Depois de encontrar o módulo
(com sinal indicando tração ou compressão), use as duas equações de equilíbrio de forças para obter a reação no pino :
Assim
onde nas somas entram as componentes horizontais e verticais da tração no cabo
, do peso da carga
(se aplicado diretamente no corpo considerado) e da componente em
proveniente da haste
(essas componentes de
são obtidas por projeção usando o ângulo da haste).
Passo 4
Como executar as contas concretas (o “tutorial” com fórmulas explícitas que você usa na prova), introduzindo variáveis geométricas:
-
Defina as distâncias/perpendiculares:
- Seja
a distância perpendicular de até a linha de ação da tração do cabo aplicada em . - Seja
a distância perpendicular de até o peso do braço (posição do CG do braço). - Seja
a distância perpendicular de até a força causada pela carga (se houver força aplicada diretamente que não passe por ). - Seja
a distância perpendicular de até a linha de ação da haste .
- Seja
-
A soma de momentos em torno de
(tomando sentido positivo para, por exemplo, anti-horário) é:
onde cada termo tem sinal de acordo com o sentido de rotação. Rearranjando,
Observações importantes:
-
Os sinais (os termos positivos ou negativos dentro da soma) dependem do sentido de cada momento; por isso, ao aplicar na prova, coloque corretamente o sinal de cada termo.
-
Se a tração do cabo e o peso
agirem de tal forma que produzam momentos de sentidos opostos, haverá subtração em vez de soma no numerador. -
Depois, componha as forças horizontais e verticais (ex.: se a haste
faz ângulo com a horizontal, então)
Se a tração do cabo faz ângulo
com a horizontal,
Então as reações no pino
são
(adapte sinais conforme a orientação escolhida).
Passo 5
Resumo prático do que você precisa para calcular numéricamente na prova (faça isso rápido quando tiver a figura):
- Identifique a linha de ação de cada força e meça a distância perpendicular de
até cada linha de ação ( ). - Calcule o momento total em torno de
devido às forças conhecidas (cabo e pesos). - Use a fórmula
para achar
.
- Projetar
nas direções e usando o ângulo da haste e, em seguida, aplicar e para encontrar e .
Passo 6
Conclusão prática para o enunciado que você enviou: como a figura/posições/distâncias e ângulos NÃO foram fornecidos, não há como calcular valores numéricos específicos para (a) e (b). Posso:
- (i) aplicar as fórmulas acima imediatamente se você me passar os valores das distâncias perpendiculares e dos ângulos (ou as coordenadas dos pontos), ou
- (ii) resolver numericamente para você se você enviar a figura ou os dados geométricos (distâncias/ângulos).
Resposta
Não é possível determinar numericamente
nem
porque a figura com as posições/ângulos/distâncias dos pontos
não foi fornecida; faltam as distâncias perpendiculares (por exemplo
) e ângulos necessários para calcular momentos e componentes.\n\nEm termos das variáveis geométricas, as expressões gerais são:\n\n
\n\n
\n\n
\n\n(onde
é o ângulo do cabo com a horizontal,
é o ângulo da haste
com a horizontal, e os pontos suspensivos indicam quaisquer outras componentes horizontais/verticais que apareçam conforme a figura).