Um contínuo se deforma segundo o seguinte campo de deslocamentos:
\underline{u}(\underline{x})=\left[u_{x} \underline{e}_{x}+u_{y} \underline{e}_{y}+u_{z} \underline{e}_{z}\right]
\underline{u}(\underline{x})=\left[\left(3 x^{2} y+6\right) * 10^{-4} \underline{e}_{x}+\left(y^{2}+6 x z\right) * 10^{-4} \underline{e}_{y}+\left(6 z^{2}+2 y z+10\right) * 10^{-4} \underline{e}_{z}\right]
Para este campo de deslocamentos solicita-se:
a) a matriz gradiente \left[u_{i, j}\right]
b) O tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}+u_{j, i}\right)
c) O tensor de rotações infinitesimais (de corpo rígido) \omega_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}-u_{j, i}\right) e o vetor de rotações infinitesimais (de corpo rígido): \underline{\Omega}=\frac{1}{2} \nabla \times \underline{u}
Após a determinação das expressões gerais para os elementos acima solicitados, particularize para o ponto P de coordenadas \mathrm{P}(\mathrm{x}=1 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=0 \mathrm{~m}, \mathrm{z}=2 \mathrm{~m}).

Passo 1

O enunciado dá o campo de deslocamentos do contínuo em componentes cartesianas (com fator 10^{-4}):
\underline{u}(\underline{x})=\Big[(3x^{2}y+6)\,10^{-4}\,\underline{e}_{x}+(y^{2}+6xz)\,10^{-4}\,\underline{e}_{y}+(6z^{2}+2yz+10)\,10^{-4}\,\underline{e}_{z}\Big].
As perguntas são:
  1. Determinar a matriz gradiente [u_{i,j}], isto é, as derivadas parciais u_{i,j}=\partial u_i/\partial x_j para i,j\in\{x,y,z\}.
  2. Calcular o tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}).
  3. Calcular o tensor de rotações infinitesimais \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}-u_{j,i}) e o vetor de rotações infinitesimais \underline{\Omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\underline{u}.
  4. Particularizar todas as expressões no ponto P com coordenadas x=1\\ \mathrm{m},\\ y=0\\ \mathrm{m},\\ z=2\\ \mathrm{m}.
As informações relevantes (componentes de \underline{u}) estão explícitas acima e serão usadas diretamente para calcular derivadas parciais.

Passo 2

Vamos calcular a matriz gradiente [u_{i,j}]. Primeiro, escrevo as componentes (sem unidade) de forma explícita:
u_x=(3x^{2}y+6)\,10^{-4},\qquad u_y=(y^{2}+6xz)\,10^{-4},\qquad u_z=(6z^{2}+2yz+10)\,10^{-4}.
Explicação rápida sobre derivadas parciais: \partial u_x/\partial x significa derivar u_x como função de x mantendo y,z constantes; o mesmo para as outras combinações.
Agora calculo cada derivada parcial e deixo o fator 10^{-4} explícito:
  • \displaystyle u_{x,x}=\frac{\partial}{\partial x}(3x^{2}y+6)\,10^{-4}=(6xy)\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{x,y}=\frac{\partial}{\partial y}(3x^{2}y+6)\,10^{-4}=(3x^{2})\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{x,z}=\frac{\partial}{\partial z}(3x^{2}y+6)\,10^{-4}=0.
  • \displaystyle u_{y,x}=\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}+6xz)\,10^{-4}=(6z)\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{y,y}=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}+6xz)\,10^{-4}=(2y)\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{y,z}=\frac{\partial}{\partial z}(y^{2}+6xz)\,10^{-4}=(6x)\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{z,x}=\frac{\partial}{\partial x}(6z^{2}+2yz+10)\,10^{-4}=0.
  • \displaystyle u_{z,y}=\frac{\partial}{\partial y}(6z^{2}+2yz+10)\,10^{-4}=(2z)\,10^{-4}.
  • \displaystyle u_{z,z}=\frac{\partial}{\partial z}(6z^{2}+2yz+10)\,10^{-4}=(12z+2y)\,10^{-4}.
Colocando em forma matricial (linhas indexadas por i=x,y,z e colunas por j=x,y,z):
[u_{i,j}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 6xy & 3x^{2} & 0\\[4pt] 6z & 2y & 6x\\[4pt] 0 & 2z & 12z+2y \end{pmatrix}.
Observação: cada elemento desta matriz é uma função de x,y,z multiplicada por 10^{-4}.]

Passo 3

Agora o tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}). Física curta: \varepsilon_{ij} mede as mudanças simétricas de forma (extensão e cisalhamento), ou seja, a parte simétrica do gradiente de deslocamento. Vou calcular componente a componente usando as derivadas do Passo 2.
Componentes diagonais (normais):
  • \displaystyle \varepsilon_{xx}=u_{x,x}=(6xy)\,10^{-4}.
  • \displaystyle \varepsilon_{yy}=u_{y,y}=(2y)\,10^{-4}.
  • \displaystyle \varepsilon_{zz}=u_{z,z}=(12z+2y)\,10^{-4}.
Componentes fora da diagonal (simétricos):
  • \displaystyle \varepsilon_{xy}=\tfrac{1}{2}(u_{x,y}+u_{y,x})=\tfrac{1}{2}\big(3x^{2}+6z\big)\,10^{-4}.
  • \displaystyle \varepsilon_{xz}=\tfrac{1}{2}(u_{x,z}+u_{z,x})=\tfrac{1}{2}(0+0)=0.
  • \displaystyle \varepsilon_{yz}=\tfrac{1}{2}(u_{y,z}+u_{z,y})=\tfrac{1}{2}\big(6x+2z\big)\,10^{-4}.
Em matriz simétrica:
[\varepsilon_{ij}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 6xy & \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z) & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z) & 2y & \tfrac{1}{2}(6x+2z)\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}(6x+2z) & 12z+2y \end{pmatrix}.
Posso simplificar alguns termos algebricamente (por exemplo \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z)=\tfrac{3}{2}x^{2}+3z, \tfrac{1}{2}(6x+2z)=3x+z), mas mantive a forma média para mostrar a origem.]

Passo 4

Agora o tensor de rotações infinitesimais \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}-u_{j,i}). Interpretação: \omega_{ij} é a parte antissimétrica do gradiente de deslocamento, representando rotações infinitesimais de corpo rígido (sem deformação). Calculamos:
  • Diagonal: \omega_{xx}=\omega_{yy}=\omega_{zz}=0 (sempre zero, pois são antissimétricas e i=j).
  • Fora da diagonal:
    • \displaystyle \omega_{xy}=\tfrac{1}{2}(u_{x,y}-u_{y,x})=\tfrac{1}{2}\big(3x^{2}-6z\big)\,10^{-4}.
    • \displaystyle \omega_{xz}=\tfrac{1}{2}(u_{x,z}-u_{z,x})=0.
    • \displaystyle \omega_{yz}=\tfrac{1}{2}(u_{y,z}-u_{z,y})=\tfrac{1}{2}\big(6x-2z\big)\,10^{-4}.
A matriz antissimétrica é:
[\omega_{ij}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2}(3x^{2}-6z) & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2}(3x^{2}-6z) & 0 & \tfrac{1}{2}(6x-2z)\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2}(6x-2z) & 0 \end{pmatrix}.
Agora o vetor de rotações infinitesimais \underline{\Omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\underline{u}. Lembrete: o rotacional (curl) em componentes é
(\nabla\times\underline{u})_x=\partial_y u_z-\partial_z u_y,\quad (\nabla\times\underline{u})_y=\partial_z u_x-\partial_x u_z,\quad (\nabla\times\underline{u})_z=\partial_x u_y-\partial_y u_x.
Usando as derivadas já calculadas:
  • \displaystyle (\nabla\times\underline{u})_x=(u_{z,y}-u_{y,z})=(2z-6x)\,10^{-4}.
  • \displaystyle (\nabla\times\underline{u})_y=(u_{x,z}-u_{z,x})=(0-0)=0.
  • \displaystyle (\nabla\times\underline{u})_z=(u_{y,x}-u_{x,y})=(6z-3x^{2})\,10^{-4}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2},
\underline{\Omega}=10^{-4}\,\tfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2z-6x\\[4pt]0\\[4pt]6z-3x^{2}\end{pmatrix} =10^{-4}\begin{pmatrix}z-3x\\[4pt]0\\[4pt}3z-\tfrac{3}{2}x^{2}\end{pmatrix}.
Observação didática: o vetor \underline{\Omega} tem componentes que correspondem às rotações infinitesimais em torno dos eixos; ele está diretamente ligado à parte antissimétrica do gradiente.]

Passo 5

Particularização no ponto P(x=1,y=0,z=2). Substituo x=1,\\ y=0,\\ z=2 nas expressões do Passo 2–4. Vou calcular passo a passo números e sempre manter o fator de escala 10^{-4} convertido para notação científica com separador decimal por vírgula.
Primeiro, as derivadas parciais numéricas em P:
  • u_{x,x}(P)=(6xy)\,10^{-4}=6\cdot1\cdot0\,10^{-4}=0.
  • u_{x,y}(P)=(3x^{2})\,10^{-4}=3\cdot1^{2}\,10^{-4}=3\times10^{-4}.
  • u_{x,z}(P)=0.
  • u_{y,x}(P)=(6z)\,10^{-4}=6\cdot2\,10^{-4}=12\times10^{-4}=1,2\times10^{-3}.
  • u_{y,y}(P)=(2y)\,10^{-4}=0.
  • u_{y,z}(P)=(6x)\,10^{-4}=6\cdot1\,10^{-4}=6\times10^{-4}.
  • u_{z,x}(P)=0.
  • u_{z,y}(P)=(2z)\,10^{-4}=2\cdot2\,10^{-4}=4\times10^{-4}.
  • u_{z,z}(P)=(12z+2y)\,10^{-4}=(12\cdot2+0)\,10^{-4}=24\times10^{-4}=2,4\times10^{-3}.
Assim a matriz gradiente em P é
[u_{i,j}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & 3\times10^{-4} & 0\\[4pt] 1,2\times10^{-3} & 0 & 6\times10^{-4}\\[4pt] 0 & 4\times10^{-4} & 2,4\times10^{-3} \end{pmatrix}.
Agora o tensor de deformações em P (uso as fórmulas do Passo 3):
  • \varepsilon_{xx}(P)=0.
  • \varepsilon_{yy}(P)=0.
  • \varepsilon_{zz}(P)=2,4\times10^{-3}.
  • \varepsilon_{xy}(P)=\tfrac{1}{2}(3\times10^{-4}+1,2\times10^{-3})=\tfrac{1}{2}\cdot1,5\times10^{-3}=7,5\times10^{-4}.
  • \varepsilon_{xz}(P)=0.
  • \varepsilon_{yz}(P)=\tfrac{1}{2}(6\times10^{-4}+4\times10^{-4})=\tfrac{1}{2}\cdot1,0\times10^{-3}=5\times10^{-4}.
Em matriz:
[\varepsilon_{ij}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & 7,5\times10^{-4} & 0\\[4pt] 7,5\times10^{-4} & 0 & 5\times10^{-4}\\[4pt] 0 & 5\times10^{-4} & 2,4\times10^{-3} \end{pmatrix}.
Agora o tensor de rotações em P (do Passo 4):
  • \omega_{xy}(P)=\tfrac{1}{2}(3x^{2}-6z)\,10^{-4}=\tfrac{1}{2}(3\cdot1-6\cdot2)\,10^{-4}=\tfrac{1}{2}(3-12)\,10^{-4}=\tfrac{1}{2}(-9)\,10^{-4}=-4,5\times10^{-4}.
  • \omega_{xz}(P)=0.
  • \omega_{yz}(P)=\tfrac{1}{2}(6x-2z)\,10^{-4}=\tfrac{1}{2}(6\cdot1-2\cdot2)\,10^{-4}=\tfrac{1}{2}(6-4)\,10^{-4}=1\times10^{-4}.
A matriz antissimétrica:
[\omega_{ij}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & -4,5\times10^{-4} & 0\\[4pt] 4,5\times10^{-4} & 0 & 1\times10^{-4}\\[4pt] 0 & -1\times10^{-4} & 0 \end{pmatrix}.
Finalmente o vetor de rotações \underline{\Omega}(P)=\tfrac{1}{2}\nabla\times\underline{u} em P.
Do Passo 4, \underline{\Omega}=10^{-4}\big(z-3x,\\\ 0,\\\ 3z-\tfrac{3}{2}x^{2}\big). Substituindo x=1,y=0,z=2:
  • \Omega_x(P)=(z-3x)\,10^{-4}=(2-3)\,10^{-4}=-1\times10^{-4}.
  • \Omega_y(P)=0.
  • \Omega_z(P)=\big(3z-\tfrac{3}{2}x^{2}\big)\,10^{-4}=\big(3\cdot2-\tfrac{3}{2}\cdot1\big)\,10^{-4}=(6-1{,}5)\,10^{-4}=4{,}5\times10^{-4}.
Em forma vetorial:
\underline{\Omega}_{P}=\big(-1\times10^{-4}\big)\,\underline{e}_x+0\,\underline{e}_y+\big(4{,}5\times10^{-4}\big)\,\underline{e}_z.]

Resposta

Matriz gradiente geral:
[u_{i,j}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 6xy & 3x^{2} & 0\\[4pt] 6z & 2y & 6x\\[4pt] 0 & 2z & 12z+2y \end{pmatrix}
Tensor de deformações geral:
[\varepsilon_{ij}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 6xy & \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z) & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z) & 2y & \tfrac{1}{2}(6x+2z)\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2}(6x+2z) & 12z+2y \end{pmatrix}
Tensor de rotações geral:
[\omega_{ij}]=10^{-4}\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{1}{2}(3x^{2}-6z) & 0\\[4pt] -\tfrac{1}{2}(3x^{2}-6z) & 0 & \tfrac{1}{2}(6x-2z)\\[4pt] 0 & -\tfrac{1}{2}(6x-2z) & 0 \end{pmatrix}
Vetor de rotações geral:
\underline{\Omega}=10^{-4}\begin{pmatrix}z-3x\\[4pt]0\\[4pt]3z-\tfrac{3}{2}x^{2}\end{pmatrix}
Valores no ponto P(1,0,2):
[u_{i,j}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & 3\times10^{-4} & 0\\[4pt] 1{,}2\times10^{-3} & 0 & 6\times10^{-4}\\[4pt] 0 & 4\times10^{-4} & 2{,}4\times10^{-3} \end{pmatrix}
[\varepsilon_{ij}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & 7{,}5\times10^{-4} & 0\\[4pt] 7{,}5\times10^{-4} & 0 & 5\times10^{-4}\\[4pt] 0 & 5\times10^{-4} & 2{,}4\times10^{-3} \end{pmatrix}
[\omega_{ij}]_{P}=\begin{pmatrix} 0 & -4{,}5\times10^{-4} & 0\\[4pt] 4{,}5\times10^{-4} & 0 & 1\times10^{-4}\\[4pt] 0 & -1\times10^{-4} & 0 \end{pmatrix}
\underline{\Omega}_{P}=-1\times10^{-4}\,\underline{e}_x+0\,\underline{e}_y+4{,}5\times10^{-4}\,\underline{e}_z]

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