Um contínuo se deforma segundo o seguinte campo de deslocamentos: \underline{u}(\underline{x})=\left[u_{x} \underline{e}_{x}+u_{y} \underline{e}_{y}+u_{z} \underline{e}_{z}\right] \underline{u}(\underline{x})=\left[\left(3 x^{2} y+6\right) * 10^{-4} \underline{e}_{x}+\left(y^{2}+6 x z\right) * 10^{-4} \underline{e}_{y}+\left(6 z^{2}+2 y z+10\right) * 10^{-4} \underline{e}_{z}\right]
Para este campo de deslocamentos solicita-se:
a) a matriz gradiente \left[u_{i, j}\right]
b) O tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}+u_{j, i}\right)
c) O tensor de rotações infinitesimais (de corpo rígido) \omega_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i, j}-u_{j, i}\right) e o vetor de rotações infinitesimais (de corpo rígido): \underline{\Omega}=\frac{1}{2} \nabla \times \underline{u}
Após a determinação das expressões gerais para os elementos acima solicitados, particularize para o ponto P de coordenadas \mathrm{P}(\mathrm{x}=1 \mathrm{~m}, \mathrm{y}=0 \mathrm{~m}, \mathrm{z}=2 \mathrm{~m}).
Passo 1
O enunciado dá o campo de deslocamentos do contínuo em componentes cartesianas (com fator 10^{-4}):
Determinar a matriz gradiente [u_{i,j}], isto é, as derivadas parciais u_{i,j}=\partial u_i/\partial x_j para i,j\in\{x,y,z\}.
Calcular o tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}).
Calcular o tensor de rotações infinitesimais \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}-u_{j,i}) e o vetor de rotações infinitesimais \underline{\Omega}=\tfrac{1}{2}\nabla\times\underline{u}.
Particularizar todas as expressões no ponto P com coordenadas x=1\\ \mathrm{m},\\ y=0\\ \mathrm{m},\\ z=2\\ \mathrm{m}.
As informações relevantes (componentes de \underline{u}) estão explícitas acima e serão usadas diretamente para calcular derivadas parciais.
Passo 2
Vamos calcular a matriz gradiente [u_{i,j}]. Primeiro, escrevo as componentes (sem unidade) de forma explícita:
Explicação rápida sobre derivadas parciais: \partial u_x/\partial x significa derivar u_x como função de x mantendo y,z constantes; o mesmo para as outras combinações.
Agora calculo cada derivada parcial e deixo o fator 10^{-4} explícito:
Observação: cada elemento desta matriz é uma função de x,y,z multiplicada por 10^{-4}.]
Passo 3
Agora o tensor de deformações infinitesimais de Cauchy \varepsilon_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}+u_{j,i}). Física curta: \varepsilon_{ij} mede as mudanças simétricas de forma (extensão e cisalhamento), ou seja, a parte simétrica do gradiente de deslocamento. Vou calcular componente a componente usando as derivadas do Passo 2.
Posso simplificar alguns termos algebricamente (por exemplo \tfrac{1}{2}(3x^{2}+6z)=\tfrac{3}{2}x^{2}+3z, \tfrac{1}{2}(6x+2z)=3x+z), mas mantive a forma média para mostrar a origem.]
Passo 4
Agora o tensor de rotações infinitesimais \omega_{ij}=\tfrac{1}{2}(u_{i,j}-u_{j,i}). Interpretação: \omega_{ij} é a parte antissimétrica do gradiente de deslocamento, representando rotações infinitesimais de corpo rígido (sem deformação). Calculamos:
Diagonal: \omega_{xx}=\omega_{yy}=\omega_{zz}=0 (sempre zero, pois são antissimétricas e i=j).
Observação didática: o vetor \underline{\Omega} tem componentes que correspondem às rotações infinitesimais em torno dos eixos; ele está diretamente ligado à parte antissimétrica do gradiente.]
Passo 5
Particularização no ponto P(x=1,y=0,z=2). Substituo x=1,\\ y=0,\\ z=2 nas expressões do Passo 2–4. Vou calcular passo a passo números e sempre manter o fator de escala 10^{-4} convertido para notação científica com separador decimal por vírgula.
Finalmente o vetor de rotações \underline{\Omega}(P)=\tfrac{1}{2}\nabla\times\underline{u} em P.
Do Passo 4, \underline{\Omega}=10^{-4}\big(z-3x,\\\ 0,\\\ 3z-\tfrac{3}{2}x^{2}\big). Substituindo x=1,y=0,z=2: