Dado os valores das componentes do estado plano de deformação, encontre os valores:
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem ( \theta \mathrm{p} 1 \mathrm{e} \theta \mathrm{s} 1 ).
\boldsymbol{\varepsilon} 1>\boldsymbol{\varepsilon} 2
Өp1 \rightarrow rotaciona para a posição de \mathcal{E} 1.
Өs1 \rightarrow rotaciona para a posição de \gamma máx positivo.
\varepsilon_{x}=-144 \times 10^{-6}
\varepsilon y=162 \times 10^{-6}
\gamma x y=-206 \times 10^{-6}

Passo 1

O enunciado pede:
  • (a) as deformações principais no plano ( \varepsilon_1 e \varepsilon_2),
  • (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano (engenharia) ( \gamma_{\max}),
  • (c) os ângulos em que essas quantidades ocorrem: \theta_{p1} (ângulo que rotaciona o eixo x para a direção de \mathcal{E}_1) e \theta_{s1} (ângulo que rotaciona o eixo x para a posição onde \gamma é máxima e positiva).
Dados fornecidos:
\varepsilon_x = -144\times 10^{-6},
\varepsilon_y = 162\times 10^{-6},
\gamma_{xy} = -206\times 10^{-6}.

Passo 2

Fórmulas úteis e explicação (parte didática e intuitiva):
  • A média das deformações normais é a base para as componentes rotacionadas:
\bar\varepsilon = \frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}.
Aqui \bar\varepsilon é a deformação média; pensar nela como o valor ao qual somamos/ subtraímos uma “variação” para obter as principais.
  • A “metade da diferença” e metade da cisalha aparecem dentro de um radicando que dá a amplitude da variação em torno da média:
R = \sqrt{\left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)^2 + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)^2 }.
  • As deformações principais (as máximas e mínimas normais no plano) são:
\varepsilon_{1,2} = \bar\varepsilon \pm R.
Isto vem da transformação de tensores/cepa: pensar que estamos decompondo a deformação em uma média mais uma parte que depende da diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y e da cisalha.
  • A máxima cisalha de engenharia no plano (módulo máximo) é a diferença entre as deformações principais:
\gamma_{\max} = \varepsilon_1 - \varepsilon_2 = 2R.
Também pode-se escrever
\gamma_{\max} = \sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2 + \gamma_{xy}^2}.
  • Para o ângulo das direções principais usamos a relação (usando a cisalha de engenharia \gamma_{xy}):
\tan 2\theta = \frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}.
Isso dá 2\theta até uma ambiguidade de 180^\circ; dividir por 2 dá um \theta que corresponde a uma das direções principais (a outra direção principal está a 90^\circ dela). Para saber qual das duas direções corresponde a \varepsilon_1 (maior) é preciso checar — por exemplo, avaliando a deformação rotacionada naquele \theta e vendo se resulta no maior ou no menor valor. As direções de máxima cisalha (engenharia) ficam a 45^\circ das direções principais; portanto, uma posição para obter cisalha máxima positiva é \theta_{s1}=\theta_{\text{alguma}}+45^\circ (escolhendo o \theta que gere cisalha positiva).

Passo 3

Calculemos passo a passo os valores numéricos intermediários.
Média:
\bar\varepsilon=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{-144\times10^{-6}+162\times10^{-6}}{2}=\frac{18\times10^{-6}}{2}=9\times10^{-6}.
Meia-diferença e meia-cisalha:
\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{-144\times10^{-6}-162\times10^{-6}}{2}=\frac{-306\times10^{-6}}{2}=-153\times10^{-6},
\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-206\times10^{-6}}{2}=-103\times10^{-6}.
Raiz R:
R=\sqrt{(-153\times10^{-6})^2+(-103\times10^{-6})^2} =10^{-6}\sqrt{153^2+103^2} =10^{-6}\sqrt{23409+10609} =10^{-6}\sqrt{34018}.
\sqrt{34018}\approx 184{,}468\quad\Rightarrow\quad R\approx 184{,}468\times10^{-6}.

Passo 4

Agora as deformações principais:
\varepsilon_1=\bar\varepsilon+R=9\times10^{-6}+184{,}468\times10^{-6}=193{,}468\times10^{-6},
\varepsilon_2=\bar\varepsilon-R=9\times10^{-6}-184{,}468\times10^{-6}=-175{,}468\times10^{-6}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em micro-unidade):
\varepsilon_1\approx 193{,}47\times10^{-6},\qquad \varepsilon_2\approx -175{,}47\times10^{-6}.

Passo 5

Cisalha máxima (engenharia) no plano:
\gamma_{\max}=\varepsilon_1-\varepsilon_2=2R\approx 2(184{,}468\times10^{-6})=368{,}936\times10^{-6}.
Ou usando a fórmula alternativa:
\gamma_{\max}=\sqrt{(\varepsilon_x-\varepsilon_y)^2+\gamma_{xy}^2} =\sqrt{(-306\times10^{-6})^2+(-206\times10^{-6})^2} \approx 368{,}936\times10^{-6}.

Passo 6

Cálculo do ângulo para as direções principais. Primeiro encontramos a solução básica:
\tan 2\theta = \frac{\gamma_{xy}}{\varepsilon_x-\varepsilon_y}=\frac{-206\times10^{-6}}{-306\times10^{-6}}=\frac{206}{306}\approx 0{,}6732.
2\theta = \arctan(0{,}6732)\approx 34{,}0^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta_{\text{cand}} \approx 17{,}0^\circ.
Esse \theta_{\text{cand}} é uma das direções principais, mas pode corresponder a \varepsilon_1 ou a \varepsilon_2. Para decidir qual é qual, avaliamos a deformação rotacionada em \theta_{\text{cand}} (ferramenta prática na prova):
Usamos a fórmula de transformação para \varepsilon_{x'}:
\varepsilon_{x'}=\bar\varepsilon + \left(\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}\right)\cos2\theta + \left(\frac{\gamma_{xy}}{2}\right)\sin2\theta.
Com \theta=17{,}0^\circ temos \cos2\theta\approx\cos34^\circ\approx0{,}8291 e \sin2\theta\approx\sin34^\circ\approx0{,}5588. Substituindo:
\varepsilon_{x'}\approx 9\times10^{-6}+(-153\times10^{-6})(0{,}8291)+(-103\times10^{-6})(0{,}5588)
\varepsilon_{x'}\approx 9-126{,}8-57{,}55\quad(\times10^{-6})\approx -175{,}35\times10^{-6},
que coincide com \varepsilon_2. Portanto \theta_{\text{cand}}=17{,}0^\circ corresponde à direção de \varepsilon_2 (a menor). Logo a direção de \varepsilon_1 é a outra direção principal, obtida somando 90^\circ:
\theta_{p1} = \theta_{\text{cand}}+90^\circ \approx 17{,}0^\circ+90^\circ = 107{,}0^\circ.
(Equivalente a -73{,}0^\circ, mas normalmente damos 0^\circ\!-\!180^\circ.)

Passo 7

Ângulo da cisalha máxima positiva \theta_{s1}.
As direções de cisalha máxima estão a 45^\circ das direções principais. Para obter a cisalha máxima positiva escolhemos a direção que resulta em \gamma' positivo. Uma forma prática é pegar a \theta que deu \varepsilon_2 (aqui \theta_{\text{cand}}=17{,}0^\circ) e somar 45^\circ:
\theta_{s1}=\theta_{\text{cand}}+45^\circ \approx 17{,}0^\circ+45^\circ=62{,}0^\circ.
Verificação rápida (fórmula da cisalha rotacionada):
\gamma_{x'y'}=-(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta+\gamma_{xy}\cos2\theta.
Tomando \theta=62{,}0^\circ (logo 2\theta=124^\circ, \sin124^\circ\approx0{,}8291, \cos124^\circ\approx-0{,}5592):
\gamma_{x'y'}\approx -(-306\times10^{-6})(0{,}8291)+(-206\times10^{-6})(-0{,}5592)
\gamma_{x'y'}\approx 253{,}66\times10^{-6}+115{,}27\times10^{-6}\approx 368{,}93\times10^{-6},
positivo e igual a \gamma_{\max} (diferença por arredondamento mínima). Logo \theta_{s1}=62{,}0^\circ é a rotação que produz a cisalha máxima positiva.

Resposta

(a) \varepsilon_1=193{,}47\times10^{-6},\; \varepsilon_2=-175{,}47\times10^{-6}\n
(b) \gamma_{\max}=368{,}94\times10^{-6}\n
(c) \theta_{p1}=107{,}0^\circ,\; \theta_{s1}=62{,}0^\circ

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