Dado os valores das componentes do estado plano de deformação, encontre os valores:
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem (
).
Өp1
rotaciona para a posição de
.
Өs1
rotaciona para a posição de
máx positivo.
(a) das deformações principais no plano e
(b) a deformação por cisalhamento máxima no plano.
(c) Encontre também em que ângulo elas ocorrem (
Өp1
Өs1
Passo 1
O enunciado pede:
- (a) as deformações principais no plano (
e ), - (b) a deformação por cisalhamento máxima no plano (engenharia) (
), - (c) os ângulos em que essas quantidades ocorrem:
(ângulo que rotaciona o eixo para a direção de ) e (ângulo que rotaciona o eixo para a posição onde é máxima e positiva).
Dados fornecidos:
Passo 2
Fórmulas úteis e explicação (parte didática e intuitiva):
- A média das deformações normais é a base para as componentes rotacionadas:
Aqui
é a deformação média; pensar nela como o valor ao qual somamos/ subtraímos uma “variação” para obter as principais.
- A “metade da diferença” e metade da cisalha aparecem dentro de um radicando que dá a amplitude da variação em torno da média:
- As deformações principais (as máximas e mínimas normais no plano) são:
Isto vem da transformação de tensores/cepa: pensar que estamos decompondo a deformação em uma média mais uma parte que depende da diferença entre
e
e da cisalha.
- A máxima cisalha de engenharia no plano (módulo máximo) é a diferença entre as deformações principais:
Também pode-se escrever
- Para o ângulo das direções principais usamos a relação (usando a cisalha de engenharia
):
Isso dá
até uma ambiguidade de
; dividir por 2 dá um
que corresponde a uma das direções principais (a outra direção principal está a
dela). Para saber qual das duas direções corresponde a
(maior) é preciso checar — por exemplo, avaliando a deformação rotacionada naquele
e vendo se resulta no maior ou no menor valor. As direções de máxima cisalha (engenharia) ficam a
das direções principais; portanto, uma posição para obter cisalha máxima positiva é
(escolhendo o
que gere cisalha positiva).
Passo 3
Calculemos passo a passo os valores numéricos intermediários.
Média:
Meia-diferença e meia-cisalha:
Raiz
:
Passo 4
Agora as deformações principais:
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais em micro-unidade):
Passo 5
Cisalha máxima (engenharia) no plano:
Ou usando a fórmula alternativa:
Passo 6
Cálculo do ângulo para as direções principais. Primeiro encontramos a solução básica:
Esse
é uma das direções principais, mas pode corresponder a
ou a
. Para decidir qual é qual, avaliamos a deformação rotacionada em
(ferramenta prática na prova):
Usamos a fórmula de transformação para
:
Com
temos
e
. Substituindo:
que coincide com
. Portanto
corresponde à direção de
(a menor). Logo a direção de
é a outra direção principal, obtida somando
:
(Equivalente a
, mas normalmente damos
.)
Passo 7
Ângulo da cisalha máxima positiva
.
As direções de cisalha máxima estão a das direções principais. Para obter a cisalha máxima positiva escolhemos a direção que resulta em
positivo. Uma forma prática é pegar a
que deu
(aqui
) e somar
:
As direções de cisalha máxima estão a
Verificação rápida (fórmula da cisalha rotacionada):
Tomando
(logo
,
,
):
positivo e igual a
(diferença por arredondamento mínima). Logo
é a rotação que produz a cisalha máxima positiva.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)