QUESTÃO 3 (0,5 pontos): Um avião tipo caça aterrissa com velocidade de 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, quando o piloto aciona o sistema de frenagem por páraquedas. O avião tem massa de 8500 kg . A força devida ao arrasto aerodinâmico é dada por 28 * \mathrm{~V}^{2}, com V em m/s. Qual é a distância percorrida pelo avião até atingir a velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado informa que um avião de massa m=8500\,\mathrm{kg} chega à pista com velocidade inicial v_{0}=100\,\mathrm{m/s} e sofre uma força de arrasto aerodinâmico
F_{D}=28\,v^{2},
onde v é a velocidade em \mathrm{m/s}. Pede-se a distância s percorrida até que v caia para 30\,\mathrm{m/s}. Para resolver, usaremos a 2ª lei de Newton ( m\,dv/dt=F) e a relação cinemática v=ds/dt, integrando por separação de variáveis.

Passo 2

Escrevendo a 2ª lei de Newton para a desaceleração devido ao arrasto:
m\,\frac{dv}{dt}=-\,F_{D}=-\,28\,v^{2}.

Passo 3

Como v=ds/dt, temos
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds}\,\frac{ds}{dt} = \frac{dv}{ds}\,v.
Substituindo em m\,dv/dt=-28\,v^2 resulta
m\,\frac{dv}{ds}\,v=-28\,v^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{ds}=-\frac{28}{m}\,v.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{dv}{v}=-\frac{28}{m}\,ds.

Passo 4

Integramos ambos os lados, de v_{0}=100 até v=30 e de s=0 até s:
\int_{100}^{30}\frac{dv}{v} = -\frac{28}{m}\int_{0}^{s}ds \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{30}{100}\Bigr) =-\frac{28}{m}\,s
Logo,
s=-\frac{m}{28}\,\ln\!\Bigl(\frac{30}{100}\Bigr) =\frac{m}{28}\,\ln\!\Bigl(\frac{100}{30}\Bigr).

Passo 5

Substituindo m=8500\,\mathrm{kg}:
s =\frac{8500}{28}\,\ln\!\Bigl(\frac{100}{30}\Bigr) \approx 303{,}5714\times1{,}20397 \approx 365{,}5\\ \mathrm{m}.

Resposta

A distância percorrida é aproximadamente 365{,}5\,\mathrm{m}.

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