Uma carga \mathbf{Z}=100+\mathrm{j} 100 \Omega é ligada a uma linha de energia elétrica, com a seguinte tensão instantânea: \mathrm{v}(\mathrm{t})=100 \cos (100 t) \mathrm{V}. Determine: (a) a potência instantânea desse circuito; (b) a potência complexa desse circuito; e (c) o fator de potência desse circuito. (4,0)

Passo 1

O enunciado dá: a impedância e a tensão instantânea da carga, e pede três coisas. Dados:
Z = 100 + \mathrm{j}100\\ \Omega
v(t)=100\cos(100t)\\ \mathrm{V}
Perguntas:
(a) Determinar a potência instantânea p(t) do circuito.
(b) Determinar a potência complexa S do circuito.
(c) Determinar o fator de potência (valor numérico e se é adiantado ou defasado).

Passo 2

Primeiro passo prático: passar a tensão para forma eficaz (RMS) e para fasor. A relação entre amplitude de pico V_m e valor RMS V_{\text{rms}} é
V_{\text{rms}}=\frac{V_m}{\sqrt{2}}.
Aqui V_m=100, logo
V_{\text{rms}}=\frac{100}{\sqrt{2}}\\ \text{V}\approx 70{,}7107\\ \text{V}.
O fasor da tensão (ângulo zero, porque a cosseno está com fase zero) pode ser escrito como
\underline{V}=V_{\text{rms}}\angle 0^\circ=\frac{100}{\sqrt{2}}\angle 0^\circ.

Passo 3

Calcular o fasor da corrente usando \underline{I}=\underline{V}/Z. Primeiro escrevo Z em módulo e ângulo: o módulo de Z é
|Z|=\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2},
e o ângulo de Z é
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{100}{100}\right)=45^\circ=\frac{\pi}{4}.
Agora a magnitude do RMS da corrente:
I_{\text{rms}}=\frac{V_{\text{rms}}}{|Z|}=\frac{\frac{100}{\sqrt{2}}}{100\sqrt{2}}=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{A}.
O ângulo da corrente é a diferença entre o ângulo da tensão e o ângulo de Z:
\angle \underline{I}=0^\circ-45^\circ=-45^\circ.
Portanto o fasor RMS da corrente é
\underline{I}=0{,}5\angle -45^\circ\\ \text{A}.

Passo 4

Passar para a forma de tempo a corrente instantânea. O valor de pico da corrente é I_m=\sqrt{2}I_{\text{rms}}=\sqrt{2}\cdot 0{,}5=0{,}70710678\\ \text{A}. Como o ângulo da corrente é -45^\circ=-\pi/4, temos
i(t)=I_m\cos(100t-\tfrac{\pi}{4})=0{,}70710678\cos\!\left(100t-\tfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{A}.
Agora já temos v(t) e i(t) em tempo, prontos para calcular p(t)=v(t)i(t).

Passo 5

Calcular a potência instantânea p(t)=v(t)i(t). Substituo as formas temporais:
p(t)=100\cos(100t)\cdot 0{,}70710678\cos\!\left(100t-\tfrac{\pi}{4}\right).
Para simplificar uso a identidade trigonométrica
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big[\cos(A-B)+\cos(A+B)\big].
Aplicando com A=100t e B=100t-\tfrac{\pi}{4}:
\cos(100t)\cos\!\left(100t-\tfrac{\pi}{4}\right)=\tfrac{1}{2}\big[\cos(\tfrac{\pi}{4})+\cos(200t-\tfrac{\pi}{4})\big].
Multiplicando o fator 100\cdot 0{,}70710678=70{,}710678 e o \tfrac{1}{2}, obtemos
p(t)=70{,}710678\cdot\tfrac{1}{2}\big[\cos(\tfrac{\pi}{4})+\cos(200t-\tfrac{\pi}{4})\big].
Como \cos(\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, calcula-se:
70{,}710678\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\cos(\tfrac{\pi}{4})=70{,}710678\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{2}}{2}=25.
E o termo oscilante tem amplitude
70{,}710678\cdot\tfrac{1}{2}=35{,}355339=\;25\sqrt{2}.
Portanto a forma final, limpa, da potência instantânea é
p(t)=25+25\sqrt{2}\cos\!\left(200t-\tfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{W}.
Interpretação rápida: o termo constante 25\\ \text{W} é a potência média consumida; o termo oscilante (frequência dupla) tem média zero e representa energia alternadamente absorvida e devolvida pelo elemento reativo.

Passo 6

Calcular a potência complexa \underline{S}. A definição em fasores é
\underline{S}=\underline{V}\,\underline{I}^*,
onde * indica conjugado complexo. Já temos \underline{V}=\dfrac{100}{\sqrt{2}}\angle 0^\circ e \underline{I}=0{,}5\angle -45^\circ, logo \underline{I}^*=0{,}5\angle +45^\circ. Multiplico:
|\underline{S}|=\frac{100}{\sqrt{2}}\cdot 0{,}5=35{,}355339\\ \text{VA},
e o ângulo de \underline{S} é 0^\circ+45^\circ=45^\circ. Assim em forma fasorial:
\underline{S}=35{,}355339\angle 45^\circ\\ \text{VA}.
Convertendo para forma retangular (potência ativa P=\Re\{\underline{S}\} e reativa Q=\Im\{\underline{S}\}):
P=35{,}355339\cos 45^\circ=25\\ \text{W},
Q=35{,}355339\sin 45^\circ=25\\ \text{VAr}.
Logo
\underline{S}=25+\mathrm{j}\,25\\ \text{VA}.

Passo 7

Calcular o fator de potência. O fator de potência é definido por
\text{pf}=\frac{P}{|\underline{S}|}=\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre tensão e corrente (a mesma defasagem do argumento de \underline{S}). Aqui \varphi=45^\circ, então
\text{pf}=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071.
Quanto ao tipo (adiantado/atrasado): como a reatância +\mathrm{j}100 é indutiva, a corrente está atrasada em relação à tensão (ângulo de corrente -45^\circ), então o fator de potência é do tipo “atrasado” (lagging).

Resposta

(a) p(t)=25+25\sqrt{2}\cos\!\left(200t-\tfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{W}
(b) \underline{S}=25+\mathrm{j}\,25\\ \text{VA}
(c) \text{pf}=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}7071 (atrasado / lagging)

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