Uma fonte trifásica equilibrada de 208 V alimenta uma carga trifásica equilibrada. Se a corrente de linha t_{A} é de 10 A e está em fase com a tensão de linha \dot{V}_{R C}, encontre a impedância da carga por fase se a carga estiver conectada:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo.
  • Informações dadas:
    \displaystyle Uma fonte trifásica equilibrada com tensão de linha (linha–linha) \displaystyle V_{LL}=208\\ \text{V}.\n
    \displaystyle A corrente de linha \displaystyle t_{A} (isto é, a corrente da fase A, denotarei por \displaystyle I_{A}) tem magnitude \displaystyle 10\\ \text{A} e está em fase com a tensão de linha \displaystyle \dot{V}_{RC}.\n
    \displaystyle O sistema e a carga são equilibrados.
  • Pergunta pedida:
    \displaystyle Encontrar a impedância por fase da carga (módulo e ângulo, e também forma retangular se for útil) nas duas conexões possíveis:
    estrela (Y) e delta (Δ).

Passo 2

Primeiro vamos relacionar tensões de linha e de fase (fórmula útil e básica que vamos usar). Em um sistema trifásico equilibrado:
V_{\text{fase}}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}.
Aqui \displaystyle V_{\text{fase}} é a tensão fase–neutro (por exemplo \displaystyle V_{RN} se a fase R for referência). Substituindo:
\displaystyle V_{\text{fase}}=\frac{208}{\sqrt{3}}\\ \text{V}.
Calculemos numericamente \sqrt{3}\approx 1,732, logo
\displaystyle V_{\text{fase}}\approx\frac{208}{1,732}\approx 120\\ \text{V}.
(Esse é um número clássico: \displaystyle 208\\ \text{V} linha–linha corresponde a \approx 120\\ \text{V} fase–neutro.)

Passo 3

Precisamos também saber a defasagem entre \displaystyle V_{RC} e a tensão de fase de referência. Para fixar a referência, tome \displaystyle V_{R N}=V_{\text{fase}}\angle 0^\circ e \displaystyle V_{C N}=V_{\text{fase}}\angle 120^\circ (sequência positiva). Então
\displaystyle V_{RC}=V_{R}-V_{C}=V_{\text{fase}}\angle 0^\circ - V_{\text{fase}}\angle 120^\circ = \sqrt{3}\,V_{\text{fase}}\angle -30^\circ.
Portanto \displaystyle V_{RC} tem ângulo -30^\circ em relação à tensão de fase \displaystyle V_{R N} (isto é, \displaystyle V_{RC} está 30^\circ atrás de \displaystyle V_{R N}). Como a corrente de linha \displaystyle I_{A} está em fase com \displaystyle V_{RC}, podemos escrever
\displaystyle I_{A}=10\angle -30^\circ\\ \text{A}.

Passo 4

Caso 1 — carga em estrela (Y).
  • Conceito usado: para conexão estrela (Y) a impedância por fase é ligada entre fase e neutro, portanto a tensão que aparece em cada impedância é a tensão de fase \displaystyle V_{\text{fase}}=\frac{V_{LL}}{\sqrt{3}}. Além disso, a corrente de linha é igual à corrente de fase:
\displaystyle I_{\text{fase}}=I_{\text{linha}}.
  • Aplicando: temos \displaystyle I_{\text{fase}}=10\angle -30^\circ\\ \text{A} e \displaystyle V_{\text{fase}}=120\angle 0^\circ\\ \text{V}. A impedância da fase é
\displaystyle Z_{Y}=\frac{V_{\text{fase}}}{I_{\text{fase}}}.
Calculemos magnitude e ângulo separadamente:
\text{magnitude: }\;|Z_{Y}|=\frac{120}{10}=12\\ \Omega,
\text{ângulo: }\;\angle Z_{Y}=\angle V_{\text{fase}}-\angle I_{\text{fase}}=0^\circ-(-30^\circ)=+30^\circ.â
Logo, em forma fasorial:
\displaystyle Z_{Y}=12\angle 30^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular (para quem prefere): use \cos 30^\circ=0{,}8660 e \sin 30^\circ=0{,}5,
\displaystyle Z_{Y}=12(\cos 30^\circ + j\sin 30^\circ)=12(0{,}8660 + j0{,}5)=10{,}392 + j6\\ \Omega.

Passo 5

Caso 2 — carga em delta (Δ).
  • Conceitos usados:
    1. Em delta, cada impedância de fase está diretamente sobre uma tensão linha–linha; portanto a tensão sobre cada impedância é \displaystyle V_{LL}=208\\ \text{V} (neste problema, com ângulo -30^\circ para a impedância entre R e C: \displaystyle V_{RC}=208\angle -30^\circ).\n
    2. Em um delta equilibrado a relação entre corrente de linha \displaystyle I_{L} e corrente de ramo (corrente de fase do delta, \displaystyle I_{P}) é:
\displaystyle I_{L}=\sqrt{3}\,I_{P}\angle +30^\circ.
(Explicação curta: cada corrente de linha é soma vetorial de duas correntes de ramos com deslocamentos ±30°, e a soma resulta em magnitude \sqrt{3} vezes a corrente de ramo e com um deslocamento de +30^\circ em relação à corrente de ramo correspondente.)
  • Aplicando: sabemos \displaystyle I_{L}=I_{A}=10\angle -30^\circ. Queremos a corrente no ramo correspondente a \displaystyle V_{RC} (chamaremos essa corrente de \displaystyle I_{RC}, a corrente de fase do delta). Usando a relação anterior, isolemos \displaystyle I_{P}:
\displaystyle I_{P}=\frac{I_{L}}{\sqrt{3}}\angle -30^\circ.
Portanto,
\displaystyle |I_{P}|=\frac{10}{\sqrt{3}}\\ \text{A},\qquad \angle I_{P}= -30^\circ -30^\circ = -60^\circ.
  • Agora a impedância por fase em delta é
\displaystyle Z_{\Delta}=\frac{V_{RC}}{I_{RC}}=\frac{208\angle -30^\circ}{(10/\sqrt{3})\angle -60^\circ}.
Subtraindo ângulos e dividindo magnitudes:
\displaystyle |Z_{\Delta}|=\frac{208}{10/\sqrt{3}}=\frac{208\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}\cdot\frac{208}{10},
numericamente
\displaystyle |Z_{\Delta}|\approx 1{,}732\cdot 20{,}8 \approx 36{,}03\\ \Omega.
Ângulo:
\displaystyle \angle Z_{\Delta} = -30^\circ -(-60^\circ)=+30^\circ.
Logo, em forma fasorial:
\displaystyle Z_{\Delta}\approx 36{,}03\angle 30^\circ\\ \Omega.
Em forma retangular (usando \cos30^\circ=0{,}8660, \sin30^\circ=0{,}5):
\displaystyle Z_{\Delta}\approx 36{,}03(0{,}8660 + j0{,}5)\approx 31{,}176 + j18\\ \Omega.

Resposta

Estrela (Y): Z_{Y}=12\angle 30^\circ\\ \Omega = 10{,}392 + j6\\ \Omega\n
Delta (Δ): Z_{\Delta}\approx 36{,}03\angle 30^\circ\\ \Omega \approx 31{,}176 + j18\\ \Omega

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