5- Uma Carga \mathrm{Q}=1 \mathrm{C} é colocada na origem de um sistema de coordenadas. Calcule a magnitude e a direção da força exercida sobre ela por uma carga q 1=0,5 \times 10^{-6} \mathrm{C} na posição (0,3) e de uma carga q 2=1 \times 10^{-6} \mathrm{C} na posição (4,0). Distancias em metros.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a magnitude e a direção da força total sobre a carga Q=1\\ \mathrm{C} colocada na origem, devido a duas outras cargas:
q_1 = 0{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}\\ \text{na posição}\\ (0,3)çã
q_2 = 1\times 10^{-6}\\ \mathrm{C}\\ \text{na posição}\\ (4,0)çã
As distâncias estão em metros. Quero a força resultante (magnitude e direção) sobre Q causada por q_1 e q_2. Dados importantes listados:
Q=1\\ \mathrm{C},\quad q_1=0{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_2=1\cdot10^{-6}\\ \mathrm{C}
\text{posições: } Q(0,0),\; q_1(0,3),\; q_2(4,0)çõ

Passo 2

Vou usar a lei de Coulomb para a força entre cargas puntuais. A fórmula é:
F = k\,\frac{|Q\,q|}{r^2}
onde:
  • F é a magnitude da força elétrica (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática, k=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2};
  • Q e q são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre as cargas (em metros, m).
    Como força é um vetor, preciso também determinar sua direção: vou calcular as componentes F_x e F_y de cada força e somá-las para obter a força resultante.

Passo 3

Calcular a força de q_1 sobre Q.
  • Distância entre Q(0,0) e q_1(0,3):
r_1 = 3\\ \mathrm{m}.
  • Magnitude da força F_1:
F_1 = k\,\frac{|Q\,q_1|}{r_1^2} = 8{,}99\times10^{9}\,\frac{1\cdot(0{,}5\times10^{-6})}{3^2}.
Faço as contas passo a passo:
1\cdot(0{,}5\times10^{-6}) = 0{,}5\times10^{-6}=5{,}0\times10^{-7}.
8{,}99\times10^{9}\times 5{,}0\times10^{-7}=8{,}99\times5{,}0\times10^{2}=44{,}95\times10^{2}=4495.
F_1=\frac{4495}{9}=499{,}444\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox. }499{,}44\\ \mathrm{N}).
Agora a direção: q_1 está no eixo y positivo, ambas as cargas são positivas, então a força sobre Q é de repulsão — ou seja, q_1 empurra Q para baixo (eixo -y). Logo as componentes:
F_{1x}=0,\qquad F_{1y}=-499{,}444\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Calcular a força de q_2 sobre Q.
  • Distância entre Q(0,0) e q_2(4,0):
r_2 = 4\\ \mathrm{m}.
  • Magnitude da força F_2:
F_2 = k\,\frac{|Q\,q_2|}{r_2^2} = 8{,}99\times10^{9}\,\frac{1\cdot(1\times10^{-6})}{4^2}.
Faço as contas:
1\times10^{-6}=1{,}0\times10^{-6}.
8{,}99\times10^{9}\times 1{,}0\times10^{-6}=8{,}99\times10^{3}=8990.
F_2=\frac{8990}{16}=561{,}875\\ \mathrm{N}\\ (\text{aprox. }561{,}88\\ \mathrm{N}).
Direção: q_2 está no eixo x positivo e as cargas são de mesmo sinal, então q_2 repele Q para a esquerda (eixo -x). Assim as componentes:
F_{2x}=-561{,}875\\ \mathrm{N},\qquad F_{2y}=0.

Passo 5

Somar vetormente as componentes para obter a força resultante \vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2.
F_x = F_{1x}+F_{2x}=0 + (-561{,}875) = -561{,}875\\ \mathrm{N}.
F_y = F_{1y}+F_{2y}= -499{,}444 + 0 = -499{,}444\\ \mathrm{N}.
Portanto a força resultante tem componentes \left(F_x,F_y\right)=\left(-561{,}875,\,-499{,}444\right)\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Calcular a magnitude da força resultante usando o teorema de Pitágoras:
|\vec{F}|=\sqrt{F_x^2+F_y^2}.
Substituo os valores (faço os quadrados com cuidado):
F_x^2 = (-561{,}875)^2 \approx 315\,703{,}516\quad(\mathrm{N}^2)
F_y^2 = (-499{,}444)^2 \approx 249\,444{,}309\quad(\mathrm{N}^2)
|\vec{F}|=\sqrt{315\,703{,}516 + 249\,444{,}309} =\sqrt{565\,147{,}825}\approx 751{,}764\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente:
|\vec{F}|\approx 751{,}8\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calcular a direção da força resultante. A inclinação medida a partir do eixo x positivo é
\theta = \arctan\!\left(\frac{F_y}{F_x}\right).
Aqui F_x<0 e F_y<0, então o vetor está no terceiro quadrante. Uso os valores absolutos para achar o ângulo de referência:
\left|\frac{F_y}{F_x}\right|=\frac{499{,}444}{561{,}875}\approx 0{,}8894.
\theta_{\text{ref}}=\arctan(0{,}8894)\approx 41{,}98^\circ.
Como estamos no terceiro quadrante, o ângulo medido a partir do eixo x positivo no sentido anti-horário é
\theta = 180^\circ + 41{,}98^\circ = 221{,}98^\circ.
Uma forma descritiva: a força aponta 41{,}98^\circ ao sul do oeste (isto é, 41{,}98^\circ abaixo do eixo negativo x).

Resposta

751{,}8\\ \mathrm{N}
221{,}98^\circ (medido a partir do eixo x positivo, sentido anti-horário)

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