9- Uma carga puntiforme de 5 \mu \mathrm{C} está em x=1 \mathrm{~m}, y=3 \mathrm{~m}, e outra de -4 \mu \mathrm{C}, está em x=2 \mathrm{~m}, y=-2 \mathrm{~m}. (a) Calcular o módulo e a direção do campo elétrico em x=-3 m, y=-1 m. (b) Calcular o módulo e a direção da força do campo sobre um próton em x=-3 m, y=-1 m.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece duas cargas puntiformes e um ponto onde queremos saber o campo elétrico e, depois, a força sobre um próton colocado nesse ponto.
Dados (peguei diretamente do enunciado):
q_1 = 5\\ \mu\text{C} = 5\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad \text{em }(x_1,y_1)=(1\\ \mathrm{m},\,3\\ \mathrm{m})
q_2 = -4\\ \mu\text{C} = -4\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad \text{em }(x_2,y_2)=(2\\ \mathrm{m},\,-2\\ \mathrm{m})
Ponto onde avaliamos o campo:
P:(x,y)=(-3\\ \mathrm{m},\,-1\\ \mathrm{m})
O que se pede:
(a) o módulo e a direção do campo elétrico em P.
(b) o módulo e a direção da força que esse campo exerce sobre um próton em P.

Passo 2

Qual fórmula usamos para o campo elétrico de uma carga pontual e o que cada símbolo significa? Vou explicar passo a passo.
A lei de Coulomb dá o campo elétrico gerado por uma carga pontual q em um ponto P. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\,\frac{q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}},
onde:
  • k é a constante eletrostática: k=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2};
  • \mathbf{r} é o vetor que vai da posição da carga até o ponto P;
  • r=|\mathbf{r}| é a distância entre a carga e P;
  • \hat{\mathbf{r}}=\mathbf{r}/r é o versor (vetor unitário) na direção de \mathbf{r}.
Observação sobre o sinal de q: se q>0, \mathbf{E} aponta para fora da carga (na direção de \hat{\mathbf{r}}); se q<0, \mathbf{E} aponta para a carga (isto é, na direção oposta a \hat{\mathbf{r}}). Usaremos a forma vetorial com o próprio q para manter o sinal correto:
\mathbf{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{\mathbf{r}}.
A força sobre uma partícula de carga q_{\text{part}} colocada em P é dada por:
\mathbf{F} = q_{\text{part}}\,\mathbf{E}.
Para o próton, q_{\text{p}}=+e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o vetor posição \mathbf{r}_1 da carga q_1 até o ponto P, sua distância r_1 e o versor \hat{\mathbf{r}}_1.
Vetor:
\mathbf{r}_1 = \overrightarrow{\text{Carga}_1 \to P} = (x-x_1,\,y-y_1)=(-3-1,\,-1-3)=(-4,\,-4)\\ \mathrm{m}.
Distância ao quadrado e distância:
r_1^{2}=(-4)^{2}+(-4)^{2}=16+16=32, \qquad r_1=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\\ \mathrm{m}\approx 5{,}656854\\ \mathrm{m}.
Versor:
\hat{\mathbf{r}}_1=\frac{\mathbf{r}_1}{r_1}=\left(\frac{-4}{4\sqrt{2}},\frac{-4}{4\sqrt{2}}\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\approx(-0{,}7071068,\,-0{,}7071068).

Passo 4

Calcular o campo \mathbf{E}_1 gerado por q_1 em P.
Magnitude:
E_1 = k\frac{|q_1|}{r_1^{2}} = 8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{5\times10^{-6}}{32}.
Faço a conta passo a passo:
8{,}988\times10^{9}\cdot 5\times10^{-6}=8{,}988\cdot5\times10^{3}=44{,}94\times10^{3}=4{,}494\times10^{4}.
Dividindo por 32:
E_1=\frac{4{,}494\times10^{4}}{32}\approx1{,}404{,}6875\\ \mathrm{N/C}\approx 1{,}404{,}69\\ \mathrm{N/C}.
Como q_1>0, \mathbf{E}_1 tem a direção de \hat{\mathbf{r}}_1. Vetor:
\mathbf{E}_1 = E_1\,\hat{\mathbf{r}}_1 \approx 1{,}404{,}6875\cdot(-0{,}7071068,\,-0{,}7071068)\\ \mathrm{N/C}.
Componentes:
E_{1x}\approx -993{,}40\\ \mathrm{N/C},\qquad E_{1y}\approx -993{,}40\\ \mathrm{N/C}.

Passo 5

Calcular o vetor posição \mathbf{r}_2 da carga q_2 até P, sua distância r_2 e o versor \hat{\mathbf{r}}_2.
Vetor:
\mathbf{r}_2 = \overrightarrow{\text{Carga}_2 \to P} = (x-x_2,\,y-y_2)=(-3-2,\,-1-(-2))=(-5,\;1)\\ \mathrm{m}.
Distância ao quadrado e distância:
r_2^{2}=(-5)^{2}+1^{2}=25+1=26,\qquad r_2=\sqrt{26}\approx 5{,}0990195\\ \mathrm{m}.
Versor:
\hat{\mathbf{r}}_2=\frac{\mathbf{r}_2}{r_2}=\left(\frac{-5}{\sqrt{26}},\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\approx(-0{,}9805807,\;0{,}1961161).

Passo 6

Calcular o campo \mathbf{E}_2 gerado por q_2 em P. Aqui q_2 é negativo, então o campo aponta em direção à carga (isto fica automático usando q_2 no produto).
Magnitude (valor absoluto para referência):
|E_2|=k\frac{|q_2|}{r_2^{2}}=8{,}988\times10^{9}\cdot\frac{4\times10^{-6}}{26}.
Cálculo:
8{,}988\times10^{9}\cdot 4\times10^{-6}=35{,}952\times10^{3}=3{,}5952\times10^{4},
|E_2|=\frac{3{,}5952\times10^{4}}{26}\approx1{,}382{,}76923\\ \mathrm{N/C}\approx 1{,}382{,}77\\ \mathrm{N/C}.
Agora o vetor com o sinal de q_2:
\mathbf{E}_2 = k\frac{q_2}{r_2^{2}}\hat{\mathbf{r}}_2 = (-1{,}382{,}76923)\cdot(-0{,}9805807,\;0{,}1961161)\\ \mathrm{N/C}.
Multiplicando:
E_{2x}\approx +1{,}355{,}03\\ \mathrm{N/C},\qquad E_{2y}\approx -271{,}45\\ \mathrm{N/C}.
(Observe: o sinal positivo em E_{2x} e negativo em E_{2y} resulta porque q_2 é negativo e \hat{\mathbf{r}}_2 tem componentes negativas em x e positivas em y.)

Passo 7

Somar vetorialmente os campos \mathbf{E}_1 e \mathbf{E}_2 para obter o campo total \mathbf{E} em P.
Componentes:
E_x = E_{1x}+E_{2x}\approx -993{,}40 + 1{,}355{,}03 \approx 361{,}63\\ \mathrm{N/C},
E_y = E_{1y}+E_{2y}\approx -993{,}40 + (-271{,}45) \approx -1{,}264{,}85\\ \mathrm{N/C}.
Logo o vetor campo:
\mathbf{E}\approx (361{,}63,\;-1{,}264{,}85)\\ \mathrm{N/C}.

Passo 8

Calcular o módulo e a direção desse vetor \mathbf{E}.
Módulo:
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}}=\sqrt{361{,}63^{2}+(-1{,}264{,}85)^{2}}\approx 1{,}315{,}63\\ \mathrm{N/C}.
Direção: ângulo \theta medido a partir do eixo +x (sentido anti-horário). Usamos
\theta=\arctan\!\left(\frac{E_y}{E_x}\right)=\arctan\!\left(\frac{-1{,}264{,}85}{361{,}63}\right)\approx \arctan(-3{,}497)\approx -74{,}06^\circ.
Como E_x>0 e E_y<0, o vetor está no 4.º quadrante; podemos também dar o ângulo positivo no intervalo [0^\circ,360^\circ):
\theta \approx 360^\circ - 74{,}06^\circ = 285{,}94^\circ.

Passo 9

Agora a força sobre um próton colocado em P. A força é
\mathbf{F}=q_{\text{p}}\,\mathbf{E},\qquad q_{\text{p}}=+e=1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Componentes da força:
F_x = q_{\text{p}}\,E_x \approx 1{,}602\times10^{-19}\cdot 361{,}63 \approx 5{,}798\times10^{-17}\\ \mathrm{N},
F_y = q_{\text{p}}\,E_y \approx 1{,}602\times10^{-19}\cdot(-1{,}264{,}85) \approx -2{,}027\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.
Módulo da força:
|\mathbf{F}|=q_{\text{p}}\,|\mathbf{E}|\approx 1{,}602\times10^{-19}\cdot 1{,}315{,}63 \approx 2{,}107\times10^{-16}\\ \mathrm{N}.
Direção da força: a mesma do campo (próton tem carga positiva), logo
\theta_{\mathbf{F}}=\theta_{\mathbf{E}}\approx -74{,}06^\circ\\ (\text{ou }285{,}94^\circ).

Resposta

(a) |\mathbf{E}|\approx 1{,}315{,}63\\ \mathrm{N/C}, direção \theta\approx -74{,}06^\circ (ou 285{,}94^\circ medido a partir de +x).\n
(b) |\mathbf{F}|\approx 2{,}107\times10^{-16}\\ \mathrm{N}, direção \theta\approx -74{,}06^\circ (ou 285{,}94^\circ).

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