Uma carga pontual positiva q_{1}=+30 \mu C está na origem de um sistema de coordenadas.
a. Qual é a diferença de potencial entre um ponto a 20 cm de distância da carga e um ponto a 40 cm de distância da carga?
b. Seja uma outra partícula pontual de carga q_{2}=-20 \mu \mathrm{C} e massa m=2,0 \mathrm{~g}. Suponha que ela seja arremessada de encontro à primeira, com velocidade 100 \mathrm{~m} / \mathrm{s} estando a uma distância de 40 cm . Desprezando efeitos de gravidade, calcule a velocidade dessa partícula quando ela chegar a 20 cm de distância da primeira.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) A diferença de potencial entre um ponto a 20\\ \mathrm{cm} da carga q_{1}=+30\\ \mu\mathrm{C} e um ponto a 40\\ \mathrm{cm} da mesma carga.
  2. (b) Dada uma segunda carga q_{2}=-20\\ \mu\mathrm{C} de massa m=2{,}0\\ \mathrm{g} lançada com velocidade inicial 100\\ \mathrm{m/s} quando está a 40\\ \mathrm{cm} de q_{1}, calcular a velocidade dessa partícula quando ela chega a 20\\ \mathrm{cm} de q_{1}; desprezar a gravidade.
Dados fornecidos (coloquei tudo em unidades do SI):
q_{1}=+30\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad q_{2}=-20\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
r_{A}=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m},\quad r_{B}=40\\ \mathrm{cm}=0{,}40\\ \mathrm{m},
m=2{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}002\\ \mathrm{kg},\quad v_{i}=100\\ \mathrm{m/s}.
Constante eletrostática que usaremos:
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
A resolução começa agora.

Passo 2

Entendendo o potencial elétrico de uma carga pontual (aula rápida e prática).
  • O potencial elétrico V devido a uma carga pontual q no ponto situado a uma distância r é dado por
V(r)=\frac{k\,q}{r}.
Explicando cada símbolo: V(r) é o potencial em volts no ponto a distância r (unidade V), k é a constante eletrostática acima, q é a carga fonte (em coulombs) e r é a distância (em metros).
  • A diferença de potencial entre dois pontos A e B é
\Delta V=V(A)-V(B).
Para uma mesma carga pontual q_{1},
\Delta V= k\,q_{1}\!\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right).
Isso é tudo o que precisamos para a parte (a).

Passo 3

Aplicando a fórmula da diferença de potencial ao item (a).
Substituímos q_{1}, r_A e r_B:
\Delta V = k\,q_{1}\!\left(\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}40}\right).
Calculemos primeiro a parte entre parênteses:
\frac{1}{0{,}20}=5{,}0\quad\text{e}\quad \frac{1}{0{,}40}=2{,}5,
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\frac{1}{0{,}20}-\frac{1}{0{,}40}=5{,}0-2{,}5=2{,}5.

Passo 4

Continuando o cálculo numérico de \Delta V.
Calculemos k\,q_{1}:
k\,q_{1}=(8{,}99\times10^{9})\times(30\times10^{-6})=2{,}697\times10^{5}.
Agora
\Delta V = 2{,}697\times10^{5}\times 2{,}5 = 6{,}7425\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas nos dados de cargas):
\Delta V \approx 6{,}74\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
Interpretação: o potencial a 20\\ \mathrm{cm} é maior que o potencial a 40\\ \mathrm{cm} por esse valor (pois q_{1} é positivo).

Passo 5

Agora a parte (b): ideia física e fórmula que usaremos.
  • Desprezando a gravidade e outras forças, a energia mecânica (energia cinética mais energia elétrica) se conserva.
  • Energia elétrica (energia potencial) de uma carga q_{2} em um potencial V é
U=q_{2}\,V.
  • Conservação de energia entre os estados inicial (índice i, em r_{B}=0{,}40\\ \mathrm{m}) e final (índice f, em r_{A}=0{,}20\\ \mathrm{m}):
\frac{1}{2}m v_{i}^{2}+U_{i}=\frac{1}{2}m v_{f}^{2}+U_{f}.
Rearranjando para v_{f}:
\frac{1}{2}m v_{f}^{2}=\frac{1}{2}m v_{i}^{2}+U_{i}-U_{f}
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+\frac{2}{m}\bigl(U_{i}-U_{f}\bigr).
Como U=q_{2}V,
U_{i}-U_{f}=q_{2}\bigl(V_{i}-V_{f}\bigr).
Vamos calcular V_{i}-V_{f} e depois tudo numericamente.

Passo 6

Calcular V_{i}-V_{f} usando a expressão do potencial de q_{1}.
V_{i}-V_{f}=k\,q_{1}\!\left(\frac{1}{r_{B}}-\frac{1}{r_{A}}\right) = k\,q_{1}\!\left(\frac{1}{0{,}40}-\frac{1}{0{,}20}\right).
Já calculámos antes a combinação contrária; aqui:
\frac{1}{0{,}40}-\frac{1}{0{,}20}=2{,}5-5{,}0=-2{,}5.
Portanto
V_{i}-V_{f}= -2{,}5\,k\,q_{1}.

Passo 7

Calcular U_{i}-U_{f}=q_{2}(V_{i}-V_{f}).
Substituindo q_{2}=-20\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e o resultado acima:
U_{i}-U_{f}=q_{2}\bigl(-2{,}5\,k\,q_{1}\bigr)=(-20\times10^{-6})\times(-2{,}5)\times k\,q_{1}.
Multiplicando os sinais: (-)\times(-)=+, então
U_{i}-U_{f}=50\times10^{-6}\,k\,q_{1}.
Agora usamos o valor numérico k\,q_{1}=2{,}697\times10^{5} (do Passo 4):
U_{i}-U_{f}=50\times10^{-6}\times 2{,}697\times10^{5}.
Calculemos isso:
50\times10^{-6}=5\times10^{-5},
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U_{i}-U_{f}=5\times10^{-5}\times 2{,}697\times10^{5}=5\times2{,}697=13{,}485\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Agora voltamos à expressão para v_{f}^{2}:
v_{f}^{2}=v_{i}^{2}+\frac{2}{m}\bigl(U_{i}-U_{f}\bigr).
Substituindo v_{i}=100\\ \mathrm{m/s}, m=0{,}002\\ \mathrm{kg} e U_{i}-U_{f}=13{,}485\\ \mathrm{J}:
v_{f}^{2}=100^{2}+\frac{2}{0{,}002}\times 13{,}485.
Calculemos cada termo:
100^{2}=10{,}000.
\frac{2}{0{,}002}=1000,
portanto
\frac{2}{m}\bigl(U_{i}-U_{f}\bigr)=1000\times13{,}485=13{,}485{,}0.
Somando,
v_{f}^{2}=10{,}000+13{,}485=23{,}485.

Passo 9

Extraindo a raiz para obter v_{f}:
v_{f}=\sqrt{23{,}485}\approx153{,}3\\ \mathrm{m/s}.
Observação física: a velocidade aumentou (de 100 para cerca de 153{,}3\\ \mathrm{m/s}) porque a força elétrica entre cargas de sinais opostos é atrativa, convertendo energia potencial elétrica em energia cinética.

Resposta

(a) \Delta V = 6{,}74\times10^{5}\\ \mathrm{V}.
(b) v_{f}\approx 153{,}3\\ \mathrm{m/s}.

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